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第2课时数的开方与二次根式考点一平方根、算术平方根与立方根名称定义性质a0a=0a0平方根若x2=a,则x叫作a的平方根,x=①两个平方根,且互为相反数平方根为0没有平方根算术平方根当a≥0时,②是a的算术平方根算术平方根为正数(一个)算术平方根为0没有算术平方根立方根若x3=a,则x叫作a的立方根,记作③立方根为④(一个)立方根为0立方根为⑤(一个)±𝒂𝒂𝒂𝟑正数负数1.二次根式一般地,我们把形如𝑎(a≥0)的式子叫做二次根式.为了方便起见,把一个数的算术平方根也称为二次根式.考点二二次根式的有关概念【温馨提示】二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零.3.同类二次根式几个二次根式化为最简二次根式后,如果它们的被开方数相同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式.如8与2是同类二次根式.2.最简二次根式同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式:(1)被开方数不含能开得尽方的因数或因式;(2)被开方数不含分母(包括小数).2.𝑎2=𝑎=⑦(𝑎≥0),⑧(𝑎0).3.𝑎𝑏=𝑎·𝑏(a⑨,b).考点三二次根式的性质≥0a-a≥01.(𝑎)2=a(a⑥).4.𝑏𝑎=𝑏𝑎(a,b).≥00≥0【温馨提示】对于(𝑎)2=a与𝑎2=|a|,需要注意的是(𝑎)2的运算中本身隐含着a≥0,而𝑎2的运算中a可以取全体实数.考点四二次根式的运算1.加减法:先将二次根式化简,再将被开方数相同的二次根式进行合并.2.乘除法:利用考点三中的公式3和4,先进行乘除运算,再化简.【温馨提示】把分母中的根号化去的常见方法:(1)1𝑎=𝑎𝑎;(2)1𝑎-𝑏=𝑎+𝑏(𝑎-𝑏)(𝑎+𝑏)=𝑎+𝑏𝑎-𝑏.考点五二次根式的估值1.确定与二次根式相邻的两个连续整数(1)先对根式进行平方,如(7)2=7;(2)找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数,如479;(3)对以上两个整数开方,如4=2,9=3;(4)确定这个根式的值在(3)中所得两个整数之间,如273.2.确定二次根式离哪个整数最近(1)确定与二次根式相邻的两个连续整数,如273;(2)求这两个连续整数的平均数;(3)将这个平均数进行平方,再与二次根式的平方进行比较;(4)若平均数的平方小于二次根式的平方,则二次根式靠近较大的那个整数;若平均数的平方大于二次根式的平方,则二次根式靠近较小的那个整数.如2.52=6.257,则7离3更近.1.643=()A.4B.±4C.8D.±8考向一平方根、算术平方根与立方根2.[2019·厦门质量检测]若𝑛是有理数,则n的值可以是()A.-1B.2.5C.8D.9AD3.-643=,64的算术平方根是,64的平方根是;4的算术平方根是.-44.已知n是正整数,12n是整数,则n的最小值为.𝟐8±835.(1)若式子𝑎-3在实数范围内有意义,则a的取值范围是.(2)如果代数式𝑥+3𝑥有意义,则实数x的取值范围是.考向二二次根式的概念与性质a≥36.[2018·广东]已知𝑎-𝑏+𝑏-1=0,则a+1=________.x≥-3且x≠07.已知y=3𝑥-2+2-3𝑥+3,则x-y=.2-𝟕𝟑8.实数a,b在数轴上对应点的位置如图2-1所示,化简|a|+(𝑎-𝑏)2的结果是()A.-2a+bB.2a-bC.-bD.bA图2-19.等式𝑥-3𝑥+1=𝑥-3𝑥+1成立的x的取值范围在数轴上可表示为()[答案]B[解析]由等式𝑥-3𝑥+1=𝑥-3𝑥+1成立,可得𝑥-3≥0,𝑥+10,解得𝑥≥3,𝑥-1.故选B图2-210.[2019·原创]下列二次根式中,与3可以相加减的是()A.18B.13C.24D.0.3B11.下列根式不能再化简的是()A.23B.3C.9D.12B12.判断正误.(1)2+3=6;()(2)2·3=6;()(3)12÷3=2;()(4)8−2=2;()(5)27−3=9;()(6)13=33;()(7)13+2=3−2;()(8)146=213.()考向三二次根式的运算×√√√×√√√13.下列各式求值正确的是()A.32=±3B.(-3)2=-3C.−(-4)2=4D.±(-4)2=±4D14.(1)1220−45+83=.(2)(4+7)(4−7)=.2-2𝟓9解:原式=26−18×13−13=26−6−13=6−13.16.计算:|2−5|−218−102+32.解:原式=5-2-224−102+32=5-2-12−5+32=25-1.15.计算:24−18×13−19.考向四二次根式的估算17.[2018·福建7题]已知m=4+3,则以下对m的估算正确的是()A.2m3B.3m4C.4m5D.5m618.设n为正整数,且n65n+1,则n的值为()A.5B.6C.7D.8BD19.[2018·重庆A卷]估计(230−24)·16的值应在()A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间B[答案]B[解析]∵459,∴253,又∵2.52=6.25,∴与5最接近的整数是2,∴与1+5最接近的整数是3.故选B.20.与1+5最接近的整数是()A.4B.3C.2D.1考向五二次根式的创新应用21.如果(3+3)2=a+b3(a,b为有理数),那么a-b等于()A.5B.6C.18D.8B[答案]B22.对于任意的正数m,n,定义新运算“※”为:m※n=𝑚-𝑛(𝑚≥𝑛),𝑚+𝑛(𝑚𝑛).计算(3※2)×(8※12)的结果为()A.2-46B.2C.25D.20[解析]原式=(3−2)×(8+12)=(3−2)×(22+23)=2×(3−2)×(3+2)=2×[(3)2-(2)2]=2×(3-2)=2,故选B.23.[2018·厦门质检]已知a+1=20002+20012,计算2𝑎+1=.400124.(1)如图2-3,若图中小正方形的边长为1,则△ABC的面积为.(2)反思(1)的解题过程,解决下面问题:若2𝑎2+𝑏2,9𝑎2+𝑏2,25𝑎2+𝑏2(其中a,b均为正数)是一个三角形的三条边长,求此三角形的面积.图2-3解:(1)S△ABC=3×3-12×1×2-12×2×3-12×1×3=72,故填72.24.(2)反思(1)的解题过程,解决下面问题:若2𝑎2+𝑏2,9𝑎2+𝑏2,25𝑎2+𝑏2(其中a,b均为正数)是一个三角形的三条边长,求此三角形的面积.图2-3(2)构造如图的三角形:令每个单位矩形的长为b,宽为a,则AB=9𝑎2+𝑏2,AC=2𝑎2+𝑏2,BC=25𝑎2+𝑏2,则△ABC的面积等于大矩形面积与三个直角三角形的面积之差,故S△ABC=5a×2b-12×3a×b-12×5a×b-12×2a×2b=4ab,即此三角形的面积是4ab.