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第36课时轴对称与中心对称基础知识巩固高频考向探究考点一轴对称与中心对称考点聚焦轴对称中心对称图形性质(1)成轴对称的两个图形完全①;(2)成轴对称的两个图形只有一条对称轴;(3)对应点连线被对称轴②(1)成中心对称的两个图形完全③;(2)成中心对称的两个图形只有一个对称中心;(3)对应点连线交于对称中心,并且被对称中心④重合垂直平分重合平分基础知识巩固高频考向探究考点二轴对称图形与中心对称图形轴对称图形中心对称图形图形判断方法(1)有对称轴——直线;(2)图形沿对称轴折叠后完全重合(1)有对称中心——点;(2)图形绕对称中心旋转⑤后完全重合180°基础知识巩固高频考向探究【温馨提示】常见的轴对称图形、中心对称图形基础知识巩固高频考向探究考点三图形的折叠及最短路径问题1.图形的折叠(1)位于折痕两侧的图形关于折痕⑥;(2)折叠前后的两部分图形全等,对应边、角、线段、周长、面积等均相等;(3)折叠前后,对应点的连线被折痕所在直线垂直平分.成轴对称基础知识巩固高频考向探究2.求最短路径问题(1)基本问题:如图36-1①,在直线l上找一点P,使得点P到点A和点B的距离之和最短,即PA+PB的值最小.(2)方法:作轴对称图形.依据:轴对称的性质;两点之间线段最短.(3)具体作法:如图②,作点A关于直线l的对称点A',连接A'B与直线l相交于点P,连接PA,PB,则点P即为所求,此时PA+PB的值最小.图36-1基础知识巩固高频考向探究【温馨提示】周长最小问题P是∠AOB内一点,分别在OA,OB上求作点Q,R,使得PQ+PR+QR(即△PQR的周长)最小.解决方法:分别作点P关于直线OA,OB的对称点P',P″,连接P'P″,与OA,OB的交点即为所求点Q,R,此时PQ+PR+QR(即△PQR的周长)最小.图36-2基础知识巩固高频考向探究题组一必会题对点演练1.[2019·福建名校联合模拟]下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A.扇形B.正方形C.等腰三角形D.平行四边形B基础知识巩固高频考向探究2.下列图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()图36-3C基础知识巩固高频考向探究3.下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是()图36-4B基础知识巩固高频考向探究4.[2019·武汉]现实世界中,对称现象无处不在,中国的方块字中有些也具有对称性,下列美术字是轴对称图形的是()图36-5D基础知识巩固高频考向探究5.[2019·泰安]下列图形:其中,是轴对称图形且有两条对称轴的是()A.①②B.②③C.②④D.③④图36-6[答案]A[解析]四个图形中,轴对称图形有:①②③,其中图①有2条对称轴,图②有2条对称轴,图③有4条对称轴,故选A.基础知识巩固高频考向探究题组二易错题【失分点】不明白折叠的实质是轴对称导致错误;不能利用轴对称解决最短路线问题.6.[2015·三明]如图36-7,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,P是AB边上的动点(不与点B重合),将△BCP沿CP所在的直线翻折,得到△B'CP,连接B'A,则B'A长度的最小值是.图36-7基础知识巩固高频考向探究[答案]1[解析]在Rt△ABC中,由勾股定理知:AC=𝐴𝐵2-𝐵𝐶2=52-32=4,由轴对称的性质可知:BC=CB'=3,∵CB'长度固定不变,∴当AB'+CB'取最小值时,AB'的长度取最小值.根据两点之间线段最短可知:A,B',C三点在一条直线上时,AB'有最小值,∴AB'=AC-B'C=4-3=1,故答案为1.基础知识巩固高频考向探究考向一轴对称与中心对称图形的认识例1[2018·泉州质检]下列图形中,是中心对称图形,但不是轴对称图形的是()图36-8A基础知识巩固高频考向探究【方法点析】把握住轴对称图形与中心对称图形的定义,轴对称图形具有对称性,沿着一条(不一定唯一)直线对折,两边完全重合;中心对称图形指的是绕着某一个点旋转180°后能与自身重合.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·福建3题]下列图形中,一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A.等边三角形B.直角三角形C.平行四边形D.正方形D基础知识巩固高频考向探究2.[2017·福建5题]下列关于图形对称性的命题,正确的是()A.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形B.正三角形既是轴对称图形,又是中心对称图形C.线段是轴对称图形,但不是中心对称图形D.菱形是中心对称图形,但不是轴对称图形A基础知识巩固高频考向探究考向二轴对称与中心对称的应用例2[2018·衢州]如图36-9,将矩形ABCD沿GH折叠,点C落在点Q处,点D落在AB边上的点E处,若∠AGE=32°,则∠GHC等于()A.112°B.110°C.108°D.106°图36-9D基础知识巩固高频考向探究|考向精练|图36-101.[2018·天津]如图36-10,将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠,使点C落在AB边上的点E处,折痕为BD,则下列结论一定正确的是()A.AD=BDB.AE=ACC.ED+EB=DBD.AE+CB=ABD基础知识巩固高频考向探究图36-112.[2019·兰州]如图36-11,边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,将正方形ABCD沿直线DF折叠,点C落在对角线BD上的点E处,折痕DF交AC于点M,则OM=()A.12B.22C.3−1D.2−1基础知识巩固高频考向探究[答案]D[解析]在正方形ABCD中,OC=OD,AC⊥BD,由折叠可知,DF⊥EC,CD=DE=2,∴∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3.