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题型突破（五）圆中的有关计算与证明类型一圆中求弧长、面积(2017,22/2014,20/2013,24)例1[2019·邵阳改编]在等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,AD是∠BAC的平分线,且AD=6.(1)求BC的长;(2)如图Z5-1,以点D为圆心的半圆与两腰AB,AC分别切于M,N两点,求弧MN的长;图Z5-1(3)变式1:以点A为圆心,AD长为半径画弧EF,交AB于点E,交AC于点F.求由弧EF及线段FC,CB,BE围成图形(图中阴影部分)的面积;(4)变式2:将变式1中阴影部分剪掉,余下扇形AEF,将扇形AEF围成一个圆锥的侧面,AE与AF正好重合,圆锥侧面无重叠,求这个圆锥的高h.图Z5-3图Z5-2解:(1)∵在等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,∴∠B=30°,∵AD是∠BAC的平分线,∴AD⊥BC,BD=CD,∴BD=3AD=63,∴BC=2BD=123.例1[2019·邵阳改编]在等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,AD是∠BAC的平分线,且AD=6.(2)如图Z5-1,以点D为圆心的半圆与两腰AB,AC分别切于M,N两点,求弧MN的长;图Z5-1解:(2)如图,连接DM,DN.∵AM,AN都是半圆☉D的切线,切点分别为M,N,∴∠AMD=∠AND=90°,∴∠MDN=360°-∠AMD-∠AND-∠BAC=60°,在Rt△MAD中,∠BAD=60°,∴MD=AD·sin60°=33,即为半圆☉D的半径,∴弧MN的长=60°360°×2π×33=3π.例1[2019·邵阳改编]在等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,AD是∠BAC的平分线,且AD=6.(3)变式1:以点A为圆心,AD长为半径画弧EF,交AB于点E,交AC于点F.求由弧EF及线段FC,CB,BE围成图形(图中阴影部分)的面积;解:(3)变式1:由(1)知BC=123,∴由弧EF及线段FC,CB,BE围成图形(图中阴影部分)的面积S=S△ABC-S扇形EAF,即S=12×6×123−120°360°×π×62=363-12π.图Z5-2例1[2019·邵阳改编]在等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,AD是∠BAC的平分线,且AD=6.(4)变式2:将变式1中阴影部分剪掉,余下扇形AEF,将扇形AEF围成一个圆锥的侧面,AE与AF正好重合,圆锥侧面无重叠,求这个圆锥的高h.解:(4)变式2:设圆锥的底面圆的半径为r,根据题意得2πr=120°360°×2π×6,解得r=2,又圆锥母线l=AD=6,∴这个圆锥的高h=𝑙2-𝑟2=42.图Z5-3|题型精练|1.如图Z5-4,BE是☉O的直径,点A在EB的延长线上,弦PD⊥BE,垂足为C,连接OD,∠AOD=∠APC.(1)求证:AP是☉O的切线.(2)若☉O的半径是4,AP=43,求图中阴影部分的面积.图Z5-4解:(1)证明:如图,连接OP,则OD=OP,∴∠OPD=∠ODP.∵∠APC=∠AOD,∴∠OPD+∠APC=∠ODP+∠AOD.又∵PD⊥BE,∴∠ODP+∠AOD=90°,∴∠OPD+∠APC=90°,即∠APO=90°,∴OP⊥AP,∴AP是☉O的切线.1.如图Z5-4,BE是☉O的直径,点A在EB的延长线上,弦PD⊥BE,垂足为C,连接OD,∠AOD=∠APC.(2)若☉O的半径是4,AP=43,求图中阴影部分的面积.