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题型突破（七）二次函数的综合题类型一特殊三角形存在性问题(2019,24)知识储备1.等腰三角形存在性问题(1)等腰三角形要分类讨论.如图Z7-1,当一个三角形为等腰三角形时,存在三种情况:AB=AC;AB=BC;BC=AC,所以要进行分类讨论.图Z7-1(2)坐标系中三角形边长的表示.如图Z7-2,若△AOB的三个顶点在平面直角坐标系中,设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的距离公式为AB=(𝑥1-𝑥2)2+(𝑦1-𝑦2)2,同理OA=𝑥12+𝑦12,OB=𝑥22+𝑦22.图Z7-2(3)等腰三角形存在性问题.代数法:若△ABC的边长平方AB2,BC2,AC2方便用勾股定理求解,则由AB2=AC2,BC2=BA2,CA2=CB2分别建立方程,依次求解.几何法:两圆一线法:如图Z7-3,已知线段AB,在平面内找一点C,使得△ABC为等腰三角形,满足条件的点C如图Z7-3所示(在以点A,B为圆心,AB的长为半径的圆和线段AB的垂直平分线上,除了与点A,B在同一直线上的点外所有的点).其他方法:可用等腰三角形的性质(作垂线,三线合一),将证明两腰相等转化为证明中点,或用相似三角形的性质,或用哪个定角的三角函数比来建立方程.图Z7-32.直角三角形存在性问题若△ABC是以AB为直角边的直角三角形,则点C在过点A且垂直于AB的直线或过点B且垂直于AB的直线上.若△ABC是以BC为斜边的直角三角形,D为斜边BC的中点,则DA=DB=DC,∠BAC=90°.若以点A,B,C为顶点的三角形是直角三角形,则分三种情况.几何法:把∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°转化为相似三角形对应边成比例建立方程求解;代数法:用勾股定理表示AB2,BC2,AC2,由AB2+BC2=AC2或AB2+AC2=BC2或BC2+AC2=AB2建立方程依次求解.例1如图Z7-4,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2,0),点B(4,0),点D(2,4),与y轴交于点C,直线y=kx+b'经过点B和点C,连接AC.(1)求抛物线和直线BC的函数表达式.(2)若点F是抛物线上一动点,当点F运动到什么位置时,△ACF是以∠ACF为直角的直角三角形?(3)在抛物线的对称轴上是否存在点G,使以C,B,G为顶点的三角形是等腰三角形?图Z7-4解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2,0),点B(4,0),点D(2,4),∴设抛物线的函数表达式为y=a(x+2)(x-4).将点D的坐标(2,4)代入,得-8a=4.解得a=-12.∴抛物线的表达式为y=-12(x+2)(x-4),即y=-12x2+x+4.令x=0,得y=4.∴点C的坐标为(0,4).将B(4,0),C(0,4)代入y=kx+b',得0=4𝑘+𝑏',4=𝑏'.解得𝑘=-1,𝑏'=4.∴直线BC的表达式是y=-x+4.例1如图Z7-4,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2,0),点B(4,0),点D(2,4),与y轴交于点C,直线y=kx+b'经过点B和点C,连接AC.(2)若点F是抛物线上一动点,当点F运动到什么位置时,△ACF是以∠ACF为直角的直角三角形?图Z7-4解:(2)如图①,设点F的坐标为(m,n),过点F作FG⊥y轴于点G,则AC2=22+42=20,AF2=(m+2)2+n2,CF2=CG2+GF2=(4-n)2+m2.∵∠ACF=90°,∴AC2+CF2=AF2,即20+m2+(4-n)2=(m+2)2+n2.∴m+2n=8,即n=4-𝑚2.又点F在抛物线上,∴4-𝑚2=-12m2+m+4.解得m1=0(舍去),m2=3.∴n=52.∴点F的坐标为3,52.例1如图Z7-4,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2,0),点B(4,0),点D(2,4),与y轴交于点C,直线y=kx+b'经过点B和点C,连接AC.