又∵OC=OD,∠DOM=∠COE=90°,∴△ODM≌△OCE(ASA),∴OM=OE.在Rt△BCD中,BD=2CD=2,∴OD=1,∴OE=DE-OD=2-1,∴OM=2-1,故选D.基础知识巩固高频考向探究图36-123.[2019·南充]如图36-12,正方形MNCB在宽为2的矩形纸片一端,对折正方形MNCB得到折痕AE,展开后,再翻折纸片,使AB与AD重合,以下结论错误的是()A.AH2=10+25B.𝐶𝐷𝐵𝐶=5-12C.BC2=CD·EHD.sin∠AHD=5+15基础知识巩固高频考向探究[答案]D[解析]在Rt△AEB中,AB=𝐴𝐸2+𝐵𝐸2=22+12=5,∵AB∥DH,BH∥AD,∴四边形ABHD是平行四边形.∵AB=AD,∴四边形ABHD是菱形,∴AD=AB=BH=5,∴EH=5+1,CD=AD-AC=5-1,∴𝐶𝐷𝐵𝐶=5-12,AH2=AE2+EH2=22+(5+1)2=10+25,故选项A,B正确.∵BC2=4,CD·EH=(5-1)(5+1)=4,∴BC2=CD·EH,故选项C正确.∵四边形ABHD是菱形,∴∠AHD=∠AHB,∴sin∠AHD=sin∠AHB=𝐴𝐸𝐴𝐻=222+(5+1)2≠5+15,故选项D错误,故选D.基础知识巩固高频考向探究4.[2019·烟台]小明将一张正方形纸片按如图36-13所示的顺序折叠成纸飞机,当机翼展开在同一平面时(机翼间无缝隙),∠AOB的度数是.图36-1345°基础知识巩固高频考向探究考向三与轴对称或中心对称有关的作图例3[2019·枣庄]如图36-14,在4×4的方格纸中,△ABC的三个顶点都在格点上.(1)在图①中,画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形;(2)在图②中,画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形;(3)在图③中,画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的三角形.图36-14基础知识巩固高频考向探究解:(1)如图所示:基础知识巩固高频考向探究例3[2019·枣庄]如图36-14,在4×4的方格纸中,△ABC的三个顶点都在格点上.(2)在图②中,画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形;图36-14基础知识巩固高频考向探究(2)画出下列其中一个即可.基础知识巩固高频考向探究例3[2019·枣庄]如图36-14,在4×4的方格纸中,△ABC的三个顶点都在格点上.(3)在图③中,画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的三角形.图36-14基础知识巩固高频考向探究(3)如图所示:基础知识巩固高频考向探究|考向精练|[2019·宁波]图36-15①②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格,每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影,请在余下的空白小等边三角形中,按下列要求选取一个涂上阴影:(1)使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形;(2)使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形.(请将两个小题依次作答在图①,图②中,均只需画出符合条件的一种情形)图36-15基础知识巩固高频考向探究解:(1)画出下列其中一种即可.基础知识巩固高频考向探究[2019·宁波]图36-15①②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格,每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影,请在余下的空白小等边三角形中,按下列要求选取一个涂上阴影:(2)使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形.(请将两个小题依次作答在图①,图②中,均只需画出符合条件的一种情形)图36-15基础知识巩固高频考向探究(2)画出下列其中一种即可.基础知识巩固高频考向探究考向四轴对称的创新应用图36-16例4[2018·天津]如图36-16,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下列线段的长等于AP+EP最小值的是()A.ABB.DEC.BDD.AF[答案]D[解析]取CD中点E',连接AE',PE',由正方形对称的性质可知EP=E'P,AF=AE',∴AP+EP=AP+E'P,∴AP+EP的最小值是AE',∴AP+EP的最小值是AF.故选D.基础知识巩固高频考向探究【方法点析】有关几条线段的和最短的问题,一般都把它们转化到同一条直线上,然后利用“两点之间线段最短”来解决.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|图36-17如图36-17,已知菱形ABCD的周长为16,面积为83,E为AB的中点,若P为对角线BD上一动点,则EP+AP的最小值为.基础知识巩固高频考向探究[解析]如图,作CE'⊥AB于E',交BD于P',连接AC,AP'.∵菱形ABCD的周长为16,面积为83,∴AB=BC=4,AB·CE'=83,∴CE'=23,在Rt△BCE'中,BE'=42-(23)2=2,∵BE=EA=2,∴E与E'重合,∵四边形ABCD是菱形,∴A,C关于BD对称,∴当P与P'重合时,P'A+P'E的值最小,最小值为CE'的长,即为23.[答案]23