图Z5-4解:(2)在Rt△APO中,∵AP=43,PO=4,∴AO=𝐴𝑃2+𝑃𝑂2=8,即PO=12AO,∴∠A=30°,∴∠POA=60°,∴∠POD=120°,∠OPC=30°.∵PD⊥BE,∴PC=CD,∴OC=12PO=2.在Rt△OPC中,∵OC=2,OP=4,∴PC=𝑂𝑃2-𝑂𝐶2=23,∴PD=2PC=43.∴S阴影=S扇形OPD-S△OPD=120360×π×42-12×43×2=163π-43.2.[2019·永州]如图Z5-5,已知☉O是△ABC的外接圆,且BC为☉O的直径,在劣弧𝐴𝐶上取一点D,使𝐶𝐷=𝐴𝐵,将△ADC沿AD对折,得到△ADE,连接CE.(1)求证:CE是☉O的切线;(2)若CE=3CD,劣弧𝐶𝐷的弧长为π,求☉O的半径.图Z5-5解:(1)证明:∵𝐶𝐷=𝐴𝐵,∴∠CAD=∠BCA=α=∠EAD,设∠DCA=∠DEA=β,∠DCE=∠DEC=γ,则△ACE中,根据三角形内角和为180°,∴2α+2β+2γ=180°,∴α+β+γ=90°,∴CE是☉O的切线.2.[2019·永州]如图Z5-5,已知☉O是△ABC的外接圆,且BC为☉O的直径,在劣弧𝐴𝐶上取一点D,使𝐶𝐷=𝐴𝐵,将△ADC沿AD对折,得到△ADE,连接CE.(2)若CE=3CD,劣弧𝐶𝐷的弧长为π,求☉O的半径.图Z5-5解:(2)过点A作AM⊥BC,延长AD交CE于点N,则DN⊥CE,∴四边形AMCN为矩形,设:AB=CD=x,则CE=3x,则CN=12CE=32x=AM,而AB=x,则sin∠ABM=32,∴∠ABM=60°,∴△OAB为等边三角形,即∠AOB=60°,𝐶𝐷=𝐴𝐵=60°360°×2πr=π,解得:r=3,故☉O的半径为3.例2如图Z5-6,△ABC内接于☉O,CD平分∠ACB,与AB,☉O分别交于点G,D,过点D作EF∥AB,分别交CA,CB的延长线于点E,F,连接BD.(1)求证:EF是☉O的切线;(2)如图Z5-7,若AC=BC,求证:BD2=AC·BF;类型二圆中证线段关系图Z5-7图Z5-6(3)变式1:如图Z5-8,若AC≠BC,CG=3GD,求证:CE=2ED;(4)变式2:如图Z5-9,∠ABC的平分线交CD于点I,求证:DI2=DG·DC.图Z5-8图Z5-9图Z5-6证明:(1)连接OD,∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD,∴弧AD=弧BD,∴OD⊥AB(垂径定理推论),∵EF∥AB,∴半径OD⊥EF,∴EF是☉O的切线.例2如图Z5-6,△ABC内接于☉O,CD平分∠ACB,与AB,☉O分别交于点G,D,过点D作EF∥AB,分别交CA,CB的延长线于点E,F,连接BD.(2)如图Z5-7,若AC=BC,求证:BD2=AC·BF;图Z5-7图Z5-6证明:(2)∵AC=BC,且CD平分∠ACB,∴CD垂直平分AB,∴圆心O在CD上,此时CD为直径,∴CD⊥EF,∠CBD=90°,∴∠BCD=90°-∠CDB=∠BDF,又∠CBD=∠DBF=90°,∴△CBD∽△DBF,∴𝐶𝐵𝐷𝐵=𝐵𝐷𝐵𝐹,即BD2=CB·BF,又AC=CB,∴BD2=AC·BF.例2如图Z5-6,△ABC内接于☉O,CD平分∠ACB,与AB,☉O分别交于点G,D,过点D作EF∥AB,分别交CA,CB的延长线于点E,F,连接BD.(3)变式1:如图Z5-8,若AC≠BC,CG=3GD,求证:CE=2ED;图Z5-8图Z5-6证明:(3)变式1:∵AB∥EF,∴𝐶𝐺𝐺𝐷=𝐶𝐴𝐴𝐸=3(平行线分线段成比例),∴CA=3AE,故AE=14EC,如图,连接AD,由(1)知ED为☉O的切线,EC为☉O的割线,∴由切割线定理得ED2=EA·EC,∴ED2=14EC2,即ED=12EC,∴CE=2ED.