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第6课时一次方程(组)及其应用考点一等式的概念和等式的性质考点聚焦1.等式:表示相等关系的式子,叫做等式.ac2.等式的性质性质1:如果a=b,那么a±c=b±c;性质2:(1)如果a=b,那么①=bc;(2)如果a=b,c≠0,那么②=𝑏𝑐.𝒂𝒄考点二方程的概念1.方程:含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.含有一个未知数的方程的解,也叫方程的根.3.解方程:求方程解的过程叫做解方程.考点三一元一次方程的解法1.一元一次方程的概念:只含有一个未知数,且未知数的最高次数是一次的整式方程,叫做一元一次方程.2.一元一次方程的一般形式:③.ax+b=0(a≠0)3.解一元一次方程的一般步骤:(1)去分母:在方程两边都乘各分母的最小公倍数.(2)去括号:注意括号前的系数与符号.(3)移项:把含有未知数的项移到方程的一边,其他项移到另一边,注意移项时要改变符号.(4)合并同类项:把方程化成ax=b(a≠0)的形式.(5)系数化为1:方程两边同除以x的系数,得x=𝑏𝑎的形式.【温馨提示】去分母时方程两边都乘最简公分母,注意别漏乘.4.ax=b,当a≠0时ax=b有唯一解x=𝑏𝑎;当a=0但b≠0时,ax=b没有解;当a=0且b=0时,ax=b有无数解.考点四二元一次方程的有关概念1.二元一次方程:含有④个未知数,且含有未知数的项的次数都是⑤的整式方程.2.二元一次方程的解:适合一个二元一次方程的每一对未知数的值.任何一个二元一次方程都有无数解.两一次【温馨提示】二元一次方程组的解是组成二元一次方程组中两个方程的公共解.考点五二元一次方程组的解法常用方法:代入消元法,加减消元法.二元一次方程组的解应写成𝑥=𝑎,𝑦=𝑏的形式.【温馨提示】在用代入法求解时,用含其中一个未知数的代数式去表示另一个未知数.考点六一次方程(组)的应用列方程(组)解应用题的一般步骤:(1)审:审清题意,分清题中的已知量、未知量.(2)设:设未知数.(3)列:列有关代数式,根据题意寻找等量关系列方程(组).(4)解:解方程(组).(5)验:检验方程(组)的解是否符合题意.(6)答:写出答案(包括单位).【温馨提示】审题是基础,列方程的关键在于列代数式,抓住等量关系.考点七常见的几种方程应用类型及等量关系常见类型基本数量关系行程问题路程=速度×时间相遇问题甲走的路程+乙走的路程=两地距离追及问题同地不同时出发:前者走的路程=追者走的路程;同时不同地出发:前者走的路程+两地距离=追者走的路程航行问题顺水速度=静水速度+水流速度;逆水速度=静水速度-水流速度工程问题工作总量=工作效率×工作时间（续表）常见类型基本数量关系销售问题售价=标价×折扣;销售额=售价×销量;总利润=(售价-进价)×销量;利润=进价×利润率利息问题利息=本金×利率×期数;本息和=本金+利息题组一必会题对点演练1.已知3是关于x的方程2x-a=1的解,则a的值为()A.-5B.5C.7D.-72.若关于x的一元一次方程x+m-3=0的解是负数,则m的取值范围是()A.m3B.m≥3C.m3D.m≤3BA3.由方程组𝑥+𝑚=6,𝑦-3=𝑚可得到x与y的关系式是()A.x+y=9B.x+y=-3C.x+y=3D.x+y=-9A4.利用加减消元法解方程组2𝑥+5𝑦=-10①,5𝑥-3𝑦=6②,下列做法正确的是()A.要消去y,可以将①×5+②×2B.要消去x,可以将①×3+②×5C.要消去y,可以将①×5+②×3D.要消去x,可以将①×(-5)+②×2D5.数学文化[2018·龙岩质检]我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题:“今有三人共车,二车空;二人共车,九人步.问人与车各几何?”其大意是:每车坐3人,两车空出来;每车坐2人,多出9人无车坐,问人数和车数各多少?