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第9课时一元一次不等式(组)及其应用基础知识巩固高频考向探究考点一不等式考点聚焦1.不等式的概念用符号“”(或“≤”),“”(或“≥”),“≠”连接而成的式子叫做不等式.2.不等式的解使不等式成立的未知数的全体叫做不等式的解集,简称为不等式的解.基础知识巩固高频考向探究3.不等式的基本性质性质1:如果ab那么a±c①b±c.性质2:如果ab,c0,那么ac②bc;𝑎𝑐③𝑏𝑐.性质3:如果ab,c0,那么ac④bc;𝑎𝑐⑤𝑏𝑐.基础知识巩固高频考向探究【温馨提示】(1)一定要注意不等式两边同乘(或除以)同一个负数时,要改变不等号的方向.(2)当不等式两边都乘(或除以)的式子中含有字母时,一定要对字母分类讨论.基础知识巩固高频考向探究考点二一元一次不等式1.一元一次不等式不等号的两边都是整式,而且只含有一个未知数,未知数的最高次数是一次,这样的不等式叫做一元一次不等式.其一般形式为ax+b0或ax+b0(a≠0).2.解一元一次不等式的一般步骤(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化为1.基础知识巩固高频考向探究考点三一元一次不等式组1.含有相同未知数的若干个一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组.2.解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解并表示在数轴上,再求出它们的公共部分就得到不等式组的解.基础知识巩固高频考向探究3.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解可划分为以下四种情形(以下假设ab):一元一次不等式组解解在数轴上表示语言叙述(便于记忆)x𝑎,x𝑏xb同大取大x𝑎,x𝑏xa同小取小x𝑎,x𝑏axb大小小大取中间x𝑎,x𝑏无解大大小小找不到基础知识巩固高频考向探究【温馨提示】用数轴表示不等式(组)的解,形象直观,便于分析,尤其是求一些不等式(组)中待定系数的取值范围,更应该用这个方法.口诀的记忆对求不等式组的解显得方便实用.基础知识巩固高频考向探究考点四一元一次不等式的应用1.列不等式解应用题的步骤(1)找出实际问题中的不等关系,设未知数,列出不等式;(2)解不等式;(3)从不等式的解中找出符合题意的答案.2.利用不等式解决日常生活中的实际问题通过解不等式,求出某些变量的取值范围,以确定最佳方案、最大收益、最省时间和可能的种类.基础知识巩固高频考向探究题组一必会题对点演练1.[2019·北京海淀二模]已知ab,则下列不等式一定成立的是()A.-5a-5bB.5ac5bcC.a-5b+5D.a+5b-5D基础知识巩固高频考向探究2.[2019·北京石景山二模]不等式−𝑥22的解集在数轴上的表示正确的是()图9-1D基础知识巩固高频考向探究3.[2019·厦门质检]不等式2x-3≥0的解集是.-2x≤14.[2019·三明质检]不等式组2𝑥+40,𝑥-3(𝑥-2)≥4的解集是.x≥𝟑𝟐基础知识巩固高频考向探究5.若ab,则下列结论不一定成立的是()A.a-1b-1B.2a2bC.−𝑎3−𝑏3D.a2b2题组二易错题【失分点】注意不等式两边同时乘以或除以一个负数,不等号的方向要改变;在数轴上表示不等式的解集时,注意实心点与空心圈的区别;列不等式时未注意是“”还是“≥”.D基础知识巩固高频考向探究6.不等式组2𝑥+133𝑥+1≥-2的解集在数轴上表示正确的是()图9-27.已知y=17-3x,当y2时,x的非负整数解有()A.2个B.3个C.4个D.5个AD基础知识巩固高频考向探究8.若不等式组2𝑥-131,𝑥𝑎的解集为x2,则a的取值范围是()A.a2B.a≤2C.a2D.a≥2B基础知识巩固高频考向探究[答案]69.现用甲、乙两种运输车将46吨救灾物资运往灾区,甲种车每辆载重5吨,乙种车每辆载重4吨,安排车辆不超过10辆,在每辆车都满载的情况下,甲种运输车至少需要安排辆.