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第13课时反比例函数及其应用考点一反比例函数的概念考点聚焦一般地,形如y=𝑘𝑥(k为常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数,其中x是自变量,y是函数.【温馨提示】(1)反比例函数中,自变量的取值范围是①;(2)解析式的变式:y=kx-1或xy=k(k≠0).x≠0一般形式y=kx(k为常数,k≠0),其图象上点的横、纵坐标之积为定值kk的符号k②0k③0图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性同一支上,y随x的增大而④;在两支上,第一象限y值大于第三象限y值同一支上,y随x的增大而⑤;在两支上,第二象限y值大于第四象限y值考点二反比例函数的图象与性质减小增大对称性关于直线y=x,y=-x成轴对称关于⑥成中心对称小结(1)反比例函数的图象是双曲线,反比例函数的增减性由系数k决定;(2)反比例函数图象的两支在两个象限内,根据自变量的值比较相应函数值的大小时,应注意象限问题（续表）原点考点三反比例函数比例系数k的几何意义1.几何意义:过反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)图象上任意一点向两坐标轴作垂线,两条垂线与两坐标轴所围成的矩形的面积为|k|.S矩形OAPB=|k|S△AOP=⑦S△ABC=⑧S△APP1=⑨2.常见的与反比例函数有关的图形面积|k||𝒌|𝟐2|k|考点四反比例函数解析式的确定待定系数法(1)设出反比例函数的解析式y=kx(k≠0);(2)找出图象上一点的坐标P(x0,y0);(3)将P(x0,y0)的坐标代入y=kx(k≠0),求出k的值;(4)写出解析式几何法题中涉及面积时,考虑用k的几何意义求解利用反比例函数解决实际问题,关键是建立函数模型.建立函数模型的思路主要有两种:(1)已知函数类型,直接设出函数的解析式,根据题目提供的信息求得k的值;(2)题目本身未明确表明变量间的函数关系,此时需通过分析,先确定变量间的关系,再求解析式.考点五反比例函数的实际应用1.反比例函数y=2𝑥的图象在()A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D.第二、四象限题组一必会题对点演练B2.点(2,-4)在反比例函数y=𝑘𝑥的图象上,则下列各点在此函数图象上的是()A.(2,4)B.(-1,-8)C.(-2,-4)D.(4,-2)3.若点A(a,b)在反比例函数y=2𝑥的图象上,则代数式ab-4的值为()A.0B.-2C.2D.-6DB4.反比例函数y=𝑘-1𝑥的图象在每个象限内,y随x的增大而增大,则k的值可为()A.0B.1C.2D.35.[2016·龙岩]反比例函数y=−3𝑥的图象上有P1(x1,-2),P2(x2,-3)两点,则x1与x2的大小关系是()A.x1x2B.x1=x2C.x1x2D.不确定AA6.在同一直角坐标系中,函数y=−2𝑥与y=2x图象的交点个数为()A.3B.2C.1D.0D题组二易错题【失分点】反比例函数图象的不连续性导致研究函数的增减性要谨慎.7.如图13-1,点A在双曲线y=𝑘𝑥(k≠0)上,AB⊥x轴于点B,且S△AOB=2,则k的值是()A.2B.-2C.4D.-4图13-1D8.[2018·日照]已知反比例函数y=−8𝑥,下列结论:①图象必经过(-2,4);②图象在二、四象限内;③y随x的增大而增大;④当x-1时,则y8.其中错误的结论有()A.3个B.2个C.1个D.0个[答案]B[解析]将(-2,4)代入y=-8𝑥成立,①正确;k=-80,所以反比例函数的图象在二、四象限内,②正确;双曲线在每一象限内y随x的增大而增大,③错误;当-1x0时,则y8,④错误,所以正确的结论有2个,故选B.9.