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第7课时分式方程及其应用考点一分式方程的概念及解法考点聚焦1.分式方程:分母中含有①的方程.未知数2.分式方程的解法(1)基本思想:把分式方程转化为整式方程.(2)一般步骤:图7-1最简公分母3.解分式方程时,要将其转化为整式方程.原分式方程的解都是整式方程的解,而整式方程的解不一定是原分式方程的解,只有其中那些使原分式方程的分母③的解,才是原分式方程的解.不等于0考点二分式方程的应用1.列分式方程解应用题的步骤与列其他方程解应用题类似.不同之处:要检验两次,既要检验求出来的解是不是原分式方程的解,又要检验是否符合题意.2.常见问题类型及关系式(1)行程问题:相同路程甲速度−相同路程乙速度=时间差;相同路程慢速−相同路程快速=时间差.(2)工程问题:工作总量原工作效率−工作总量新工作效率=时间差;甲工作总量甲工作效率−乙工作总量乙工作效率=时间差.2.若x=5是分式方程𝑎𝑥-2−15𝑥=0的根,则()A.a=-5B.a=5C.a=-9D.a=91.方程2𝑥+1𝑥-1=3的解是x=()A.−45B.45C.-4D.4题组一必会题对点演练DD3.解分式方程2𝑥-1+𝑥+21-𝑥=3时,去分母后变形正确的为()A.2+(x+2)=3(x-1)B.2-x+2=3(x-1)C.2-(x+2)=3D.2-(x+2)=3(x-1)D4.[2019·南平适应性检测]现有甲、乙两种机器人都被用来搬运某体育馆室内装潢材料.甲型机器人比乙型机器人每小时少搬运30千克,甲型机器人搬运600千克所用的时间与乙型机器人搬运800千克所用的时间相同,两种机器人每小时分别搬运多少千克?设甲型机器人每小时搬运x千克,根据题意,可列方程为()A.600𝑥=800𝑥+30B.600𝑥=800𝑥-30C.600𝑥+30=800𝑥D.600𝑥-30=800𝑥A题组二易错题【失分点】解分式方程,去分母时漏乘常数项,忽略符号变化;忘记检验根的合理性.5.[2019·淄博]解分式方程1-𝑥𝑥-2=12-𝑥−2时,去分母变形正确的是()A.-1+x=-1-2(x-2)B.1-x=1-2(x-2)C.-1+x=1+2(2-x)D.1-x=-1-2(x-2)D6.分式方程𝑥𝑥-1−1=3(𝑥-1)(𝑥+2)的解为()A.x=1B.x=2C.x=-1D.无解D7.若关于x的方程2𝑥-𝑏𝑥-1=3的解是非负数,则b的取值范围是.[答案]b≤3且b≠2[解析]去分母得,2x-b=3x-3,∴x=3-b.∵x≥0,∴3-b≥0,解得b≤3,又∵x-1≠0,∴x≠1,即3-b≠1,b≠2,则b的取值范围是b≤3且b≠2.考向一解分式方程例1解下列分式方程.(1)[2019·黔三州]1−𝑥-32𝑥+2=3𝑥𝑥+1.(2)𝑥-3𝑥-2+1=12-𝑥.解:(1)去分母,得2x+2-(x-3)=6x,去括号,得2x+2-x+3=6x,移项,得2x-x-6x=-2-3,合并同类项,得-5x=-5,系数化为1,得x=1.经检验,x=1是原分式方程的解.(2)方程两边乘x-2,得x-3+x-2=-1,解得x=2.检验:当x=2时,x-2=0,因此x=2不是原分式方程的解,所以,原分式方程无解.|考向精练|解:去分母,得6-x=x-2,解得x=4,经检验x=4是分式方程的解.1.[2019·北京朝阳一模]解分式方程:3𝑥-2−𝑥2𝑥-4=12.2.[2019·北京西城二模]解方程:𝑥𝑥+1=1+1𝑥.解:两边同乘x𝑥+1,得x2=x(x+1)+x+1,整理,得2x=-1,解得x=-12.经检验,x=-12是原方程的解.考向二分式方程解的正负问题例2若关于x的分式方程𝑚-1𝑥-1=2的解为非负数,则m的取值范围是()A.m-1B.m≥-1C.m-1且m≠1D.m≥-1且m≠1[答案]D[解析]方程两边同乘(x-1),得m-1=2(x-1),∴x=𝑚+12.∵x为非负数,∴𝑚+12≥0,解得m≥-1.又∵x-1≠0,即𝑚+12≠1,∴m≠1,∴m≥-1且m≠1.故选D.