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第11课时函数与一次函数的图象和性质考点一函数的有关概念考点聚焦1.常量与变量在某一变化过程中,固定①的量称为常量,可以取②数值的量称为变量.不变不同【温馨提示】常量和变量是相对的,判断常量和变量的前提是在“某一变化过程中”.同一个量在不同的变化过程中可以是常量,也可以是变量.2.函数(1)函数的概念一般地,在某一变化过程中,如果有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应,我们称x是自变量,y是x的函数.(2)函数值对于一个函数,当自变量x=a时,对应的y的值叫做自变量取a时的函数值.【温馨提示】函数是指某一变化过程中的两个变量之间的关系.3.函数的表示通常表示函数的方法有三种:(1)③法;(2)④法;(3)⑤法.解析式列表图象函数表达式的形式自变量的取值范围举例整式型全体实数y=x分式型使分母⑥的实数若y=1x,则x≠0二次根式型被开方数⑦的实数若y=x,则x≥0分式与二次根式结合型使分母不为0且使被开方数大于或等于0的实数若y=xx-1,则x≥0且x≠14.函数自变量的取值范围不等于0大于或等于0【温馨提示】实际问题中自变量的取值还要符合变量的实际意义.5.函数的图象(1)一般地,对于一个函数,如果以自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.(2)描点法画函数图象的一般步骤:a⑧;b⑨;c⑩.列表描点连线考点二一次函数与正比例函数的概念一般地,如果y=kx+b(k,b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数.特别地,当b=0时,一次函数y=kx+b变为y=kx(k为常数,k≠0),这时y叫做x的正比例函数.考点三一次函数的图象和性质1.一次函数的图象:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0,b)和-𝑏𝑘,0的.正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过点(0,0)和点(1,k)的一条直线.一条直线【温馨提示】一次函数的图象是一条直线,由两点确定一条直线可知,画一次函数的图象时,只要取两个点即可.2.一次函数的性质函数常数取值大致图象经过的象限函数的性质y=kx+b(k≠0)k0,b0y随x的增大而增大k0,b0k0,b0y随x的增大而减小k0,b0一、二、三一、三、四一、二、四二、三、四【温馨提示】(1)一次函数y=kx+b的增减性只与k的取值有关,与b的取值无关.(2)一次函数y=kx+b的图象可由正比例函数y=kx的图象平移得到.若b0,则y=kx的图象向上平移b个单位长度;若b0,则y=kx的图象向下平移个单位长度.3.两条直线的位置关系若直线l1和l2的函数表达式分别为y=k1x+b1和y=k2x+b2,则它们的位置关系可由其系数确定:(1)k1≠k2⇔l1与l2相交;(2)k1=k2,b1≠b2⇔l1与l2平行.4.一次函数图象与坐标轴的交点坐标及两个一次函数图象的交点坐标(1)一次函数的图象与x轴的交点坐标:设y=0,求出对应的x的值.(2)一次函数的图象与y轴的交点坐标:设x=0,求出对应的y的值.(3)两个一次函数图象的交点坐标:解由两个函数表达式组成的二元一次方程组,方程组的解即为两函数图象交点的坐标.考点四用待定系数法求一次函数的表达式在一次函数y=kx+b(k≠0)中有两个待定系数k和b,所以要确定其表达式,一般需要两个条件,把两个条件代入函数表达式中构造二元一次方程组求解即可.题组一必会题对点演练1.下列关于变量x,y的关系式:①y=2x;②2x-3y=1;③y=|2x|;④5x-y2=1;⑤y=±x,其中y是x的函数的个数为()A.2B.3C.4D.5B2.函数y=𝑥-1中,自变量x的取值范围是.x≥13.已知点(-1,y1),(4,y2)在一次函数y=3x-2的图象上,则y1,y2,0的大小关系是()A.0y1y2B.y10y2C.y1y20D.y20y1B4.