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题型突破（六）实际应用问题类型一方程(组)与不等式的实际应用(2018,22/2015,23/2014,23/2013,25)1.[2017·河南]学校“百变魔方”社团准备购买A,B两种魔方,已知购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元;购买3个A种魔方和4个B种魔方所需钱数相同.(1)求这两种魔方的单价;(2)结合社员们的需求,社团决定购买A,B两种魔方共100个(其中A种魔方不超过50个),某商店有两种优惠活动,如下所示:请根据以上信息,说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠.解:(1)设A种魔方的单价为a元,B种魔方的单价为b元.由题意,得2𝑎+6𝑏=130,3𝑎=4𝑏.解得𝑎=20,𝑏=15.答:A种魔方的单价为20元,B种魔方的单价为15元.1.[2017·河南]学校“百变魔方”社团准备购买A,B两种魔方,已知购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元;购买3个A种魔方和4个B种魔方所需钱数相同.(2)结合社员们的需求,社团决定购买A,B两种魔方共100个(其中A种魔方不超过50个),某商店有两种优惠活动,如下所示:请根据以上信息,说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠.解:(2)设购买A种魔方的数量为x(0x≤50)个,则购买B种魔方的数量为(100-x)个.设总费用为W元.活动一:W1=0.8×20x+0.4×15(100-x)=10x+600;活动二:W2=20x+15[(100-x)-x]=-10x+1500.当W1W2时,10x+600-10x+1500,解得x45.∴当0x45时,活动一方案更实惠.当W1=W2时,10x+600=-10x+1500,解得x=45.∴当x=45时,活动一和活动二均可.当W1W2时,10x+600-10x+1500,解得x45.又∵x≤50,∴当45x≤50时,活动二方案更实惠.综上所述,当0x45时,活动一方案更实惠;当x=45时,活动一和活动二均可;当45x≤50时,活动二方案更实惠.2.[2017·烟台]2017年,我市某中学开设了“足球大课间”活动.现需要购进100个某品牌的足球供学生使用.经调查,该品牌足球2015年单价为200元,2017年单价为162元.(1)求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率;(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案:试问去哪个商场购买足球更优惠?解:(1)设该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x.根据题意,得200(1-x)2=162.解得x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去).答:2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%.2.[2017·烟台]2017年,我市某中学开设了“足球大课间”活动.现需要购进100个某品牌的足球供学生使用.经调查,该品牌足球2015年单价为200元,2017年单价为162元.(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案:试问去哪个商场购买足球更优惠?解:(2)到A商场购买91个足球,赠送9个足球,共100个足球,总价=91×162=14742(元).到B商场购买,总价=100×162×0.9=14580(元).∵1458014742,∴去B商场购买合算.3.[2019·孝感]为加快“智慧校园”建设,某市准备为试点学校采购一批A,B两种型号的一体机,经过市场调查发现,今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元,且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机.(1)求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元?(2)该市计划明年采购A型、B型一体机1100套,考虑物价因素,预计明年每套A型一体机的价格比今年上涨25%,每套B型一体机的价格不变,若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用,那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划?解:(1)设今年每套A型一体机的价格为x万元,每套B型一体机的价格为y万元,由题意得:𝑦-𝑥=0.6,500𝑥+200𝑦=960,解得𝑥=1.2,𝑦=1.8.答:今年每套A型一体机的价格为1.2万元,每套B型一体机的价格为1.8万元.3.[2019·孝感]为加快“智慧校园”建设,某市准备为试点学校采购一批A,B两种型号的一体机,经过市场调查发现,今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元,且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机.(2)该市计划明年采购A型、B型一体机1100套,考虑物价因素,预计明年每套A型一体机的价格比今年上涨25%,每套B型一体机的价格不变,若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用,那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划?解:(2)设该市明年购买A型一体机m套,则购买B型一体机(1100-m)套,由题意得:1.8(1100-m)≥1.2(1+25%)m,解得m≤600,设明年需投入W万元,则W=1.2×(1+25%)m+1.8(1100-m)=-0.3m+1980.∵-0.30,∴W随m的增大而减小,∵m≤600,∴当m=600时,W有最小值为-0.3×600+1980=1800.答:该市明年至少需投入1800万元才能完成采购计划.4.[2019·襄阳]襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策,大力种植有机蔬菜.某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值,经调查,这两种蔬菜的进价和售价如下表所示:(1)该超市购进甲种蔬菜10kg和乙种蔬菜5kg需要170元;购进甲种蔬菜6kg和乙种蔬菜10kg需要200元.求m,n的值.有机蔬菜种类进价(元/kg)售价(元/kg)甲m16乙n18(2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100kg进行销售,其中甲种蔬菜的数量不少于20kg,且不大于70kg.