设车x辆,根据题意,可列出的方程是()A.3x-2=2x+9B.3(x-2)=2x+9C.𝑥3+2=𝑥2−9D.3(x-2)=2(x+9)B题组二易错题【失分点】去分母时出现漏乘常数项导致错误;利用加减法解二元一次方程组时,两方程相减时,出现符号错误.6.若(m-2)x|m|-1-5=0是关于x的一元一次方程,则m的值为()A.-2B.2C.±2D.无法确定A7.下列运用等式的性质,变形不正确的是()A.若x=y,则x+5=y+5B.若a=b,则ac=bcC.若x=y,则𝑥𝑎=𝑦𝑎D.若𝑎𝑐=𝑏𝑐(c≠0),则a=b8.方程2−2𝑥-43=−𝑥-76去分母得()A.2-2(2x-4)=-(x-7)B.12-2(2x-4)=-x-7C.12-2(2x-4)=-(x-7)D.12-(2x-4)=-(x-7)CC9.用加减消元法解方程组9𝑥-5𝑦=16①,2𝑥-𝑦=3②时,第一步:②×5,得10x-5y=15③;第二步:③-①,得x=1;第三步:把x=1代入②,得y=-1,则上述步骤中开始出现错误的是()A.第一步B.第二步C.第三步D.无法确定B10.[2018·海淀期末]下列等式变形正确的是()A.若-3x=5,则x=−35B.若𝑥3+𝑥-12=1,则2x+3(x-1)=1C.若5x-6=2x+8,则5x+2x=8+6D.若3(x+1)-2x=1,则3x+3-2x=1D考向一等式的基本性质例1[2018·长乐模拟]下列运用等式性质中,一定正确的是()A.若a=b,则a+c=b-cB.若a=b,则𝑎𝑐=𝑏𝑐C.若𝑎𝑐=𝑏𝑐,则a=bD.若a=3,则a2=3a2C|考向精练|D已知等式2x=y+3,则下列等式不成立的是()A.2x-3=yB.2x-1=y+2C.x=12y+32D.x=12y+3考向二方程(组)的解法（微专题）例2解方程:3𝑥-14−1=5𝑥-76.角度1一元一次方程的解法解:去分母,得3(3x-1)-12=2(5x-7),去括号,得9x-3-12=10x-14,移项,得9x-10x=-14+15,合并同类项,得-x=1,系数化为1,得x=-1.|考向精练|1.[2019·南充]如果6a=1,那么a的值为()A.6B.16C.-6D.−16B2.解方程:3𝑥-24−5𝑥+26=1-x.解:去分母,得3(3x-2)-2(5x+2)=12(1-x),去括号,得9x-6-10x-4=12-12x,移项、合并同类项,得9x-10x+12x=12+6+4,11x=22,系数化为1,得x=2.角度2一元一次方程组的解法例3[2019·福建17题]解方程组:𝑥-𝑦=5,2𝑥+𝑦=4.解:𝑥-𝑦=5,①2𝑥+𝑦=4,②①+②得,3x=9,解得x=3,将x=3代入①,得3-y=5,解得y=-2.所以原方程组的解为𝑥=3,𝑦=-2.|考向精练|1.若关于x,y的方程组𝑦+2𝑥=𝑚,𝑥+2𝑦=5𝑚的解满足x+y=6,则m的值为()A.1B.2C.3D.4C2.[2019·常州]若𝑥=1,𝑦=2是关于x,y的二元一次方程ax+y=3的解,则a=.13.[2019·厦门质检]解方程组𝑥+𝑦=4,𝑥-2𝑦=1.解:𝑥+𝑦=4,①𝑥-2𝑦=1.②①-②得,(x+y)-(x-2y)=4-1,y+2y=3,3y=3,y=1.把y=1代入①得,x+1=4,解得x=3.所以原方程组的解为𝑥=3,𝑦=1.考向三方程的应用（微专题）例4福州市决定对一段总长为1800米的沿河步行道进行改造,该任务由甲、乙两工程队先后接力完成.甲工程队每天改造12米,乙工程队每天改造8米,共用了200天.(1)根据题意,小莉、小刚两名同学分别列出了尚不完整的方程组如下:小莉:𝑥+𝑦=,12𝑥+8𝑦=.小刚:𝑥+𝑦=,𝑥12+𝑦8=.角度1工程问题根据两名同学所列的方程组,请你分别指出未知数x,y表示的意义,然后在横线上补全小莉、小刚两名同学所列的方程组:小莉:x表示,y表示;小刚:x表示,y表示.(2)求甲、乙两工程队分别改造步行道多少米.