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题型突破（八）类比拓展应用型问题类型一旋转结构解决此类问题时,需仔细观察图形旋转前后相关的线段之间的数量关系、位置关系,相关的角的变化及角与角之间的关系,从中提炼出基本图形和常用模型,如旋转产生的等腰三角形等,进而借助全等(相似)三角形转化,结合勾股定理、基本图形的性质等其他知识求解.例1[2015·连云港]在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动,将边长为2的正方形ABCD与边长为22的正方形AEFG按图Z8-1①位置放置,AD与AE在同一直线上,AB与AG在同一直线上.(1)小明发现DG⊥BE,请你帮他说明理由;(2)如图②,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点B恰好落在线段DG上时,请你帮他求出此时BE的长;(3)如图③,小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转,线段DG与线段BE相交,交点为H,写出△GHE与△BHD面积之和的最大值,并简要说明理由.图Z8-1【分层分析】(1)由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形,利用正方形的性质得到两邻边相等,且夹角相等,∠DAG=∠BAE=90°,可得:△≌△,利用全等三角形的对应角相等得∠=∠,延长EB交DG于点H,利用等角的余角相等得到∠=90°,利用垂直的定义即可得DG⊥BE;解:(1)如图①,∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形,∴AD=AB,∠DAG=∠BAE=90°,AG=AE,在△ADG和△ABE中,𝐴𝐷=𝐴𝐵,∠𝐷𝐴𝐺=∠𝐵𝐴𝐸,𝐴𝐺=𝐴𝐸,∴△ADG≌△ABE(SAS),∴∠AGD=∠AEB.延长EB交DG于点H,在△ADG中,∠AGD+∠ADG=90°,∴∠AEB+∠ADG=90°,在△EDH中,∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°,∴∠DHE=90°,则DG⊥BE.例1[2015·连云港]在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动,将边长为2的正方形ABCD与边长为22的正方形AEFG按图Z8-1①位置放置,AD与AE在同一直线上,AB与AG在同一直线上.(2)如图②,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点B恰好落在线段DG上时,请你帮他求出此时BE的长;图Z8-1【分层分析】(2)同(1)可得:△≌△,利用全等三角形的对应边相等得到=,过点A作AM⊥DG于点M,则∠AMD=∠AMG=90°,在Rt△AMD中,求出DM的长,根据勾股定理求出GM的长,进而确定出DG的长,即为BE的长;解:(2)∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形,∴AD=AB,∠DAB=∠GAE=90°,AG=AE,∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG,即∠DAG=∠BAE,在△ADG和△ABE中,𝐴𝐷=𝐴𝐵,∠𝐷𝐴𝐺=∠𝐵𝐴𝐸,𝐴𝐺=𝐴𝐸,∴△ADG≌△ABE(SAS),∴DG=BE.如图②,过点A作AM⊥DG于点M,则∠AMD=∠AMG=90°,∵BD为正方形ABCD的对角线,∴∠MDA=45°,在Rt△AMD中,∠MDA=45°,∴cos45°=𝐷𝑀𝐴𝐷,∵AD=2,∴DM=AM=2.在Rt△AMG中,根据勾股定理得,GM=𝐴𝐺2-𝐴𝑀2=6,∴DG=DM+GM=2+6,∴BE=DG=2+6.例1[2015·连云港]在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动,将边长为2的正方形ABCD与边长为22的正方形AEFG按图Z8-1①位置放置,AD与AE在同一直线上,AB与AG在同一直线上.(3)如图③,小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转,线段DG与线段BE相交,交点为H,写出△GHE与△BHD面积之和的最大值,并简要说明理由.