一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=𝑘2𝑥(k1·k2≠0)的图象如图13-2所示,若y1y2,则x的取值范围是()A.-2x0或x1B.-2x1C.x-2或x1D.x-2或0x1图13-2D考向一反比例函数的概念、图象与性质图13-3例1[2019·宁德质检]已知反比例函数图象上两点A(2,3),B(-2x+2,y1)的位置如图13-3所示.(1)求x的取值范围;(2)若点C(-x,y2)也在该反比例函数的图象上,试比较y1,y2的大小.解:(1)根据图象上A,B两点的位置可知:xB2.∴-2x+22.∴x0.图13-3例1[2019·宁德质检]已知反比例函数图象上两点A(2,3),B(-2x+2,y1)的位置如图13-3所示.(2)若点C(-x,y2)也在该反比例函数的图象上,试比较y1,y2的大小.(2)∵x0,∴xC=-x0.∴点C在第一象限内.由xB-xC,得-2x+2-(-x)=-x+2.∵-x0,∴-x+220.∴xBXc.∴0xCxB.∵反比例函数的图象在第一象限内,y随x的增大而减小,∴y2y1.|考向精练|1.若点A(-3,y1),B(-2,y2),C(1,y3)都在反比例函数y=−12𝑥的图象上.判断y1,y2,y3的大小关系是.y3y1y22.已知反比例函数y=𝑘𝑥(k为常数,k≠0)的图象经过点(-3,2).(1)判断点A(2,3),B(-6,1),C(−6,6)是否在该函数图象上?为什么?(2)若-4x-1,求反比例函数y=𝑘𝑥的取值范围.(3)若1y3时,求x的取值范围解:(1)∵y=𝑘𝑥的图象经过点(-3,2),∴k=xy=-6.∴y=-6𝑥.当x=2时,y=-3≠3.∴A(2,3)不在图象上.同理可得B(-6,1),C(-6,6)在图象上.2.已知反比例函数y=𝑘𝑥(k为常数,k≠0)的图象经过点(-3,2).(2)若-4x-1,求反比例函数y=𝑘𝑥的取值范围.(2)当x=-4时,y=32;当x=-1时,y=6.∵k=-60,∴在每个象限内,y随x的增大而增大.∴当-4x-1时,32y6.2.已知反比例函数y=𝑘𝑥(k为常数,k≠0)的图象经过点(-3,2).(3)若1y3时,求x的取值范围(3)当y=1时,x=-6,当y=3时,x=-2,∵k=-60,∴在每个象限内,y随x的增大而增大.∴当1y3时,x的取值范围是-6x-2.考向二比例系数k的几何意义例2如图13-4,点A是反比例函数y=𝑘𝑥的图象上的一点,过点A作AB⊥x轴,垂足为B.点C为y轴上的一点,连接AC,BC.若△ABC的面积为4,则k的值是.图13-4[答案]-8[解析]连接OA,如图,∵AB⊥x轴,∴OC∥AB,∴S△OAB=S△ABC=4,而S△OAB=12|k|,∴|k|=8,∵k0,∴k=-8.|考向精练|1.[2019·鸡西]如图13-5,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,▱OABC的顶点A在反比例函数y=1𝑥的图象上,顶点B在反比例函数y=5𝑥的图象上,点C在x轴的正半轴上,则▱OABC的面积是()A.32B.52C.4D.6[答案]C[解析]如图,作BD⊥x轴于点D,延长BA交y轴于点E.∵四边形OABC是平行四边形,∴AB∥OC,OA=BC,∴BE⊥y轴,∴OE=BD,∴Rt△AOE≌Rt△CBD(HL),根据系数k的几何意义,S矩形BDOE=5,S△AOE=12,∴四边形OABC的面积为4.故选C.图13-52.[2018·盐城]如图13-6,点D为矩形OABC的边AB的中点,反比例函数y=𝑘𝑥(x0)的图象经过点D,交BC边于点E.若△BDE的面积为1,则k=.图13-6[答案]4[解析]设点D的坐标为(x,y),则点E的坐标为2x,12y.∵△BDE的面积为12·x·12y=1,∴xy=4,k=xy=4.考向三反比例函数的应用例3为了方便孩子入学,小王家购买了一套学区房,交首付款15万元,剩余部分向银行贷款,贷款及贷款利息按月分期还款,每月还款数相同.