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第15课时二次函数的图象与性质2考点一二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特征与a,b,c及判别式b2-4ac的符号之间的关系考点聚焦项目字母符号图象的特征aa0开口向上a0开口向下bb=0对称轴为y轴ab0(b与a同号)对称轴在y轴左侧ab0(b与a异号)对称轴在y轴右侧项目字母符号图象的特征cc=0经过原点c0与y轴正半轴相交c0与y轴负半轴相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点(顶点)b2-4ac0与x轴有两个不同交点b2-4ac0与x轴没有交点(续表)【温馨提示】当x=1时,y=a+b+c;当x=-1时,y=a-b+c.考点二二次函数与一元二次方程的关系二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有着密切的关系,二次函数的图象与x轴的交点的横坐标是对应的一元二次方程的实数根,抛物线与x轴的交点情况可由b2-4ac的符号判定.1.有两个交点⇔①⇔方程有②的实数根.2.有一个交点⇔③⇔方程有④的实数根.3.没有交点⇔⑤⇔方程⑥实数根.b2-4ac0两个不相等b2-4ac=0两个相等b2-4ac0无考点三二次函数与不等式二次函数与不等式的关系(1)ax2+bx+c0的解集函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方的部分对应的点的横坐标的取值范围.(2)ax2+bx+c0的解集函数y=ax2+bx+c的图象位于⑦的部分对应的点的横坐标的取值范围.x轴下方1.若二次函数的图象开口向下,则a0(填“=”“”或“”).题组一必会题对点演练2.已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是x1=,x2=.123.[2019·泰安改编]若二次函数y=x2+bx-5图象的对称轴为直线x=2,则关于x的方程x2+bx-5=2x-13的解为;不等式x2+bx-52x-13的解集为.[答案]x1=2,x2=4;2x4[解析]∵二次函数y=x2+bx-5的对称轴为直线x=2,∴b=-4,∴原方程化为x2-4x-5=2x-13,解之,得x1=2,x2=4.由图象可得原不等式的解集为2x4.4.二次函数y=-x2+bx+c的部分图象如图15-1所示,由图象可知,不等式-x2+bx+c0的解集为.[答案]x-1或x5[解析]抛物线的对称轴为直线x=2,而抛物线与x轴的一个交点坐标为(5,0),所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-1,0),所以不等式-x2+bx+c0的解集为x-1或x5.故答案为x-1或x5.图15-15.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图15-2所示.给出下列结论:①b0;②c0;③a+cb;④b2-4ac0,其中正确结论的序号是.图15-2②③④题组二易错题【失分点】忽视二次函数的最大值其实已经暗示了开口方向,对a没有限制;忽略了二次函数y=ax2+bx+c的隐含条件a≠0;混淆与坐标轴的交点和与x轴的交点的区别.6.抛物线y=2x2-22x+1与坐标轴的交点个数是()A.0B.1C.2D.3[答案]C[解析]抛物线y=2x2-22x+1,令x=0,得到y=1,即抛物线与y轴交点为(0,1);令y=0,得到2x2-22x+1=0,即(2x-1)2=0,解得x1=x2=22,即抛物线与x轴交点为22,0,则抛物线与坐标轴的交点个数是2,故选C.7.已知关于x的二次函数y=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1的图象与x轴总有交点,则m的取值范围是.[答案]m≤-59且m≠-6[解析]关于x的二次函数y=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1的图象与x轴总有交点,所以Δ=4(m-1)2-4(m+6)(m+1)≥0,解得m≤-59,又因为该函数是关于x的二次函数,所以m+6≠0,即m≠-6,所以m的取值范围是m≤-59且m≠-6.考向一二次函数解析式中a,b,c的意义例1[2019·龙岩质检]如图15-3,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),顶点坐标是(1,n),与y轴的交点在(0,3)和(0,6)之间(包含端点),则下列结论错误的是()A.3a+b0B.-2≤a≤-1C.abc0D.9a+3b+2c0图15-3C|考向精练|1.[2019·北京丰台期末]二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图15-4所示,那么下列说法正确的是()A.a0,b0,c0B.a0,b0,c0C.a0,b0,c0D.a0,b0,c0图15-4B2.[2019·凉山州]二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图15-5所示,有以下结论:①3a-b=0;②b2-4ac0;③5a-2b+c0;④4b+3c0,其中错误结论的个数是()A.1B.2C.3D.4图15-5[答案]A[解析]根据对称轴-𝑏2𝑎=-32得b=3a,故可得3a-b=0,所以结论①正确;由于抛物线与x轴有两个不同的交点,所以b2-4ac0,结论②正确;根据结论①可知b=3a,∴5a-2b+c=5a-6a+c=-a+c,观察图象可知a0,c0,∴5a-2b+c=-a+c0,结论③正确;根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x轴的右交点在原点与(1,0)之间(不含这两点),所以当x=1时,y=a+b+c0,∵a=13b,∴43b+c0,∴4b+3c0,∴结论④错误.故选A.3.在同一坐标系中,反比例函数y=𝑘𝑥与二次函数y=kx2+k(k≠0)的图象可能为()图15-6[答案]D[解析]分两种情况讨论:①当k0时,反比例函数y=𝑘𝑥的图象在二、四象限,而二次函数y=kx2+k的图象开口向下,与y轴交点在原点下方,都不符;②当k0时,反比例函数y=𝑘𝑥的图象在一、三象限,而二次函数y=kx2+k的图象开口向上,与y轴交点在原点上方,D符合.故它们在同一直角坐标系中的图象大致是D.故选D.