图Z8-1【分层分析】(3)对于△EGH,点H在以EG为直径的圆上,即当点H与点A重合时,△EGH的高最大,即面积最大;对于△BDH,点H在以BD为直径的圆上,即当点H与点A重合时,△BDH的高最大,即面积最大,即可确定出面积和的最大值.解:(3)△GHE与△BHD面积之和的最大值为6.理由:对于△EGH,点H在以EG为直径的圆上,∴当点H与点A重合时,△EGH的高最大,即面积最大;对于△BDH,点H在以BD为直径的圆上,∴当点H与点A重合时,△BDH的高最大,即面积最大,则△GHE与△BHD面积之和的最大值为2+4=6.【方法点析】旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等规则的图形上,其功能是利用旋转变换可以使图形发生重组,使分散的条件得以集中,并运用旋转的“不变性”使一些问题迎刃而解,常用的辅助线作法有:(1)图形中出现等边三角形时,通常旋转60°;出现等腰直角三角形、正方形时,通常旋转90°.(2)图形中有线段的中点,通常旋转180°.(3)图形中出现有公共端点的线段,通常旋转夹角的度数.(4)共端点或共线的三条线段若想要转化到同一个三角形里,通常考虑旋转.1.在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=a,将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处,将三角板绕点P旋转,三角板与两直角边分别交于D,E两点.(1)图Z8-2①中,线段PD与PE的数量关系是.(2)如图②,在旋转过程中,判断△PDE的形状,并给予证明.(3)在旋转过程中,四边形PDCE的面积是否发生变化?若不变,求出面积的值(用含a的式子表示);若改变,请说明理由.|题型精练|图Z8-2PD=PE1.在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=a,将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处,将三角板绕点P旋转,三角板与两直角边分别交于D,E两点.(2)如图②,在旋转过程中,判断△PDE的形状,并给予证明.图Z8-2解:(2)△PDE的形状为等腰直角三角形,证明:连接PC,∵△ABC中,∠C=90°,AC=BC=a,P为AB的中点,∴CP⊥AB,CP=12AB=BP,∠DCP=∠B=45°,∵∠DPE=90°,∴∠DPC=∠EPB,∴△DCP≌△EBP(ASA),∴PD=PE,又∵∠DPE=90°,∴△PDE是等腰直角三角形.1.在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=a,将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处,将三角板绕点P旋转,三角板与两直角边分别交于D,E两点.(3)在旋转过程中,四边形PDCE的面积是否发生变化?若不变,求出面积的值(用含a的式子表示);若改变,请说明理由.图Z8-2解:(3)四边形PDCE的面积不发生变化.理由:由(1)可得,△DCP≌△EBP,∴S△DCP=S△EBP,∴四边形PDCE的面积=S△DCP+S△ECP=S△EBP+S△ECP=S△BCP=12S△ABC=12×12a2=14a2,∴四边形PDCE的面积为定值14a2.2.[2018·益阳]如图Z8-3①,在矩形ABCD中,E是AD的中点,以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF,EG分别过点B,C,∠F=30°.(1)求证:BE=CE;(2)将△EFG绕点E按顺时针方向旋转,当旋转到EF与AD重合时停止转动,若EF,EG分别与AB,BC相交于点M,N(如图②).①求证:△BEM≌△CEN;②若AB=2,求△BMN面积的最大值;③当旋转停止时,点B恰好在FG上(如图③),求sin∠EBG的值.图Z8-3解:(1)证明:∵四边形ABCD为矩形,∴∠A=∠D=90°,AB=DC.∵E为AD中点,∴AE=DE,∴△ABE≌△DCE,∴BE=CE.2.[2018·益阳]如图Z8-3①,在矩形ABCD中,E是AD的中点,以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF,EG分别过点B,C,∠F=30°.