在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象如图11-1所示,观察图象可得()A.k0,b0B.k0,b0C.k0,b0D.k0,b0A图11-15.根据图11-2所给函数图象,可求出图①中的函数表达式为,图②中的函数表达式为.y=-x+2图11-2y=𝟒𝟕x7.已知一次函数y=2x+4,画出函数的图象.(1)图象与x轴的交点A的坐标是,与y轴的交点B的坐标是;(2)在(1)的条件下,△AOB的面积为;(3)点C(-5,y1),D−72,y2,Ex1,52,F(x2,6)在函数图象上,则y1y2,x1x2.(填“”“=”或“”)6.直线y=2x+1向下平移2个单位长度后,所得直线的函数表达式是;再向右平移2个单位长度后,所得直线的函数表达式是.y=2x-1y=2x-5图略(-2,0)(0,4)4题组二易错题【失分点】忽视函数定义中的限制条件;忽略坐标系中表示线段的长时要取点的坐标的绝对值;分类讨论不全.8.若函数y=(k-2)𝑥𝑘2-3−5是关于x的一次函数,则k的值为()A.-2B.2C.2或-2D.不确定[答案]A[解析]∵函数y=(k-2)𝑥𝑘2-3-5是关于x的一次函数,∴k2-3=1,k-2≠0,解得k=-2.故选A.9.若一次函数y=3x+b的图象与两坐标轴围成的三角形面积为24,则这个一次函数的解析式为.[答案]y=3x+12或y=3x-12[解析]当x=0时,y=b;当y=0时,x=-𝑏3.则一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标为(0,b),-𝑏3,0,∴三角形面积为12×|b|×-𝑏3=24,即b2=144,解得b=±12,∴这个一次函数的解析式为y=3x+12或y=3x-12.10.如果一次函数y=kx+b的图象不经过第三象限,则k,b的取值范围分别为.11.已知一次函数y=kx+b,且当-3≤x≤1时,1≤y≤9,则k+b的值为.k0,b≥09或1考向一函数的概念及函数图象的分析与判断例1[2015·漳州]均匀地向如图11-3的容器中注满水,能反映在注水过程中水面高度h随时间t变化的函数图象是()图11-3A图11-4|考向精练|1.[2019·资阳]爷爷在离家900米的公园锻炼后回家,离开公园20分钟后,爷爷停下来与朋友聊天10分钟,接着又走了15分钟回到家中.下面图象中表示爷爷离家的距离y(米)与爷爷离开公园的时间x(分钟)之间的函数关系的是()图11-5[答案]B[解析]由题意,当x=0时,y=900;从公园回家一共用了20+10+15=45(分钟),则当x=45时,y=0;故选:B.2.[2019·眉山]函数y=𝑥+2𝑥-1中自变量x的取值范围是()A.x≥-2且x≠1B.x≥-2C.x≠1D.-2≤x1A考向二一次函数的图象与性质例2画出一次函数y=23x-2的图象,并回答下列问题.(1)当x取何值时,y=0?(2)当x取何值时,y0?(3)当-1x1时,求y的取值范围.(4)若-2≤y≤-1,求x的取值范围.解:(1)当x=3时,y=0;(2)当x3时,y0;(3)当-1x1时,-83y-43;(4)当-2≤y≤-1时,0≤x≤32.|考向精练|1.对于函数y=2x-1,下列说法正确的是()A.它的图象过点(1,0)B.y值随着x值的增大而减小C.它的图象经过第二象限D.当x1时,y0D2.[2019·泉州质检]一次函数y=-2x+1的图象不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限C3.表格描述的是y与x之间的函数关系:则m与n的大小关系是.mnx…-2024…y=kx+b…3-1mn…4.[2018·莆田质检]已知一次函数y=kx+1的图象经过点A,且函数值y随x的增大而减小,则点A的坐标可能是()A.(2,4)B.(-1,2)C.(-1,-4)D.(5,1)B5.[2018·福清模拟]将直线y=12x向下平移3个单位,得到直线.y=𝟏𝟐x-3考向三函数表达式的确定例3[2018·福清模拟]已知一次函数的图象经过A(-2,-3),B(1,3)两点.