[解析]设甲种运输车运输x吨,则乙种运输车运输(46-x)吨,根据题意,得:𝑥5+46-𝑥4≤10,去分母,得4x+230-5x≤200,-x≤-30,x≥30,则𝑥5≥6.故甲种运输车至少需要安排6辆.基础知识巩固高频考向探究考向一不等式的概念与性质例1[2019·桂林]如果ab,c0,那么下列不等式成立的是()A.a+cbB.a+cb-cC.ac-1bc-1D.a(c-1)b(c-1)[答案]D[解析]∵c0,∴c-1-1,∵ab,∴a(c-1)b(c-1),故选:D.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|[2019·厦门莲花中学阶段测试]下列命题是真命题的是()A.若ab,则acbcB.若acbc,则ab,C.若ab,则ac2bc2D.若ac2bc2,则ab[答案]D[解析]A.若ab,则acbc,当c0时错误,是假命题;B.若acbc,则ab,当c0时错误,是假命题;C.若ab,则ac2bc2,当c=0时错误,是假命题;D.若ac2bc2,则ab,正确,是真命题,故选:D.基础知识巩固高频考向探究考向二不等式(组)的解法例2(1)[2019·北京东城二模]解不等式2𝑥-13−5𝑥+12≥1,并把解集在数轴上表示出来.图9-3(2)[2018·泉州、晋江二模]解不等式组:4𝑥2𝑥-6,𝑥-13≤𝑥+19,并把解集在数轴上表示出来.基础知识巩固高频考向探究解:(1)去分母,得2(2x-1)-3(5x+1)≥6,去括号,得4x-2-15x-3≥6,移项、合并同类项,得-11x≥11,系数化为1,得x≤-1.数轴表示如下:基础知识巩固高频考向探究例2(2)[2018·泉州、晋江二模]解不等式组:4𝑥2𝑥-6,𝑥-13≤𝑥+19,并把解集在数轴上表示出来.(2)4𝑥2𝑥-6,①𝑥-13≤𝑥+19.②解①得x-3,解②得x≤2,所以不等式组的解集为-3x≤2,用数轴表示为:基础知识巩固高频考向探究【方法点析】解一元一次不等式组时,一般先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分,利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.解集的规律:同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2017·福建6题]不等式组𝑥-2≤0,𝑥+30的解集是()A.-3x≤2B.-3≤x2C.x≥2D.x-3A基础知识巩固高频考向探究2.[2018·泉州质检]不等式组𝑥-10,-3𝑥+6≥0的解集在数轴上表示为()图9-4C基础知识巩固高频考向探究3.[2018·福建14题]不等式组3𝑥+1𝑥+3,𝑥-20的解集为.[答案]x2[解析]解第1个不等式得x1,解第2个不等式得x2,所以不等式组的解集为x2.基础知识巩固高频考向探究4.[2019·福建名校联合模拟]解不等式组:𝑥-32+3≥𝑥+1,1+𝑥8+3(𝑥-1).解:𝑥-32+3≥𝑥+1,①1+𝑥8+3(𝑥-1).②由①得x≤1,由②得x-2,故此不等式组的解集为-2x≤1.基础知识巩固高频考向探究考向三不等式的应用例3某商品批发商场共用22000元同时购进A,B两种型号背包各400个,已知购进A型号背包30个比购进B型号背包15个多用300元.(1)求A,B两种型号背包的进货单价.(2)若商场把A,B两种型号背包均按每个50元的定价进行零售,为了增加销售量,商场拿出一部分背包按零售价的7折进行团购销售,商场在这批背包全部售完后,若总获利不低于10500元,则商场用于团购的背包最多有多少个?(注:总获利=总销售额-购进总成本)基础知识巩固高频考向探究解:(1)设A型号背包的进货单价为x元,B型号背包的进货单价为y元.依题意得400(𝑥+𝑦)=22000,30𝑥-15𝑦=300,解得𝑥=25,𝑦=30.答:A型号背包的进货单价为25元,B型号背包的进货单价为30元.基础知识巩固高频考向探究例3某商品批发商场共用22000元同时购进A,B两种型号背包各400个,已知购进A型号背包30个比购进B型号背包15个多用300元.