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第16课时二次函数的实际应用考点一建立二次函数模型解决问题考点聚焦常见类型关键步骤抛物线形问题建立方便求解析式的平面直角坐标系,找到图象上三点的坐标,用待定系数法求二次函数的解析式销售利润问题理清各个量之间的关系,找出等量关系求得解析式,根据要求确定函数的最值或建立方程求解图形面积问题利用几何知识用变量x表示出图形的面积y,根据要求确定函数的最值或建立方程求解【温馨提示】(1)求函数的最值时,要注意实际问题中自变量的取值限制对最值的影响.若对称轴的取值不在自变量的取值范围内,则最值在自变量取值的端点处取得.(2)建立平面直角坐标系的原则是易于求二次函数的解析式.考点二图象信息类问题1.表格类观察点的特征,验证满足条件的二次函数的解析式及其图象,利用二次函数的性质求解.2.图文类根据图文,借助图形上的关键点,提取信息,建立二次函数模型解题.1.苹果熟了,从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足关系式s=12gt2(g=9.8),则s与t的函数图象大致是()题组一必会题对点演练B图16-12.如图16-2,一边靠校园围墙(围墙足够长),其他三边用总长为80米的铁栏杆围成一个矩形花圃,设矩形ABCD的边AB为x米,面积为S平方米,要使矩形ABCD的面积最大,则x的值为()A.40B.30C.20D.10图16-2C3.某商品进货单价为90元,按100元一件出售时,能售500件,如果这种商品每涨1元,其销售量就减少10件,为了获得最大利润,其单价应定为()A.130元B.120元C.110元D.100元[答案]B[解析]设应涨价x元,则所获利润为:y=(100+x)(500-10x)-90×(500-10x)=-10x2+400x+5000=-10(x2-40x+400)+9000=-10(x-20)2+9000,可见涨价20元,单价为100+20=120(元)时获利最大.故选B.题组二易错题【失分点】最大利润问题易错点是对利润、利润率、进价、售价的相互关系模糊不清;抛物线型问题,常常涉及坐标系的建立;求实际问题中的最值时,忽略自变量取值范围的限制.[答案]D4.[2018·连云港]已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=-t2+24t+1,下列说法中正确的是()A.点火后9s和点火后13s的升空高度相同B.点火后24s火箭落于地面C.点火后10s的升空高度为139mD.火箭升空的最大高度为145m[解析]A.当t=9时,h=-81+216+1=136,当t=13时,h=-169+312+1=144,升空高度不相同,故A错误;B.当t=24时,h=-576+576+1=1,火箭的升空高度是1m,故B错误;C.当t=10时,h=-100+240+1=141,故C错误;D.根据题意可得,最大高度为4𝑎𝑐-𝑏24𝑎=-4-576-4=145(m),故D正确,故选D.5.某中学有一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA,O恰在水面中心,安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,且在过OA的任一平面上,抛物线形状如图16-3①所示.在图②中建立直角坐标系,水流喷出的高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系式是y=-x2+3x+4.请问:若不计其他因素,水池的半径至少要米才能使喷出的水流不至于落在池外.图16-3[答案]4[解析]在y=-x2+3x+4中,当y=0时,即-x2+3x+4=0,解得x1=4,x2=-1,又∵x0,∴x=4米,即水池的半径至少要4米才能使喷出的水流不至于落在池外.考向一抛物线型问题例1[2017·德州]随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越来越美丽.如图16-4,小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池,在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高,水柱落地处离池中心3米.(1)请你建立适当的平面直角坐标系,并求出水柱抛物线的函数解析式;(2)求出水柱的最大高度是多少.图16-4解:(1)如图,以喷水管与地面交点为原点,原点与水柱落地点所在直线为x轴,喷水管所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.由题意可设抛物线的函数解析式为y=a(x-1)2+h(0≤x≤3).抛物线过点(3,0)和(0,2),代入抛物线解析式,可得4𝑎+ℎ=0,𝑎+ℎ=2,解得𝑎=-23,ℎ=83.所以抛物线解析式为y=-23(x-1)2+83(0≤x≤3).化为一般式为y=-23x2+43x+2(0≤x≤3).例1[2017·德州]随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越来越美丽.如图16-4,小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池,在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高,水柱落地处离池中心3米.(2)求出水柱的最大高度是多少.图16-4(2)由(1)得抛物线解析式为y=-23(x-1)2+83(0≤x≤3),可知当x=1时y最大值=83.所以抛物线水柱的最大高度为83米.|考向精练|1.[2018-2019学年九(上)厦门期末]地面上一个小球被推开后笔直滑行,滑行的距离s与时间t的函数关系如图16-5中的部分抛物线所示(其中P是该抛物线的顶点),则下列说法正确的是()A.小球滑行6秒停止B.小球滑行12秒停止C.小球滑行6秒回到起点D.小球滑行12秒回到起点图16-5A2.[2019·莆田质检]加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t:(单位:分钟)满足的函数关系为p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图16-6记录了三次实验的数据,根据上述函数模型和实验数据,可得到最佳加工时间为()A.4.25分钟B.4.00分钟C.3.75分钟D.3.50分钟图16-6C3.