[解析]根据已知条件,画出函数图象,如图所示.由已知得:𝑎0,--12𝑎≤-1,𝑎+1-𝑎≤1,解得:-12≤a0.[答案]-12≤a04.[2016·厦门]已知点P(m,n)在抛物线y=ax2-x-a上,当m≥-1时,总有n≤1成立,则a的取值范围是.考向二二次函数与方程、不等式的结合例2二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图15-7所示,根据图象解答下列问题:(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根;(2)写出不等式ax2+bx+c0的解集;(3)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围.图15-7解:(1)由图象可知,图象与x轴交于(1,0)和(3,0),则方程ax2+bx+c=0的两个根为1和3.(2)由图象可知,当1x3时,不等式ax2+bx+c0.(3)由图象可知,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值为2,若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,则k必须小于y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值,则k2.|考向精练|1.已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表:则当y5时,x的取值范围是.x…-10123…y…105212…[答案]0x4[解析]由表格知抛物线的顶点坐标是(2,1),在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,故抛物线的开口向上,当x=0时,y=5,由抛物线的对称性知,当x=4时,y=5,则当y5时,0x4.2.[2019·济宁]如图15-8,抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-1,p),B(3,q)两点,则不等式ax2+mx+cn的解集是.图15-8x-3或x13.[2019·南平适应性检测]已知m,n分别是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=a与ax2+bx+c=b的一个根,且m=n+1.(1)当m=2,a=-1时,求b与c的值;(2)用只含字母a,n的代数式表示b;(3)当a0时,函数y=ax2+bx+c满足b2-4ac=a,b+c≥2a,n≤−12,求a的取值范围.解:(1)因为m,n分别是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=a与ax2+bx+c=b的一个根,所以𝑎𝑚2+𝑏𝑚+𝑐=𝑎,①𝑎𝑛2+𝑏𝑛+𝑐=𝑏,②(*)由m=n+1,m=2得n=1.把n=1,m=2,a=-1,代入(*)得,-4+2𝑏+𝑐=-1,-1+𝑏+𝑐=𝑏,解得𝑏=1,𝑐=1.3.[2019·南平适应性检测]已知m,n分别是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=a与ax2+bx+c=b的一个根,且m=n+1.(2)用只含字母a,n的代数式表示b;(2)由(1)的方程组(*)中①-②,得a(m2-n2)+b(m-n)=a-b,(m-n)[a(m+n)+b]=a-b,由m=n+1,得m-n=1,故a(m+n)+b=a-b,所以a(2n+1)+b=a-b,从而b=-na.3.[2019·南平适应性检测]已知m,n分别是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=a与ax2+bx+c=b的一个根,且m=n+1.(3)当a0时,函数y=ax2+bx+c满足b2-4ac=a,b+c≥2a,n≤−12,求a的取值范围.(3)把b=-na代入方程组(*)②中,得c=-na,由b+c≥2a得-2na≥2a,当a0时,n≥-1,由n≤-12得,-1≤n≤-12,由b2-4ac=a,且b=c=-na,得(-na)2-4a·(-na)=a,整理得,n2a2+4na2=a,因为a0,所以,1𝑎=n2+4n,即1𝑎=(n+2)2-4,由于1𝑎在-1≤n≤-12时随n的增大而增大,所以当n=-1时,a=-13;当n=-12时,a=-47,即-47≤a≤-13.考向三二次函数的综合问题例3[2018-2019厦门九上期末]在平面直角坐标系xOy中,点A(0,2),B(p,q)在直线l上,抛物线m经过点B,C(p+4,q),且它的顶点N在直线l上.(1)若B(-2,1),①请在图15-9的平面直角坐标系中画出直线l与抛物线m的示意图;②设抛物线m上的点Q的横坐标为e(-2≤e≤0),过点Q作x轴的垂线,与直线l交于点H.若QH=d,当d随e的增大而增大时,求e的取值范围;(2)抛物线m与y轴交于点F,当抛物线m与x轴有唯一交点时,判断△NOF的形状并说明理由.图15-9解:(1)①如图即为所求.例3[2018-2019厦门九上期末]在平面直角坐标系xOy中,点A(0,2),B(p,q)在直线l上,抛物线m经过点B,C(p+4,q),且它的顶点N在直线l上.(1)若B(-2,1),②设抛物线m上的点Q的横坐标为e(-2≤e≤0),过点Q作x轴的垂线,与直线l交于点H.若QH=d,当d随e的增大而增大时,求e的取值范围;图15-9②由①可求得,直线l:y=12x+2,抛物线m:y=-14x2+2.因为点Q在抛物线m上,过点Q且与x轴垂直的直线与l交于点H,所以可设点Q的坐标为e,-14e2+2,点H的坐标为e,12e+2,其中-2≤e≤0.当-2≤e≤0时,点Q总在点H的正上方,可得d=-14e2+2-12e+2=-14e2-12e=-14(e+1)2+14.因为-140,所以当d随e的增大而增大时,e的取值范围是-2≤e≤-1.例3[2018-2019厦门九上期末]在平面直角坐标系xOy中,点A(0,2),B(p,q)在直线l上,抛物线m经过点B,C(p+4,q),且它的顶点N在直线l上.(2)抛物线m与y轴交于点F,当抛物线m与x轴有唯一交点时,判断△NOF的形状并说明理由.图15-9(2)因为B(p,q),C(p+4,q)在抛物线m上,所以抛物线m的对称轴为直线x=p+2.又因为抛物线m与x轴只有一个交点,可设顶点N(p+2,0).设抛物线的解析式为y=a(x-p-2)2.当x=0时,yF=a(p+2)2.可得F(0,a(p+2)2).把B(p,q)