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第5课时分式定义一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子①叫做分式有意义的条件分母不为②(B≠0)值为0的条件分子为0,且分母不为0(A=0且B≠0)考点一分式的相关概念𝑨𝑩0分式的基本性质AB=A·MB·M,AB=A÷MB÷M(其中A,B,M是整式,B≠0,M≠0)约分根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分通分根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式③的同分母的分式,叫做分式的通分最简分式分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式最简公分母一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母,叫做最简公分母变号法则AB=−-AB=−A-B=-A-B考点二分式的基本性质相等分式的加减(1)同分母分式相加减分母不变,把分子相加减,即ac±bc=④.(2)异分母分式相加减先通分,变为同分母的分式,再加减,即ab±cd=⑤±⑥=ad±bcbd分式的乘除(1)乘法法则分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母,即ab·cd=⑦.(2)除法法则分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘,即ab÷cd=⑧·⑨=adbc考点三分式的运算𝒂±𝒃𝒄𝒂𝒅𝒃𝒅𝒃𝒄𝒃𝒅𝒂𝒄𝒃𝒅𝒂𝒃𝒅𝒄(续表)分式的乘方分式的乘方把分子、分母分别乘方,即abn=⑩(n为整数)分式的混合运算(1)法则在分式的混合运算中,应先算乘方,再将除法化为乘法,进行约分化简,最后进行加减运算,如果有括号,先算括号里面的.(2)特别说明a.实数的各种运算律也适用于分式的运算;b.分式运算的结果要化成最简分式或整式𝒂𝒏𝒃𝒏考向一分式的有关概念1.当x取什么值时,下列分式有意义?(1)23𝑥;(2)𝑥+24𝑥+1;(3)1𝑥2-9.解:(1)x≠0;(2)x≠-14;(3)x≠±3.2.[2019·泉州石狮一模]若分式𝑥-2𝑥+3的值为0,则x的值是.[答案]2[解析]∵分式𝑥-2𝑥+3的值为0,∴x-2=0,且x+3≠0,∴x=2.故答案为:2.3.如果分式𝑥-1𝑥-1的值为零,那么x的值为()A.-1或1B.1C.-1D.1或0[答案]C[解析]根据题意,得𝑥-1=0,𝑥-1≠0,解得x=-1.故选C.4.[2019·扬州]分式13-𝑥可变形为()A.13+𝑥B.−13+𝑥C.1𝑥-3D.−1𝑥-3考向二分式的基本性质D5.下列计算错误的是()A.𝑎3𝑏2𝑎2𝑏3=𝑎𝑏B.(𝑎-𝑏)2𝑏-𝑎=a-bC.0.2𝑎+𝑏0.5𝑎-𝑏=2𝑎+10𝑏5𝑎-10𝑏D.2𝑎−4𝑎=−2𝑎[答案]B[解析]A选项,分子分母都除以a2b2,故正确;B选项,∵(a-b)2=(b-a)2,∴约分后为b-a,故错误;C选项,分子分母都乘10,故正确;D选项,同分母分式相加减,分母不变,分子相加减,故正确.故选B.6.[2019·福建名校联合模拟]计算:𝑎𝑏𝑎2-𝑏2÷𝑎+𝑏𝑎-𝑏·𝑎+𝑏𝑎+𝑎𝑎+𝑏.考向三分式的运算解:原式=𝑎𝑏(𝑎+𝑏)(𝑎-𝑏)÷𝑎+𝑏𝑎-𝑏·𝑎+𝑏𝑎+𝑎𝑎+𝑏=𝑎𝑏(𝑎+𝑏)(𝑎-𝑏)·𝑎-𝑏𝑎+𝑏·𝑎+𝑏𝑎+𝑎𝑎+𝑏=𝑏𝑎+𝑏+𝑎𝑎+𝑏=1.7.[2019·福建19题]先化简,再求值:(x-1)÷x−2𝑥-1𝑥,其中x=2+1.解:原式=(x-1)÷𝑥2-(2𝑥-1)𝑥=(x-1)÷𝑥2-2𝑥+1𝑥=(x-1)÷(𝑥-1)2𝑥=(x-1)·𝑥(𝑥-1)2=𝑥𝑥-1.当x=2+1时,原式=2+1(2+1)-1=2+12=1+22.8.[2018·福建19题]化简求值:2𝑚+1𝑚-1÷𝑚2-1𝑚,其中m=3+1.解:原式=2𝑚+1-𝑚𝑚·𝑚𝑚2-1=𝑚+1𝑚·𝑚(𝑚+1)(𝑚-1)=1𝑚-1.当m=3+1时,原式=13+1-1=33.9.[2019·遵义]化简式子𝑎2-2𝑎𝑎2-4𝑎+4+1÷𝑎2-1𝑎2+𝑎,并在-2,-1,0,1,2中选取一个合适的数作为a的值代入求值.解:原式=𝑎(𝑎-2)(𝑎-2)2+1÷(𝑎+1)(𝑎-1)𝑎(𝑎+1)=𝑎+𝑎-2𝑎-2÷𝑎-1𝑎=2(𝑎-1)𝑎-2×𝑎𝑎-1=2𝑎𝑎-2.∵a≠-1,0,1,2,∴a=-2,当a=-2时,原式=1.[答案]D10.[2019·北京]如果m+n=1,那么代数式2𝑚+𝑛𝑚2-𝑚𝑛+1𝑚·(m2-n2)的值为()A.-3B.-1C.1D.3[解析]2𝑚+𝑛𝑚2-𝑚𝑛+1𝑚·(m2-n2)=2𝑚+𝑛𝑚(𝑚-𝑛)+𝑚-𝑛𝑚(𝑚-𝑛)·(m+n)(m-n)=3𝑚𝑚(𝑚-𝑛)·(m+n)(m-n)=3(m+n),∵m+n=1,∴原式=3,故选D.[答案]B[解析](𝑥+2)2𝑥2+4𝑥+4−1𝑥+1=(𝑥+2)2(𝑥+2)2−1𝑥+1=1-1𝑥+1,根据x为正整数,类比反比例函数y=-𝑘2+1𝑥的性质,可得-12≤-1𝑥+10,∴12≤1-1𝑥+11,∴表示(𝑥+2)2𝑥2+4𝑥+4−1𝑥+1的值的点落在段②.11.[2019·河北]如图5-1,若x为正整数,则表示(𝑥+2)2𝑥2+4𝑥+4−1𝑥+1的值的点落在()A.段①B.段②C.段③D.段④图5-1考向四分式的创新应用12.观察下列等式:11×2=1−12;12×3=12−13;13×4=13−14.以此类推,将以上三个等式等号两边分别相加,得11×2+12×3+13×4=1−12+12−13+13−14=1−14=34.(1)猜想并写出:1𝑛×(𝑛+1)=.(2)根据以上规律计算:11×2+12×3+13×4+…+1𝑛(𝑛+1).解:(1)1𝑛−1𝑛+1(2)原式=1-12+12−13+13−14+…+1𝑛−1𝑛+1=1-1𝑛+1=𝑛𝑛+1.