(2)若商场把A,B两种型号背包均按每个50元的定价进行零售,为了增加销售量,商场拿出一部分背包按零售价的7折进行团购销售,商场在这批背包全部售完后,若总获利不低于10500元,则商场用于团购的背包最多有多少个?(注:总获利=总销售额-购进总成本)(2)设商场用于团购的背包有m个.依题意得50×0.7m+50(400×2-m)-22000≥10500,解得m≤500,∴商场用于团购的背包最多有500个.基础知识巩固高频考向探究例4知识迁移当a0,且x0时,因为𝑥−𝑎𝑥2≥0,所以x-2𝑎+𝑎𝑥≥0,从而x+𝑎𝑥≥2𝑎(当x=𝑎时取等号).记函数y=x+𝑎𝑥(a0,x0),由上述结论可知,当x=𝑎时,该函数有最小值,为2𝑎.直接应用已知函数y1=x(x0)与函数y2=1𝑥(x0),则当x=时,y1+y2取得最小值,最小值为.12基础知识巩固高频考向探究变形应用已知函数y1=x+1(x-1)与y2=(x+1)2+4(x-1),求𝑦2𝑦1的最小值,并指出𝑦2𝑦1取得最小值时相应x的值.实际应用已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分:一是固定费用,共360元;二是燃油费,每千米1.6元;三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为0.001.设该汽车一次运输的路程为x千米,求当x为多少时,该汽车平均每千米的运输成本最低,最低是多少元.基础知识巩固高频考向探究变形应用已知函数y1=x+1(x-1)与y2=(x+1)2+4(x-1),求𝑦2𝑦1的最小值,并指出𝑦2𝑦1取得最小值时相应x的值.变形应用𝑦2𝑦1=(𝑥+1)2+4𝑥+1=x+1+4𝑥+1≥4,∴𝑦2𝑦1的最小值为4,此时(x+1)2=4,即x=1或-3.∵x-1,∴x=-3不合题意,舍去,∴x=1.基础知识巩固高频考向探究实际应用已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分:一是固定费用,共360元;二是燃油费,每千米1.6元;三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为0.001.设该汽车一次运输的路程为x千米,求当x为多少时,该汽车平均每千米的运输成本最低,最低是多少元.实际应用设该汽车平均每千米的运输成本为w元,则w=(360+1.6x+0.001x2)÷x=360𝑥+0.001x+1.6≥1.6+2360×0.001=2.8,当360𝑥=0.001x,即x=600时取等号.故当x为600时,该汽车平均每千米的运输成本最低,最低是2.8元.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2018·南京]如图9-5,在数轴上,点A,B分别表示数1,-2x+3.(1)求x的取值范围.(2)数轴上表示数-x+2的点应落在()A.点A的左边B.线段AB上C.点B的右边图9-5解:(1)由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大,得-2x+31,解得x1.基础知识巩固高频考向探究[答案]B[解析]由x1,得-x-1.-x+2-1+2,解得-x+21.∴数轴上表示数-x+2的点在A点的右边;-2x+3与-x+2作差,得-2x+3-(-x+2)=-x+1,由x1,得-x-1,-x+10,∴-2x+3-(-x+2)0,∴-2x+3-x+2,∴数轴上表示数-x+2的点在B点的左边.故选:B.1.[2018·南京]如图9-5,在数轴上,点A,B分别表示数1,-2x+3.(2)数轴上表示数-x+2的点应落在()A.点A的左边B.线段AB上C.点B的右边图9-5基础知识巩固高频考向探究2.[2019·福建22题]某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间,对该厂工业废水进行无害化处理.但随着工厂生产规模的扩大,