[2018·绵阳]如图16-7是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m,水面下降2m,水面宽度增加m.图16-7(42-4)考向二销售问题例2[2019·龙岩质检]小宝大学毕业后回家乡进行园艺创业,第一期培植盆景与花卉各50盆,售后进行统计得知:盆景的平均每盆利润是160元,花卉的平均每盆利润是20元.调研发现:①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元:每减少1盆,盆景的平均每盆利润增加2元;②花卉的平均每盆利润始终不变.小宝计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1、W2(单位:元).(1)用含x的代数式分别表示W1,W2;(2)当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大?最大总利润是多少?解:(1)W1=(160-2x)(50+x)=-2x2+60x+8000,W2=20(50-x)=-20x+1000.例2[2019·龙岩质检]小宝大学毕业后回家乡进行园艺创业,第一期培植盆景与花卉各50盆,售后进行统计得知:盆景的平均每盆利润是160元,花卉的平均每盆利润是20元.调研发现:①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元:每减少1盆,盆景的平均每盆利润增加2元;②花卉的平均每盆利润始终不变.小宝计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1、W2(单位:元).(2)当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大?最大总利润是多少?(2)依题意得:W=W1+W2=-2x2+40x+9000=-2(x-10)2+9200.因为x为正整数,所以当x=10时,总利润W最大,最大值为9200.答:当x=10时,第二期培植的盆景与花卉售完获得的总利润最大,最大总利润是9200元.|考向精练|1.春节期间,物价局规定花生油的最低价格为4.1元/斤,最高价格为4.5元/斤,小王按4.1元/斤购入,若原价出售,则每天平均可卖出200斤,若价格每上涨0.1元,则每天少卖出20斤,求油价定为多少元时,每天获利最大,最大利润是多少元.解:设定价为x元/斤,每斤获利(x-4.1)元,∵价格每上涨0.1元,每天少卖出20斤,∴每天的销售量为200-20(x-4.1)×10=-200x+1020(斤),设每天获利为W元,则W=(-200x+1020)(x-4.1)=-200x2+1840x-4182=-2(100x2-920x+2116)+4232-4182=-2(10x-46)2+50,∵a=-20,∴当x≤4.6时W随x的增大而增大,∵物价局规定花生油的最低价格为4.1元/斤,最高价格为4.5元/斤,∴4.1≤x≤4.5,∴当x=4.5时,W有最大值,即获利最大,最大获利=-2(10×4.5-46)2+50=-2+50=48(元).2.[2016·泉州]某进口专营店销售一种“特产”,其成本价是20元/千克,根据以往的销售情况描出销售量y(千克/天)与售价x(元/千克)的关系,如图16-8所示.(1)试求出y与x之间的一个函数关系式.(2)利用(1)的结论,解决下列问题.①当每千克售价为多少元时,每天可以获得最大的销售利润?②进口产品检验、运输等过程需耗时5天,该“特产”最长的保存期为一个月(30天),若售价不低于30元/千克,则一次最多只能进货多少千克?图16-8解:(1)从图象中可知,此函数可近似为一次函数.设此一次函数关系式为y=kx+b,则38=37𝑘+𝑏,34=39𝑘+𝑏,解得𝑘=-2,𝑏=112,故y与x之间的函数关系式为y=-2x+112.2.[2016·泉州]某进口专营店销售一种“特产”,其成本价是20元/千克,根据以往的销售情况描出销售量y(千克/天)与售价x(元/千克)的关系,如图16-8所示.(2)利用(1)的结论,解决下列问题.①当每千克售价为多少元时,每天可以获得最大的销售利润?②进口产品检验、运输等过程需耗时5天,该“特产”最长的保存期为一个月(30天),若售价不低于30元/千克,则一次最多只能进货多少千克?图16-8(2)①设每天可以获得的销售利润为w元,依题意有w=(x-20)(-2x+112)=-2x2+152x-2240=-2(x-38)2+648,∵-20,∴当x=38时,w取最大值648.故当每千克售价为38元时,每天可以获得最大的销售利润.②由题意可得,售价越低,销量越大,即能进最多的货,设一次进货m千克,则m=(30-5)y=25(-2x+112)=-50x+2800.∵-500,∴m随x的增大而减小,又x≥30,∴当x=30时,m取得最大值1300.故一次最多只能进货1300千克.3.[2018-2019学年九(上)厦门期末]小李的活鱼批发店以44元/千克的价格从港口买进一批2000千克的某品种活鱼,在运输过程中,有部分鱼未能存活,小李对运到的鱼进行随机抽查,结果如表一.由于市场调节,该品种活鱼的售价与日销售量之间有一定的变化规律,表二是近一段时间该批发店的销售记录.(1)请估计运到的2000千克鱼中活鱼的总质量;(直接写出答案)(2)按此市场调节的规律,①若该品种活鱼的售价定为52.5元/千克,请估计日销售量,并说明理由;②考虑到该批发店的储存条件,小李打算8天内卖完这批鱼(只卖活鱼),且售价保持不变,求该批发店每日卖鱼可能达到的最大利润,并说明理由.表一表二所抽查的鱼的总质量m(千克)100150200250350450500存活的鱼的质量与m的比值0.8850.8760.8740.8780.8710.8800.880该品种活鱼的售价(元/千克)5051525354该品种活鱼的日销售量(千克)400360320280240解:(1)估计运到2000千克鱼中活鱼的总质量为1760千克.3.[2018-2019学年九(上)厦门期末]小李的活鱼批发店以44元/千克的价格从港口买进一批2000千克的某品种活鱼,在运输过程中,有部分鱼未能存活,小李对运到的鱼进行随机抽查,结果如表一.由于市场