|考向精练|关于x的分式方程3𝑥-𝑚𝑥-1=2的解是负数,则字母m的取值范围是()A.m2B.m2C.m-2D.m-2B考向三分式方程的应用例3[2019·云南]为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围,推进平安校园建设,甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生,分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发,前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动.已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍,甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地,分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度.解:设甲校师生所乘大巴车的平均速度为x千米/时,则乙校师生所乘大巴车的平均速度为1.5x千米/时.根据题意,得240𝑥−2701.5𝑥=1,解得x=60,经检验,x=60是原分式方程的解.∴1.5x=90.答:甲、乙两校师生所乘大巴车的平均速度分别为60千米/时和90千米/时.|考向精练|1.[2018·厦门质检]A,B两种机器人都被用来搬运化工原料,A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg,A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等,设B型机器人每小时搬运xkg化工原料,依题意,可列方程为.𝟗𝟎𝟎𝒙+𝟑𝟎=𝟔𝟎𝟎𝒙2.[2019·三明质检]惠好商场用24000元购进某种玩具进行销售,由于深受顾客喜爱,很快脱销,惠好商场又用50000元购进这种玩具,所购数量是第一次购进数量的2倍,但每套进价比第一次多了10元.(1)惠好商场第一次购进这种玩具多少套?(2)惠好商场以每套300元的价格销售这种玩具,当第二次购进的玩具售出45时,出现了滞销,商场决定降价促销,若要使第二次购进的玩具销售利润率不低于12%,剩余的玩具每套售价至少要多少元?解:(1)设惠好商场第一次购进这种玩具x套,依题意,得24000𝑥=500002𝑥-10,解得x=100.经检验,x=100是该方程的根.答:惠好商场第一次购进这种玩具100套.2.[2019·三明质检]惠好商场用24000元购进某种玩具进行销售,由于深受顾客喜爱,很快脱销,惠好商场又用50000元购进这种玩具,所购数量是第一次购进数量的2倍,但每套进价比第一次多了10元.(2)惠好商场以每套300元的价格销售这种玩具,当第二次购进的玩具售出45时,出现了滞销,商场决定降价促销,若要使第二次购进的玩具销售利润率不低于12%,剩余的玩具每套售价至少要多少元?(2)设剩余玩具每套的售价为y元,则第二次进价为50000÷200=250(元/套),(300-250)×45×200+1-45×200×(y-250)≥50000×12%,解得y≥200.答:剩余玩具每套售价至少要200元.3.[2016·莆田]甲车从A地驶往B地,同时乙车从B地驶往A地,两车相向而行,匀速行驶,甲车距B地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系如图7-2所示,乙车的速度是60km/h.(1)求甲车的速度;(2)当甲、乙两车相遇后,乙车速度变为akm/h,并保持匀速行驶,甲车速度保持不变,结果乙车比甲车晚38分钟到达终点,求a的值.图7-2解:(1)由图象可得,甲车的速度为280-1202=80(km/h),即甲车的速度是80km/h.3.[2016·莆田]甲车从A地驶往B地,同时乙车从B地驶往A地,两车相向而行,匀速行驶,甲车距B地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系如图7-2所示,乙车的速度是60km/h.(2)当甲、乙两车相遇后,乙车速度变为akm/h,并保持匀速行驶,甲车速度保持不变,结果乙车比甲车晚38分钟到达终点,求a的值.图7-2(2)相遇时间为28080+60=2(h),由题意可得,12080+3860=280-120𝑎,解得a=75,经检验,a=75是原分式方程的解,且符合题意.即a的值是75.