(3)在抛物线的对称轴上是否存在点G,使以C,B,G为顶点的三角形是等腰三角形?图Z7-4解:(3)存在.由题意知,抛物线的对称轴为直线x=1,设点G的坐标为(1,m'),如图②.①若BG=BC,则32+𝑚'2=42.解得m'=±23.∴G1(1,23),G2(1,-23).②若CG=BC,则12+(𝑚'-4)2=42.解得m'=4±31,∴G3(1,4+31),G4(1,4-31).③若GC=GB,则32+𝑚'2=12+(4-𝑚')2.解得m'=1.∴G5(1,1).综上所述,点G的坐标为(1,23)或(1,-23)或(1,4+31)或(1,4-31)或(1,1).在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+2x+c与x轴交于A(-1,0),B两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)求c的值.(2)如图Z7-5①,判断△BCD的形状,并说明理由.|题型精练|图Z7-5(3)变式1:如图②,在拋物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.(4)变式2:如图③,在抛物线的对称轴上求点Q,使以点A,Q,C为顶点的三角形是等腰三角形,求点Q的坐标.图Z7-5解:(1)将A(-1,0)代入y=-x2+2x+c得-1-2+c=0,∴c=3.在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+2x+c与x轴交于A(-1,0),B两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(2)如图Z7-5①,判断△BCD的形状,并说明理由.图Z7-5解:(2)△BCD是直角三角形,理由如下:在y=-x2+2x+3中,令y=0时,x1=-1,x2=3,令x=0时,y=3,∴B(3,0),C(0,3),又顶点D(1,4).由两点距离公式得:CD2=12+12=2,CB2=32+32=18,BD2=22+42=20,∴CD2+CB2=BD2,∴△BCD是直角三角形,且∠DCB=90°.在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+2x+c与x轴交于A(-1,0),B两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(3)变式1:如图②,在拋物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.图Z7-5解:(3)变式1:如图,分别过点A,C作直线AC的垂线交抛物线于点P.设P(m,-m2+2m+3),又A(-1,0),C(0,3),当点P在x轴上方时,过点P1作P1H⊥y轴于点H,∴∠CHP1=90°=∠AOC,∴∠CP1H=90°-∠HCP1=∠ACO,在Rt△ACO中,tan∠ACO=𝐴𝑂𝐶𝑂=13,∴在Rt△CHP1中,tan∠CP1H=𝐶𝐻𝐻𝑃1,即𝑚2-2𝑚𝑚=13,解得m1=0(舍去),m2=73,此时点P1的坐标为73,209;当点P在x轴下方时,同理可得点P2的坐标为103,-139.在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+2x+c与x轴交于A(-1,0),B两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(4)变式2:如图③,在抛物线的对称轴上求点Q,使以点A,Q,C为顶点的三角形是等腰三角形,求点Q的坐标.图Z7-5解:(4)变式2:如图,分别以A,C为圆心,AC长为半径画圆,交对称轴于点Q,连接两圆的交点所成直线,与对称轴的交点也为符合条件的点,抛物线y=-x2+2x+3的对称轴为直线x=1,设Q(1,t),又A(-1,0),C(0,3),∴AC2=12+32,AQ2=22+t2,CQ2=12+(t-3)2.①若CA=CQ,12+32=12+(t-3)2,解得t1=6(此时A,C,Q共线,舍去),t2=0,②若AC=AQ,12+32=22+t2,解得t3=6,t4=-6,③若QA=QC,22+t2=12+(t-3)2,解得t5=1.