计划每月还款y万元,x个月还清贷款,若y是x的反比例函数,其图象如图13-7所示:(1)求y与x的函数解析式.(2)若小王家计划180个月(15年)还清贷款,则每月应还款多少万元?图13-7解:(1)设y与x的函数解析式为y=𝑘𝑥(k≠0),把P(144,0.5)代入得:0.5=𝑘144,解得:k=72,∴y与x的函数解析式为y=72𝑥;(2)当x=180时,y=72180=0.4(万元),答:每月应还款0.4万元.例3为了方便孩子入学,小王家购买了一套学区房,交首付款15万元,剩余部分向银行贷款,贷款及贷款利息按月分期还款,每月还款数相同.计划每月还款y万元,x个月还清贷款,若y是x的反比例函数,其图象如图13-7所示:(2)若小王家计划180个月(15年)还清贷款,则每月应还款多少万元?图13-7|考向精练|[2018·莆田质检]水果店在销售某种水果,该种水果的进价为10元/kg.根据以往的销售经验可知:日销量y(单位:kg)随售价x(单位:元/kg)的变化规律符合某种函数关系.该水果店以往的销售记录如下表:(售价不低于进价)若y与x之间的函数关系是一次函数,二次函数,反比例函数中的某一种.(1)判断y与x之间的函数关系,并写出其解析式.(2)水果店销售该种水果的日利润能否达到200元?判断并说明理由.售价x(单位:元/kg)1015202530日销量y(单位:kg)3020151210解:(1)观察可知,售价x与日销量y的乘积为定值300.y与x之间的关系为反比例函数.设函数解析式为y=𝑘𝑥(k≠0).当x=10,y=30时,故k=300.函数解析式为y=300𝑥.[2018·莆田质检]水果店在销售某种水果,该种水果的进价为10元/kg.根据以往的销售经验可知:日销量y(单位:kg)随售价x(单位:元/kg)的变化规律符合某种函数关系.该水果店以往的销售记录如下表:(售价不低于进价)若y与x之间的函数关系是一次函数,二次函数,反比例函数中的某一种.(2)水果店销售该种水果的日利润能否达到200元?判断并说明理由.售价x(单位:元/kg)1015202530日销量y(单位:kg)3020151210(2)能达到200元.理由:依题意:(x-10)·300𝑥=200.解得:x=30.经检验,x=30是原方程的解,并且符合题意.答:当售价为30元/kg时,水果店销售该种水果的日利润为200元.考向四反比例函数的综合问题(微专题)角度1与一次函数结合例4[2014·福州]如图13-8,已知直线y=-x+2分别与x轴,y轴交于A,B两点,与双曲线y=𝑘𝑥交于E,F两点.若AB=2EF,则k的值是()A.-1B.1C.12D.34图13-8[答案]D[解析]作FH⊥x轴,EC⊥y轴,垂足分别为H,C,FH与EC交于点D,如图,A点坐标为(2,0),B点坐标为(0,2),OA=OB,∴△AOB为等腰直角三角形,∴AB=2OA=22,∴EF=12AB=2,易知△DEF为等腰直角三角形,∴FD=DE=22EF=1,设F点横坐标为t,代入y=-x+2,则纵坐标是-t+2,则F的坐标是(t,-t+2),E点的坐标为(t+1,-t+1),∴t(-t+2)=(t+1)·(-t+1),解得t=12,∴E点坐标为32,12,∴k=32×12=34.故选:D.|考向精练|图13-91.[2018·福州二检]如图13-9,直线y1=−43x与双曲线y2=𝑘𝑥交于A,B两点,点C在x轴上,连接AC,BC.若∠ACB=90°,△ABC的面积为10,则k的值是.[答案]-6[解析]设点A为a,-43a,∴OA=𝑎2+(-43𝑎)2=-53a,∵点C为x轴上一点,∠ACB=90°,且△ACB的面积为10,∴OA=OB=OC=-53a,∴S△ACB=12×OC×(yA+|yB|)=12×-53a×-83a=10,解得,a=-322或322(舍去),∴点A坐标为-322,22,∴k=-322×22=-6,故答案为-6.2.[2018·福建16题]如图13-10,直线y=x+m与双曲线y=3𝑥相交于A,B两点,BC∥x轴,AC∥