实际销售时,由于多种因素的影响,甲种蔬菜超过60kg的部分,当天需要打5折才能售完,乙种蔬菜能按售价卖完.求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额y(元)与购进甲种蔬菜的数量x(kg)之间的函数关系式,并写出x的取值范围.(3)在(2)的条件下,超市在获得的利润额y(元)取得最大值时,决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元,乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院,若要保证捐款后的盈利率不低于20%,求a的最大值.有机蔬菜种类进价(元/kg)售价(元/kg)甲m16乙n18解:(1)由题可得10𝑚+5𝑛=170,6𝑚+10𝑛=200,解得𝑚=10,𝑛=14.4.[2019·襄阳]襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策,大力种植有机蔬菜.某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值,经调查,这两种蔬菜的进价和售价如下表所示:(2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100kg进行销售,其中甲种蔬菜的数量不少于20kg,且不大于70kg.实际销售时,由于多种因素的影响,甲种蔬菜超过60kg的部分,当天需要打5折才能售完,乙种蔬菜能按售价卖完.求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额y(元)与购进甲种蔬菜的数量x(kg)之间的函数关系式,并写出x的取值范围.有机蔬菜种类进价(元/kg)售价(元/kg)甲m16乙n18解:(2)购进甲种蔬菜x(kg),则甲种蔬菜的售价(元/kg)为:16(20≤𝑥≤60),16×0.5(60𝑥≤70),即:16(20≤𝑥≤60),8(60𝑥≤70).∴甲种蔬菜的利润y甲为:(16-10)𝑥(20≤𝑥≤60),(16-10)×60+(8-10)(𝑥-60)(60𝑥≤70).整理得,y甲=6𝑥(20≤𝑥≤60),480-2𝑥(60𝑥≤70).由题意可知,购进乙种蔬菜(100-x)kg,∴乙种蔬菜的利润y乙=(18-14)(100-x)=400-4x.∵y=y甲+y乙,∴超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额y(元)为:y=2𝑥+400(20≤𝑥≤60),880-6𝑥(60𝑥≤70).4.[2019·襄阳]襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策,大力种植有机蔬菜.某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值,经调查,这两种蔬菜的进价和售价如下表所示:(3)在(2)的条件下,超市在获得的利润额y(元)取得最大值时,决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元,乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院,若要保证捐款后的盈利率不低于20%,求a的最大值.有机蔬菜种类进价(元/kg)售价(元/kg)甲m16乙n18解:(3)当20≤x≤60时,y=2x+400,当x=60时,y取得最大值520.当60x≤70时,y=880-6x880-6×60=520,∴当x=60时,y取得最大值520元.则甲种蔬菜共捐出60×2a=120a元,乙种蔬菜共捐出(100-60)a=40a元.由捐款后的盈利率不低于20%,可得520-120𝑎-40𝑎10×60+14×(100-60)≥20%,解得a≤1.8,即a的最大值为1.8.类型二一次函数、反比例函数的实际应用(2019,19/2018,22/2017,19/2013,25)1.[2017·咸宁]某公司开发出一款新的节能产品,该产品的成本价为6元/件,该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月(30天)的试销售,售价为8元/件.工作人员对销售情况进行了跟踪记录,并将记录情况绘制成如图Z6-1所示图象,图中的折线ODE表示日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的函数关系.已知线段DE表示的函数关系中,时间每增加1天,日销售量减少5件.图Z6-1(1)第24天的日销售量是件,日销售利润是元;(2)求y与x之间的函数解析式,并写出x的取值范围;(3)日销售利润不低于640元的天数共有多少天?试销售期间,日销售最大利润是多少元?图Z6-13306601.[2017·咸宁]某公司开发出一款新的节能产品,该产品的成本价为6元/件,该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月(30天)的试销售,售价为8元/件.工作人员对销售情况进行了跟踪记录,并将记录情况绘制成如图Z6-1所示图象,图中的折线ODE表示日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的函数关系.已知线段DE表示的函数关系中,时间每增加1天,日销售量减少5件.图Z6-1(2)求y与x之间的函数解析式,并写出x的取值范围;图Z6-1解:(2)设线段OD所表示的y与x之间的函数解析式为y=kx.∵y=kx的图象过点(17,340),∴17k=340.解得k=20.∴线段OD所表示的y与x之间的函数解析式为y=20x.由题意得,线段DE所表示的y与x之间的函数解析式为y=340-5(x-22)=-5x+450.∵D是线段OD与线段DE的交点,∴解方程组𝑦=20𝑥,𝑦=-5𝑥+450,得𝑥=18,𝑦=360.∴点D的坐标为(18,360).∴y=20𝑥(0≤𝑥≤18),-5𝑥+450(18𝑥≤30).1.[2017·咸宁]某公司开发出一款新的节能产品,该产品的成本价为6元/件,该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月(30天)的试销售,售价为8元/件.工作人员对销售情况进行了跟踪记录,并将记录情况绘制成如图Z6-1所示图象,图中的折线ODE表示日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的函数关系.已知线段DE表示的函数关系中,时间每增加1天,日销售量减少5件.图Z6-1(3)日销售利润不低于640元的天数共有多少天?试销售期间,日销售最大利润是多少元?图Z6-1解:(3)当0≤x≤18时,由题意,得(8-6)×20x≥640.解得x≥16.当18x≤30时,由题意,得(8-6)×(-5x+450)≥640.解得x≤26.∴16≤x≤26.∵26-16+1=11,∴日销售利润不低于640元的天数共有11天.∵点D的坐标为(18,360),∴日最大销售量为360件.∴日最大利润是(8-6)×360=720(元).2.[2018·义乌]一辆汽车行驶时的耗油量为0.1升/千米.如图Z6-2是油箱剩余油