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第10课时平面直角坐标系考点一平面直角坐标系内点的坐标特征考点聚焦1.各象限内点的坐标的符号特征(如图10-1):图10-1(-,+)(-,-)(+,-)2.坐标轴上的点的特征:(1)点P(x,y)在x轴上⇔y=④;(2)点P(x,y)在y轴上⇔⑤=0;(3)点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上⇔⑥.0xx=y=0【温馨提示】坐标轴上的点不属于任何象限.3.平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征(1)平行于x轴的直线上的点⇔⑦坐标相同,⑧坐标为不相等的实数;(2)平行于y轴的直线上的点⇔⑨坐标相同,⑩坐标为不相等的实数.4.象限角平分线上点的坐标特征(1)点P(x,y)在第一、三象限的角平分线上⇔x=y;(2)点P(x,y)在第二、四象限的角平分线上⇔⑪.纵横横纵y=-x5.对称点的坐标特征点P(x,y)关于x轴对称的点P1的坐标为⑫;点P(x,y)关于y轴对称的点P2的坐标为⑬;点P(x,y)关于原点对称的点P3的坐标为⑭.规律可简记为:关于谁对称,谁不变,另一个变号;关于原点对称都变号.图10-2(x,-y)(-x,y)(-x,-y)6.点平移的坐标特征P(x,y)P'(x-a,y)(或(x+a,y));P(x,y)P″⑮(x,y+b)(或(x,y-b))考点二点到坐标轴的距离1.点P(x,y)到x轴的距离为⑯;到y轴的距离为|x|;到原点的距离为⑰.2.若P(x1,y1),Q(x2,y2),则PQ∥x轴⇔PQ=⑱.PQ∥y轴⇔PQ=⑲.|y|𝒙𝟐+𝒚𝟐|x1-x2||y1-y2|[拓展]若P(x1,y1),Q(x2,y2),则线段PQ的中点坐标公式为𝑥1+𝑥22,𝑦1+𝑦22,P,Q两点间的距离公式为(𝑥1-𝑥2)2+(𝑦1-𝑦2)2.图10-3考点三用坐标表示地理位置1.平面直角坐标系法.2.方向角+距离.题组一必会题对点演练1.如图10-4,下列说法正确的是()A.A与D的横坐标相同B.C与D的横坐标相同C.B与C的纵坐标相同D.B与D的纵坐标相同图10-4C2.在平面直角坐标系中,若点P的坐标为(-3,2),则点P所在的象限是.第二象限3.已知点P(1-a,a-2),若点P在x轴上,则点P的坐标为;若点P在y轴上,则点P的坐标为.(-1,0)(0,-1)4.已知点P(2,3),则点P到x轴的距离是,到y轴的距离是.已知点Q(-2,-3),则点Q到x轴的距离是,到y轴的距离是.32325.建立一个平面直角坐标系.(1)画△ABC,使它的顶点坐标分别为A(-1,3),B(-2,0),C(3,0);(2)所画△ABC的面积为.解:(1)如图.7.5题组二易错题【失分点】忽视距离表示坐标时需要考虑正负的分类;忽视坐标中的点所在象限的分类.6.若点P在y轴上,且点P到x轴的距离为3,则点P的坐标是()A.(3,0)B.(0,3)C.(3,0)或(-3,0)D.(0,3)或(0,-3)D7.点P(x,y)是平面直角坐标系内一点,若xy0,则点P的位置在;若xy0,则点P的位置在;若xy=0,则点P的位置在;若x2+y2=0,则点P的位置在.8.已知点A(x-6,4-3x)到两条坐标轴的距离相等,则A点的坐标为.第一或第三象限第二或第四象限x轴或y轴上原点(-3.5,-3.5)或(-7,7)考向一平面直角坐标系及点的坐标特征例1[2018·宁德质检]在平面直角坐标系中,A,B,C,D,M,N的位置如图10-5所示.若点M的坐标为(-2,0),N的坐标为(2,0),则在第二象限内的点是()A.A点B.B点C.C点D.D点图10-5A|考向精练|1.[2019·株洲]在平面直角坐标系中,点A(2,-3)位于哪个象限()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限D2.[2019·甘肃]已知点P(m+2,2m-4)在x轴上,则点P的坐标是()A.(4,0)B.(0,4)C.(-4,0)D.(0,-4)A考向二用坐标表示位置和距离例2[2019·厦门质检]如图10-6,在平面直角坐标系中,若▱ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是(2,3),(1,-1),(7,-1),则点D的坐标是.(8,3)图10-6|考向精练|1.[2019·泉州质检]小王和小丽下棋,小王执圆子,小丽执方子,如图10-7是在直角坐标系中棋子摆出的图案.若再摆放一圆一方两枚棋子,使9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形,则这两枚棋子的坐标分别是()A.圆子(2,3),方子(1,3)B.圆子(1,3),方子(2,3)C.圆子(2,3),方子(4,0)D.圆子(4,0),方子(2,3)A图10-72.[2019·泉州惠安县质量监测(一)]如图10-8,在平面直角坐标系中,过格点A,B,C作一圆弧,将点B与下列格点分别连线,当连线与圆弧相切时,该格点的坐标是()A.(0,3)B.(2,3)C.(5,1)D.(6,1)图10-8C3.如图10-9是某市市区四个旅游景点示意图(图中每个小正方形的边长都为1个单位长度),已知开心岛坐标为(-200,300),金凤广场的坐标为(100,200).