解:(1)小莉:甲工程队改造天数乙工程队改造天数小刚:甲工程队改造长度乙工程队改造长度小莉:𝑥+𝑦=200,12𝑥+8𝑦=1800.小刚:𝑥+𝑦=1800,𝑥12+𝑦8=200.(2)利用小刚的方法,解方程组得𝑥=600,𝑦=1200.∴甲工程队改造600米,乙工程队改造1200米.例4福州市决定对一段总长为1800米的沿河步行道进行改造,该任务由甲、乙两工程队先后接力完成.甲工程队每天改造12米,乙工程队每天改造8米,共用了200天.(2)求甲、乙两工程队分别改造步行道多少米.角度2几何图形问题例5[2019·莆田仙游书峰中学二模]小明用8个一样大小的矩形(长acm,宽bcm)拼图,拼出了如图6-1甲、乙的两种图案:图案甲是一个大的矩形;图案乙是一个正方形,图案乙的中间留下了边长为2cm的正方形小洞.求:(a+2b)2-8ab的值.图6-1解:根据小明所拼的图案甲,有3a=5b;所拼的图案乙,有2b=a+2.∴3𝑎=5𝑏,2𝑏=𝑎+2,解得𝑎=10,𝑏=6.∴(a+2b)2-8ab=(10+2×6)2-8×10×6=4.|考向精练|A1.数学文化[2018·福建8题]我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题:“一条竿子一条索,索比竿子长一托.折回索子去量竿,却比竿子短一托.”其大意为:现有一根竿和一条绳索,用绳索去量竿,绳索比竿长5尺;如果将绳索对半折后再去量竿,就比竿短5尺.设绳索长x尺,竿长y尺,则符合题意的方程组是()A.𝑥=𝑦+5,12𝑥=𝑦-5B.𝑥=𝑦-5,12𝑥=𝑦+5C.𝑥=𝑦+5,2𝑥=𝑦-5D.𝑥=𝑦-5,2𝑥=𝑦+52.数学文化[2019·福建8题]《增删算法统宗》记载:“有个学生资性好,一部孟子三日了,每日增添一倍多,问君每日读多少?”其大意是:有个学生天资聪慧,三天读完一部《孟子》,每天阅读的字数是前一天的两倍,问他每天各读多少个字?已知《孟子》一书共有34685个字,设他第一天读x个字,则下面所列方程正确的是()A.x+2x+4x=34685B.x+2x+3x=34685C.x+2x+2x=34685D.x+12x+14x=34685[答案]A[解析]设他第一天读x个字,则第二天读2x个字,第三天读4x个字,由题意可列方程x+2x+4x=34685.3.闽北某村原有林地120公顷,旱地60公顷,为适应产业结构调整,需把一部分旱地改造为林地,改造后,旱地面积占林地面积的20%,设把x公顷旱地改造为林地,则可列方程为.60-x=20%(120+x)4.[2014·漳州]水仙花是漳州市花,如图6-2,在长为14m、宽为10m的长方形展厅划出三个形状、大小完全一样的小长方形摆放水仙花,则每个小长方形的周长为m.图6-2165.某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱.矿泉水的成本和销售价格如下表所示:(1)该商场分别购进甲、乙两种矿泉水各多少箱?(2)全部售完500箱矿泉水,该商场共获得利润多少元?单价类别成本价(元/箱)销售价(元/箱)甲2436乙3348解:(1)设该商场分别购进甲、乙两种矿泉水x箱、y箱,由题意,得𝑥+𝑦=500,24𝑥+33𝑦=13800,解得𝑥=300,𝑦=200.答:该商场分别购进甲、乙两种矿泉水300箱、200箱.5.某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱.矿泉水的成本和销售价格如下表所示:(2)全部售完500箱矿泉水,该商场共获得利润多少元?单价类别成本价(元/箱)销售价(元/箱)甲2436乙3348(2)全部售完500箱矿泉水,该商场共获得利润:300×(36-24)+200×(48-33)=6600(元).答:该商场共获得利润6600元.6.数学文化[2017·福建20题]我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题:“今有鸡兔同笼,上有