(1)求这个一次函数的解析式;(2)试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上;(3)求此函数图象与x轴、y轴围成的三角形的面积.解:(1)设一次函数的解析式为y=kx+b,则-3=-2𝑘+𝑏,3=𝑘+𝑏,解得𝑘=2,𝑏=1.∴一次函数的解析式为y=2x+1.例3[2018·福清模拟]已知一次函数的图象经过A(-2,-3),B(1,3)两点.(2)试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上;(2)将P(-1,1)的坐标代入函数解析式,得1≠-2+1,∴点P不在这个一次函数的图象上.例3[2018·福清模拟]已知一次函数的图象经过A(-2,-3),B(1,3)两点.(3)求此函数图象与x轴、y轴围成的三角形的面积.(3)当x=0时,y=1;当y=0时,x=-12.∴此函数图象与x轴、y轴围成的三角形的面积为12×1×-12=14.1.[2019·绍兴]若三点(1,4),(2,7),(a,10)在同一直线上,则a的值等于()A.-1B.0C.3D.4|考向精练|[答案]C[解析]设直线的解析式为y=kx+b(k≠0),由题意得4=𝑘+𝑏,7=2𝑘+𝑏,解得𝑘=3,𝑏=1,得直线的解析式为y=3x+1,把(a,10)的坐标代入直线解析式中,得a=3,故选C.[答案]D2.[2018·泉州、晋江二模]不论a为何值,点A(a,4a+3)都在直线l上.若B(m,n)是直线l上的一点,则(4m-n+1)2的值是()A.-3B.-2C.9D.4[解析]设直线l的解析式为y=kx+b(k≠0),∵无论a取什么实数,点A(a,4a+3)都在直线l上,∴当a=1时,A(1,7);当a=2时,A(2,11).∴𝑘+𝑏=7,2𝑘+𝑏=11,解得:𝑘=4,𝑏=3.∴直线l的解析式为y=4x+3.∵点B(m,n)也是直线l上的一点,∴4m+3=n,∴4m-n=-3,∴(4m-n+1)2的值是4,故选D.[答案]C3.[2017·福建9题]若直线y=kx+k+1经过点(m,n+3)和(m+1,2n-1),且0k2,则n的值可以是()A.3B.4C.5D.6[解析]由已知可得𝑛+3=𝑘𝑚+𝑘+1①,2𝑛-1=𝑘(𝑚+1)+𝑘+1②,②-①得k=n-4,又0k2,∴0n-42,解得4n6,因此只有选项C的数值是符合条件的数值,故选C.4.[2018·宁德质检]已知一次函数y=kx+2k+3(k≠0),不论k为何值,该函数的图象都经过点A,则点A的坐标为.(-2,3)5.[2019·三明质检]在平面直角坐标系中,直线l经过点A(-1,-4)和B(1,0),求直线l的函数表达式.图11-6解:设直线l的函数表达式为y=kx+b(k≠0),依题意,得-𝑘+𝑏=-4,𝑘+𝑏=0,解得:𝑘=2,𝑏=-2,所以直线l的函数表达式为y=2x-2.6.[2017·泰州]平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(m+1,m-1).(1)试判断点P是否在一次函数y=x-2的图象上,并说明理由;(2)如图11-7,一次函数y=−12x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点A,B,若点P在△AOB的内部,求m的取值范围.图11-7解:(1)在;理由如下:把x=m+1代入y=x-2,得y=m-1,故点P在一次函数y=x-2的图象上.6.[2017·泰州]平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(m+1,m-1).(2)如图11-7,一次函数y=−12x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点A,B,若点P在△AOB的内部,求m的取值范围.图11-7(2)把x=0代入y=-12x+3,得y=3,故B点坐标是(0,3);把y=0代入y=-12x+3,得x=6,故A点坐标是(6,0);解方程组𝑦=𝑥-2,𝑦=-12𝑥+3,得𝑥=103,𝑦=43.因为点P在△AOB的内部,所以2𝑚+1103