∴符合条件的点Q的坐标为(1,0),(1,6),(1,-6),(1,1).类型二相似三角形存在性问题(2013,26)知识储备图Z7-6相似三角形存在性问题在△ABC中,AC边上有一点F,要在AB边上确定一点E,使△AEF与△ABC相似.因为∠A是公共角,所以分两种情况:(1)如图Z7-6①,∠AFE=∠C,△AEF∽△ABC,𝐴𝐸𝐴𝐵=𝐴𝐹𝐴𝐶;(2)如图Z7-6②,∠AFE=∠B,△AFE∽△ABC,𝐴𝐸𝐴𝐶=𝐴𝐹𝐴𝐵.注意事项:(1)求相似三角形的第三个顶点时,先要分析已知三角形的边和角的特点,进而得出已知三角形是否为特殊三角形.(2)根据已知三角形中对应角,在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小.(3)若两个三角形的各边均未给出,则应先设所求点的坐标,进而用函数解析式来表示各边的长度,之后利用相似来列方程求解.图Z7-6例2如图Z7-7,已知抛物线y=-14x2+bx+4与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,若点B的坐标为(8,0).(1)求抛物线的解析式及其对称轴.(2)连接AC,BC,试判断△AOC与△COB是否相似,并说明理由.(3)M为第一象限内抛物线上的动点,过点M作x轴的垂线,垂足为N.若△OMN与△OBC相似,求点M的坐标.图Z7-7(4)设抛物线的对称轴与x轴相交于点E,点P是位于直线BC上方抛物线上的一动点,连接PE,交CB于F.当△BEF与△ACB相似时,求点P的坐标.(5)若点Q是线段BC上一动点,是否存在点Q,使△AOC与△OCQ相似?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.图Z7-7解:(1)∵点B(8,0)在抛物线y=-14x2+bx+4上,∴-14×64+8b+4=0.解得b=32.∴抛物线的解析式为y=-14x2+32x+4,对称轴为直线x=3.例2如图Z7-7,已知抛物线y=-14x2+bx+4与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,若点B的坐标为(8,0).(2)连接AC,BC,试判断△AOC与△COB是否相似,并说明理由.图Z7-7解:(2)△AOC∽△COB.理由如下:令y=0,得-14x2+32x+4=0,即x2-6x-16=0.解得x1=-2,x2=8.∴点A的坐标为(-2,0).令x=0,得y=4.∴点C的坐标为(0,4).∴OA=2,OB=8,OC=4.∵𝑂𝐶𝑂𝐴=𝑂𝐵𝑂𝐶=2,∠AOC=∠COB=90°,∴△AOC∽△COB.例2如图Z7-7,已知抛物线y=-14x2+bx+4与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,若点B的坐标为(8,0).(3)M为第一象限内抛物线上的动点,过点M作x轴的垂线,垂足为N.若△OMN与△OBC相似,求点M的坐标.图Z7-7解:(3)设点M的坐标为(a',b'),当𝑂𝑁𝑀𝑁=𝑂𝐶𝑂𝐵,即𝑎'𝑏'=12时,△OMN∽△CBO,∴2a'=-14a'2+32a'+4.解得a'=-1-17(舍去)或a'=-1+17,此时点M的坐标为(-1+17,-2+217).当𝑂𝑁𝑀𝑁=𝑂𝐵𝑂𝐶,即𝑎'𝑏'=21时,△OMN∽△BCO,∴12a'=-14a'2+32a'+4,解得a'=2-25(舍去)或a'=2+25,此时点M的坐标为(2+25,1+5).综上,点M的坐标为(-1+17,-2+217)或(2+25,1+5).例2如图Z7-7,已知抛物线y=-14x2+bx+4与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,若点B的坐标为(8,0).(4)设抛物线的对称轴与x轴相交于点E,点P是位于直线BC上方抛物线上的一动点,连接PE,交CB于F.当△BEF与△ACB相似时,求点P的坐标.图Z7-7解:(4)①当点P运动到抛物线的顶点位置时,易知△BEF∽△BCA,此时点P的坐标为3,254.②当PE∥AC时,如图①,△BEF∽△BAC,设点P的坐标为(m,n).过点P作PG⊥x轴于点G,易证△PEG∽△BEF,所以𝐸𝐺𝑃𝐺=𝐸𝐹𝐵𝐹.又△BEF∽△BAC,所以△PEG∽△BAC,所以𝐸𝐺𝑃𝐺=𝐴𝐶