(1)在图中作出坐标系;(2)用坐标表示:①动物园,②烈士陵园.解:(1)如图.图10-9(200,400)(-100,-100)4.[2019·福建14题]在平面直角坐标系xOy中,▱OABC的三个顶点分别为O(0,0),A(3,0),B(4,2),则其第四个顶点C的坐标是.(1,2)5.[2019·北京海淀期末]如图10-10,在平面直角坐标系xOy中,点A(3,0),判断在M,N,P,Q四点中,满足到点O和点A的距离都小于2的点是.图10-10M,N[答案]45°6.[2018-2019学年九(上)厦门期末改编]在平面直角坐标系xOy中,已知A(2,0),B(1,-1),将线段OA绕点O逆时针旋转,旋转角为α(0°α135°).记点A的对应点为A1,若点A1与点B的距离为6,则α为.[解析]如图,∵A(2,0),B(1,-1),∴OA=OA1=2,OB=2.∵BA1=6,∴O𝐴12+OB2=B𝐴12,∴∠A1OB=90°.∵∠AOB=45°,∴∠A1OA=45°,∴α=90°-45°=45°.考向三坐标与图形运动解:A(m,n)向上平移4个单位,向左平移1个单位得到点B(m-1,n+4);再向下平移2个单位,向左平移3个单位得到点C(m-4,n+2);再向上平移3个单位,向右平移7个单位得到点D(m+3,n+5);因为D(2n,2-4m),所以m+3=2n,n+5=2-4m.解得m=-1,n=1.例3[2019·原创]已知平面直角坐标系内点A(m,n),将点A向上平移4个单位,向左平移1个单位得到点B;再将B向下平移2个单位,向左平移3个单位得到点C;再将C向上平移3个单位,向右平移7个单位得到点D,且D(2n,2-4m),求n,m的值.1.[2019·厦门质检]在平面直角坐标系中,若点A在第一象限,则点A关于原点的中心对称点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限|考向精练|C[答案]D[解析]方法一:由旋转可知点C是线段AA'的中点,则由中点坐标公式可以求得点A'的坐标;方法二:如图,过点A,A‘分别作y轴的垂线,垂足分别为E,F.由题意可得,点A,A’的横坐标互为相反数,CE=CF=-1-b,∴点A‘的横坐标为-a,OF=CF-1=-b-2,∴点A'的坐标为(-a,-b-2).2.如图10-11,将△ABC绕点C(0,-1)旋转180°得到△A'B'C,设点A的坐标为(a,b),则点A'的坐标为()A.(-a,-b)B.(-a,-b-1)C.(-a,-b+1)D.(-a,-b-2)图10-11考向四坐标系中面积的计算例4如图10-12所示,在△AOB中,A,B两点的坐标分别为(2,4)和(6,2),求△AOB的面积.图10-12解:过A作x轴的平行线l交y轴于点E,过B作x轴的垂线,交直线l于点C,交x轴于点D,则S矩形ECDO=6×4=24,SRt△AEO=12×4×2=4;SRt△ABC=12×2×4=4;SRt△OBD=12×6×2=6;∴S△OAB=S矩形ECDO-SRt△ABC-SRt△AEO-SRt△OBD=10.∴△AOB的面积是10.|考向精练|1.如图10-13所示,已知平面直角坐标系中,A(-2,3),B(3,2),连接AO,BO,AB,求△AOB的面积.图10-13解:如图,过A,B分别向x轴作垂线交x轴于点M,N,则线段AM=3,BN=2,MN=5,所以S梯形AMNB=12(2+3)×5=12.5,S△AMO=12AM·MO=12×3×2=3,S△BON=12BN·ON=12×2×3=3,所以S△AOB=S梯形AMNB-S△AMO-S△BON=12.5-3-3=6.5.2.如图10-14,在平面直角坐标系中,已知A(0,a),B(b,0),C(b,c)三点,其中a,b,c满足关系式𝑎-2+(b-3)2=0,(c-4)2≤0.(1)求a,b,c的值.(2)如果在第二象限内有一点Pm,12,请用含m的式子表示四边形ABOP的面积.(3)在(2)的条件下,是否存在点P,使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.图10-14解:(1)∵𝑎-2+(b-3)2=0,∴a-2=0,b-3=0,即a=2,b=3.∵(c-4)2≤0,(c-4)2≥0,∴c=4.∴a=2,b=3,c=4.2.如图10-14,在平面直角坐标系中,已知A(0,a),B(b,0),C(b,c)三点,其中a,b,c满足关系式𝑎-2+(b-3)2=0,(c-4)2≤0.(2)如果在第二象限内有一点Pm,12,请用含m的式子表示四边形ABOP的面积.图10-14(2)S四边形ABOP=S△AOB+S△AOP=12×3×2+12×2×|m|=3+|m|.∵点P在第二象限,∴m0,∴S四边形ABOP=3+|m|=3-m.2.如图10-14,在平面直角坐标系中,已知A(0,a),B(b,0),C(b,c)三点,其中a,b,c满足关系式𝑎-2+(b-3)2=0,(c-4)2≤0.(3)在(2)的条件下,是否存在点P,使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.图10-14(3)S四边形ABOP=S△ABC,3-m=12×4×3,3-m=6,m=-3,∴存在点P使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等.P-3,12.