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第1课时实数及其运算1.按定义分实数有理数整数分数:①小数或无限②小数无理数正无理数负无理数无限③小数考点一实数及其分类有限循环不循环2.按大小分(1)实数可分为正实数、0和负实数,0既不是正数,也不是负数.(2)正负数的意义:一般地,对于具有相反意义的量,我们可以把其中一种意义的量规定为正的,并在表示这个量的前面放上“+”;把与它意义相反的量规定为负的,并在表示这个量的前面放上“-”.如规定向东为“+”,则向西为“-”;规定零上为“+”,则零下为“-”.2.判断实数的正负,一定要先化简,再根据定义判断,如-(-2)=2是正数;注意-a不一定是负数,要对a进行分类讨论.【温馨提示】1.常见的4种无理数类型:(1)根号型:2,53等开方开不尽的数;(2)三角函数型:如sin60°,tan30°等;(3)构造型:如0.1010010001…(每相邻两个1之间依次多一个0)等;(4)与π有关的数:如𝜋3,π-1等.判断一个数是不是无理数,不要只看形式,要看化简结果是不是无限不循环小数.1.数轴:规定了原点、④和⑤的直线.数轴上的点与实数一一对应.2.相反数:a的相反数是⑥,0的相反数是0.3.倒数:乘积是⑦的两个数互为倒数.0没有倒数,倒数等于本身的数是±1.图1-1考点二实数的有关概念正方向单位长度-a14.绝对值:一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离,叫做数a的绝对值,记作|a|,离原点越远的数的绝对值越大.|a|=𝑎(𝑎0),0(𝑎=0),⑧(𝑎0).-a1.定义:把一个数写成a×10n的形式,其中,1≤|a|10,n为整数..2.n的确定(1)对于绝对值大于10的数,n为正数,n等于原数的整数位数减1;(2)对于绝对值大于0且小于1的数,n为负数,n的绝对值等于原数左起第一个非零数前所有零的个数(包括小数点前的零).3.常考的计数单位和计量单位:1亿=⑨,1万=⑩;1mm=10-3m,1nm=10-9m等.考点三科学记数法与近似数1081044.科学记数法的还原(1)绝对值大于10的数的还原:将数a的小数点向⑪移动n位;(2)绝对值大于0且小于1的数的还原:将数a的小数点向⑫移动|n|位.右左5.近似数:一个近似数四舍五入到哪一位,那么就说这个近似数精确到哪一位.有计数单位的近似数,由近似数的数位和后面的单位共同确定.如3.618万,数字8实际上是十位上的数字,即精确到十位.数轴比较法数轴上的两个点表示的数,右边的数总比左边的数⑬性质比较法(1)正数0负数;(2)两个正数,绝对值大的较大;两个负数,绝对值大的反而⑭;(3)若一组数据中有正数,0,负数,求最大的数时在正数中找,求最小的数时在负数中找考点四实数的大小比较大小作差比较法对于任意实数a,b:a-b0⇔⑮;a-b=0⇔⑯;a-b0⇔⑰平方比较法a2b⇔ab(a0,b≥0),ab⇔ab≥0(主要用于含有二次根式的无理数的大小比较或无理数的估算)作商比较法当b0时,ab1⇔ab,ab1⇔ab;当b≠0时,ab=1⇔a=b（续表）aba=bab运算律交换律a+b=⑱,ab=⑲结合律(a+b)+c=⑳,(ab)c=㉑分配律a(b+c)=㉒几种常见的运算乘方an=a·a·…·a(n个a相乘)零次幂任何非零实数的零次幂都为1,即a0=㉓(a≠0)考点五实数的运算b+abaa+(b+c)a(bc)ab+ac1几种常见的运算负整数次幂规定a-n=1an(a≠0,n为正整数),特别地,a-1=㉔(a≠0)-1的整数次幂(-1)n=㉕,n为奇数;㉖,n为偶数运算顺序先算乘方,再算乘除,最后算加减;同级运算,从左到右进行;如有括号,先进行㉗运算,一般按小括号、中括号、大括号依次进行（续表）-11括号内的𝟏𝒂2.[2018·福州质检]如图1-2,数轴上M,N,P,Q四点中,能表示3的点是()A.MB.NC.PD.Q1.在实数-−237,9,tan45°,8中,是无理数的是()A.-−237B.9C.tan45°D.8考向一实数的相关概念DC图1-2[答案]B[解析]A.0不存在倒数,故A错误;B.a的相反数是-a,故B正确;C.若|a|=-a,则a≤0,故C错误;D.若x3=x,则x=1或0或-1,故D错误.故选:B.3.[2019·厦门一中三模]下列说法中正确的是()A.有理数a的倒数可表示为1𝑎B.有理数a的相反数可表示为-aC.若|a|=-a,则a为负数D.若x3=x,则x=1或04.写出一个比3大且比4小的无理数:.𝟏𝟓(答案不唯一)考向二科学记数法5.用科学记数法表示下列各数:(1)136000=;(2)-0.000001005=;(3)30900亿=;(4)135万=;(5)3.8×107-3.7×107=.1.36×105-1.005×10-63.09×10121.35×1061×1066.[2019·山西]五台山景区空气清爽,景色宜人.