(2)将△EFG绕点E按顺时针方向旋转,当旋转到EF与AD重合时停止转动,若EF,EG分别与AB,BC相交于点M,N(如图②).①求证:△BEM≌△CEN;②若AB=2,求△BMN面积的最大值;③当旋转停止时,点B恰好在FG上(如图③),求sin∠EBG的值.图Z8-3解:(2)证明:①∵△ABE≌△DCE,∴∠AEB=∠DEC.∵∠BEC=90°,∴∠AEB=∠DEC=45°,∴∠ABE=∠ECB=45°.∵∠BEM+∠BEN=∠CEN+∠BEN=90°,∴∠BEM=∠CEN.∵BE=CE,∴△BEM≌△CEN.②由①可知△ABE和△DEC都是等腰直角三角形,E为AD的中点,∴BC=AD=2AB=4.设BM=CN=x,则BN=4-x,0≤x≤2.S△MBN=12BM·BN=12x(4-x)=-12x2+2x=-12(x-2)2+2,∴当x=2时,△BMN的面积最大,最大面积为2.③∵BC∥AD,∠FEG=90°,∴∠BNG=∠FEG=90°.∵∠F=30°,∴∠NBG=∠F=30°.由①可知∠EBN=45°,设NG=m,则BG=2m,BN=3m,EN=3m,∴BE=3m·2=6m,∴S△EBG=12EB·sin∠EBG·BG=12EG·BN,∴sin∠EBG=𝐸𝐺·𝐵𝑁𝐸𝐵·𝐵𝐺=(3𝑚+𝑚)·3𝑚6𝑚·2𝑚=6+24.类型二折叠结构折叠即轴对称,解决此类问题要抓住折叠的本质,充分利用轴对称的相关性质,利用好折痕的双线作用:①对应线段夹角的角平分线;②对应点连线的垂直平分线.求解时注意从中提炼基本图形,如折叠会产生角平分线,角平分线+平行线可得等腰三角形等,进而结合图形本身的性质借助边角关系、相似等寻找解题途径.例2[2015·衢州]如图Z8-4①,将矩形ABCD沿DE折叠,使顶点A落在DC上的点A'处,然后将矩形展平,沿EF折叠,使顶点A落在折痕DE上的点G处,再将矩形ABCD沿CE折叠,此时顶点B恰好落在DE上的点H处,如图②.(1)求证:EG=CH;(2)已知AF=2,求AD和AB的长.图Z8-4解:(1)证明:由折叠可得:AE=A'E=GE,BC=CH,∵四边形ABCD是矩形,∴A'E=BC,∴EG=CH.例2[2015·衢州]如图Z8-4①,将矩形ABCD沿DE折叠,使顶点A落在DC上的点A'处,然后将矩形展平,沿EF折叠,使顶点A落在折痕DE上的点G处,再将矩形ABCD沿CE折叠,此时顶点B恰好落在DE上的点H处,如图②.(2)已知AF=2,求AD和AB的长.图Z8-4解:(2)∵∠ADE=45°,∠FGE=∠A=90°,FG=AF=2,∴DG=2,DF=2,∴AD=AF+DF=2+2.由折叠知∠AEF=∠GEF,∠BEC=∠HEC,∴∠GEF+∠HEC=90°,∠AEF+∠BEC=90°,∵∠AEF+∠AFE=90°,∴∠BEC=∠AFE,在△AEF与△BCE中,∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐵𝐸𝐶,∠𝐴=∠𝐵=90°,𝐴𝐸=𝐵𝐶,∴△AEF≌△BCE(AAS),∴AF=BE,∴AB=AE+BE=2+2+2=22+2.1.[2017·济宁]实验探究:(1)如图Z8-5①,对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展开;再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN,MN.请你观察图①,猜想∠MBN的度数是多少,并证明你的结论.(2)将图①中的三角形纸片BMN剪下,如图②.折叠该纸片,探究MN与BM的数量关系.写出折叠方案,并结合方案证明你的结论.|题型精练|图Z8-5解:(1)猜想:∠MBN=30°.证明:如图①中,连接AN,∵直线EF是AB的垂直平分线,∴NA=NB,由折叠可知,BN=AB,∴AB=BN=AN,∴△ABN是等边三角形,∴∠ABN=60°,∴∠NBM=∠ABM=12∠ABN=30°.1.[2017·济宁]实验探究:(2)将图①中的三角形纸片BMN剪下,如图②.折叠该纸片,探究MN与BM的数量关系.写出折叠方案,并结合方案证明你的结论.图Z8-5解:(2)结论:MN=12BM.折纸方案:如图②中,折叠△BMN,使得点N落在BM上O处,折痕为MP,连接OP.证明:由折叠可知△MOP≌△MNP,∴MN=OM,∠OMP=∠NMP=12∠OMN=30°=∠B,∠MOP=∠MNP=90°,∴∠BOP=∠MOP=90°,∵OP=OP,∴△MOP≌△BOP,∴MO=BO=12BM,∴MN=12B