板弯曲详细讲解

板分成以下三种类型：薄板：（1/801/100）t/b（1/51/8）；薄膜：t/b（1/801/100）；厚板：t/b（1/51/8）。xyzt/2t/2中面薄板弯曲板所承受的荷载：•作用于中面的面内载荷。弹性力学平面问题•垂直于中面的横向荷载。板将产生弯曲，板的中面将变形成为一个曲面，垂直于中面的位移称为挠度w。小挠度弯曲问题薄膜：其抗弯的能力很低，可认为其抗弯刚度为零，横向荷载由板面内的轴向力和板面内的剪切力来承担；厚板：其内部任意点的应力状态与三维物体类似，难以进行简化，应按照三维问题处理；对于厚度比较小的薄板。薄板的基本假定：（1）板中面法线变形前是直线，变形后仍保持直线，且与变形后的中面保持垂直；（2）中面法线变形后既不伸长也不缩短；（3）中面各点没有平行于中面的位移。假定（2）（与梁弯曲问题的互不挤压假定相似）z=0w=w(x,y)0zwz假定（1）（与梁弯曲问题的平面假定相似）zx=zy=0，使用假定（3），得：f1(x,y)=0，f2(x,y)=00＝＋zuxw0＝＋zvywyxfxwzu,1yxfywzv,2ABAB''wzxuOK'K22xwzxux22ywzyvyyxwzyuxv22xy•薄板的应变x=Kxzy＝Kyzxy＝2Kxyzz=yz=zx＝0xwzuywzvxyzabced22xwxK22ywyKyxw2xyK•薄板的应力分量(x、y、xy）通过平面问题的物理方程由应变求出(z、zx、zy）则必须由三个平衡微分方程求解给出应力分量（z、zx、zy）尽管相对面内应力分量（x、y、xy）很小，它们对应的应变分量z、zx、zy可略去不计，但它们本身由于是平衡所必须的而不能忽略不计。22ywxwEz2221x22xwywEz2221yyxwEz21xy特点：均沿厚度呈线性分布，在中面处为零，在板的上、下板面达到最大。应力分量（x、y、xy）考虑薄板上、下板面的边界条件解得横向剪应力，为特点：横向剪应力zx、zy沿板厚度方向呈抛物线分布，在板的上、下板面为零，在板中面最大。yxzyxxzxxyzyzyxy02tzzx02tzzywxtzE2222412zxwytzE2222412zy利用z方向的平衡条件求zZyxyzxzzz将z方向所有力作用等效移置到板面上，02tzzqtzz2－222tttzZdtZq－板上、下表面的边界条件变成wztvEzz22224)1(2),(34)1(243223yxfwzztvEtzwtztz-vEt4223121)1(6zz沿板厚度方向呈三次方变化最大值发生在板面为q，最小值在板底为0。02tzz利用板下面的边界条件，f(x,y)=0利用板下面的边界条件，得：qtzz2qwEt423)1(12)1(1223vEtD＝D是板的弯曲刚度，板厚的三次方成正比，与弹模成正比，与梁的弯曲刚度类似qwD4•薄板的平衡微分方程xyzxzxyyxyzyx22ttxxdzzMdzzMxyttxy22dzQxzxtt22dzzMytty22dzzMyxttyx22dzQyzytt22•薄板横截面上的内力•剪应力互等定理xy=yx，Mxy=Myx•正负规定：在z为正，若应力分量为正，则由此合成的内力为正•内力是作用在每单位宽度上的力，例如：弯矩和扭矩的量纲应是［力］，而不是通常的［力］［长度］。xyzMxyMyxMyQMxxQy)(2222ywvxwDMx)(2222xwvywDMyyxwDMM21yxxywxDQx2wyDQy2•内力由挠度表示xxzMt312yyzMt312xyxyzMt312yyzQztt)4(6223xzxQztt)4(6223)1()21(22ttqzzz（x，y，xy）～qb2/t2（xz，xzy）～qb/tz～q•应力与内力的关系0qQQyxyx0xyxxQyMxM0yyxyQMMyx02222qMxMMyxyx22yyx•由内力表示的平衡微分方程D4w=q＋侧边边界条件xyzABC•侧边边界条件由圣维南原理满足•将分布剪力和分布扭矩合成为分布剪力AB(M)yxA(M)yxBdxMyxdxdxxMMyxyx•可用2个大小相等为Myx，方向相反，相距dx的垂直力代替•可用2个大小相等为，方向相反，相距dx的垂直力代替dxxMMyxyxxMQVyxyy此外，还有两端未抵消的集中剪力RA＝(Myx)A，RB＝(Myx)BOABCxyzRARBRC最终角点B出现未抵消的的集中力应是RB＝(Myx)B＋(Mxy)B＝2(Myx)ByMQVxyxx及两端的集中力RB＝(Mxy)B，RC＝(Mxy)C2333)2(yxwvxwDVxyxwvywDVy2333)2())(1(22yxwvDRByxabABCO（1）自由边弯矩和合成剪力为零，因此，在x=a上，Mx=0，Vx＝0，在y=b上，My=0，Vy＝0，02222＝axywxw0)2(2333＝axyxwxw02222＝byxwyw0)2(2333＝byyxwvyw（2）简支边在y=0的简支边界上，挠度和弯矩应为零，即(w)y=0=0，(My)y=0＝由于(w)y=0=0表示沿x轴，w无变化，必然有，所以，简支边的边界条件可写成(w)y=0=0002222yxwyw00yxw002y2xw0022yyw（3）固定边在x＝0的固定边上，挠度和转角为零，故边界条件可写成(w)x=0=0（4）角点条件板边的分布扭矩代换为分布剪力后，在角点将出现一个集中力，这个集中力就是支座对板角点的集中反力。在求得挠度后，这个集中力可由式求得对于无支座支撑的角点，例如图中的两自由边界的交点B，则要求RB=2(Myx)x=a,y=b=0，即：00xxw02bya,xyxw