“五一”小长假期间购票进山游客达12万人次,再创历史新高.五台山景区门票价格旺季168元/人.以此计算,“五一”小长假期间五台山景区进山门票总收入用科学记数法表示为()A.2.016×108元B.0.2016×107元C.2.016×107元D.2016×104元7.[2018·河北]一个整数815550…0用科学记数法表示为8.1555×1010,则原数中0的个数为()A.4B.6C.7D.10CB8.[2019·徐州]如图1-3,数轴上有O,A,B三点,O为原点,OA,OB分别表示仙女座星系、M87黑洞与地球的距离(单位:光年).下列选项中,与点B表示的数最为接近的是()A.5×106B.107C.5×107D.108图1-3[答案]C[解析]本题考查了数轴的应用以及科学记数法,由于点A表示的数为2.5×106,靠近B的整数应该是2.5×106的20倍,于是点B最接近的数约为2.5×106×20=5×107,故选C.9.[2019·攀枝花]用四舍五入法将130542精确到千位,正确的是()A.131000B.0.131×106C.1.31×105D.13.1×104[答案]C[解析]130542≈131000=1.31×105,故选C.考向三实数的大小比较10.[2018·福建1题]在实数|-3|,-2,0,π中,最小的数是()A.|-3|B.-2C.0D.πB11.[2018·龙岩质检]实数a,b在数轴上的对应点位置如图1-4所示,把-a,-b,0按照从小到大的顺序排列,正确的是()A.-a0-bB.0-a-bC.-b0-aD.0-b-a图1-4C12.[2019·厦门双十中学模拟]实数a,b,c,d在数轴上的对应点的位置如图1-5所示,则正确的结论是()A.|a||c|B.bc0C.a+d0D.b-2图1-5[答案]A[解析]A.∵a-4,0c1,∴|a||c|,结论A正确;B.∵b0,c0,∴bc0,结论B错误;C.∵a-4,d=4,∴a+d0,结论C错误;D.-2b-1,结论D错误.故选:A.13.[2019·台湾]数轴上有O,A,B,C四点,各点位置与各点所表示的数如图1-6所示.若数轴上有一点D,D点所表示的数为d,且|d-5|=|d-c|,则关于D点的位置,下列叙述何者正确()A.在A的左边B.介于A,C之间C.介于C,O之间D.介于O,B之间图1-6[答案]D[解析]∵c0,|c|5,|d-5|=|d-c|,∴BD=CD,∴D点介于O,B之间,故选:D.考向四实数的运算A15.[2018·福建11题]计算:220−1=.16.[2017·福建11题]计算|-2|-30=.0114.[2019·福建1题]计算22+(-1)0的结果是()A.5B.4C.3D.217.[2017·福建14题]已知A,B,C是数轴上的三个点,且C在B的右侧,点A,B表示的数分别是1,3,如图1-7所示.若BC=2AB,则点C表示的数是.7图1-718.[2019·福建12题]如图1-8,数轴上A,B两点所表示的数分别是-4和2,C是线段AB的中点,则点C所表示的数是.-1图1-819.(1)计算:50+|-4|-2×(-3).(2)计算:(2020-π)0+−13-1+3-2−3tan30°+613.(3)计算:6÷−12+13,方方同学的计算过程如下:原式=6÷−12+6÷13=-12+18=6.请你判断方方的计算过程是否正确,若不正确,请你写出正确的计算过程.解:(1)原式=1+4+6=11.(2)原式=1-3+2-3-3×33+6×33=1-3+2-3−3+23=0.(3)方方的计算过程不正确,正确的计算过程是:原式=6÷-36+26=6÷-16=6×(-6)=-36.20.定义新运算:对于任意实数a,b,都有a⊕b=a(a-b)+1,等式右边是通常的加法、减法及乘法运算,比如:2⊕5=2×(2-5)+1=2×(-3)+1=-6+1=-5,求(-2)⊕3的值.解:∵a⊕b=a(a-b)+1,∴(-2)⊕3=-2×(-2-3)+1=10+1=11.21.在一条不完整的数轴上从左到右有点A,B,C,其中AB=2,BC=1,如图1-9所示,设点A,B,C所对应的三个数的和是p.(1)若以B为原点,写出点A,C所对应的数,并计算p的值;若以C为原点,p又是多少?(2)若原点O在图中数轴上点C的右边,且CO=28,求p.图1-9解:(1)若以B为原点,则A所对应的数为-2,C所对应的数为1,此时,p=-2+0+1=-1;若以C为原点,则A所对应的数为-3,B所对应的数为-1,此时,p=-3+(-1)+0=-4.21.在一条不完整的数轴上从左到右有点A,B,C,其中AB=2,BC=1,如图1-9所示,设点A,B,C所对应的三个数的和是p.(2)若原点O在图中数轴上点C的右边,且CO=28,求p.图1-9(2)若原点O在图中数轴上点C的右边,且CO=28,则C所对应的数为-28,B所对应的数为-29,A所对应的数为-31,此时,p=-28+(-29)+(-31)=-88.