例2如图Z5-6,△ABC内接于☉O,CD平分∠ACB,与AB,☉O分别交于点G,D,过点D作EF∥AB,分别交CA,CB的延长线于点E,F,连接BD.(4)变式2:如图Z5-9,∠ABC的平分线交CD于点I,求证:DI2=DG·DC.图Z5-9图Z5-6证明:(4)变式2:如图,∵CD平分∠ACB,BI平分∠ABC,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∵弧AD=弧AD,∴∠ABD=∠1=∠2,∴∠3+∠ABD=∠4+∠2,又∠DIB是△BIC的外角,即∠BID=∠4+∠2,∴∠DBI=∠BID,∴DI=DB,又∠ABD=∠2,∠CDB=∠BDG,∴△DBG∽△DCB,∴DB2=DG·DC,又DB=DI,∴DI2=DG·DC.1.[2019·娄底]如图Z5-10,点D在以AB为直径的☉O上,AD平分∠BAC,DC⊥AC,过点B作☉O的切线交AD的延长线于点E.(1)求证:直线CD是☉O的切线;(2)求证:CD·BE=AD·DE.图Z5-10|题型精练|证明:(1)如图,连接OD,∵在☉O中,OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.又∵AD平分∠BAC,∴∠OAD=∠CAD,∴∠ODA=∠CAD.∵DC⊥AC,∴∠ADC+∠CAD=90°,∴∠ADC+∠ADO=90°,∴∠ODC=90°,即OD⊥CD,∴直线CD是☉O的切线.1.[2019·娄底]如图Z5-10,点D在以AB为直径的☉O上,AD平分∠BAC,DC⊥AC,过点B作☉O的切线交AD的延长线于点E.(2)求证:CD·BE=AD·DE.图Z5-10证明:(2)如图,连接BD,∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=∠BDE=90°.又∵DC⊥AC,∴∠ACD=90°=∠BDE.又∵BE为☉O的切线,AD平分∠BAC,∴∠E=∠ADC,∴△ACD∽△BDE,∴𝐶𝐷𝐴𝐷=𝐷𝐸𝐵𝐸,∴CD·BE=AD·DE.2.[2019·怀化]如图Z5-11,A,B,C,D,E是☉O上的5等分点,连接AC,CE,EB,BD,DA,得到一个五角星图形和五边形MNFGH.(1)计算∠CAD的度数;(2)连接AE,证明:AE=ME;(3)求证:ME2=BM·BE.解:(1)∵A,B,C,D,E是☉O上的5等分点,∴∠COD=360°5=72°,∴∠CAD=12∠COD=36°.图Z5-112.[2019·怀化]如图Z5-11,A,B,C,D,E是☉O上的5等分点,连接AC,CE,EB,BD,DA,得到一个五角星图形和五边形MNFGH.(2)连接AE,证明:AE=ME;图Z5-11解:(2)证明:由(1)知∠CAD=∠EBD=∠ACE=∠BDA=∠CEB=36°,∵∠AEB=∠BDA,∠DAE=∠EBD,∴∠MAE=∠CAD+∠DAE=72°,∠AEB=36°,∴∠MAE=∠AME=72°,∴AE=ME.2.[2019·怀化]如图Z5-11,A,B,C,D,E是☉O上的5等分点,连接AC,CE,EB,BD,DA,得到一个五角星图形和五边形MNFGH.(3)求证:ME2=BM·BE.图Z5-11解:(3)证明:连接AB.由(2)可知∠NAE=∠AEN=36°,∠ABE=∠AEB=36°,∴AB=AE,△ABE∽△NAE,∴△ABM≌△EAN,𝐴𝐵𝐴𝑁=𝐵𝐸𝐴𝐸,∴AN=BM,∴AB·AE=BE·AN,即AE2=BE·BM,∵AE=ME,∴ME2=BM·BE.例3[2018·湘潭改编]已知AB是☉O的直径,半径CO⊥AO,点M是☉O上的动点,且不与点A,C,B重合.(1)如图Z5-12,点M在弧AC上时,直线AM交OC延长线于点D,连接OM,若☉O的半径为10,∠AOM=60°,求DM的长.类型三圆中求线段长或线段比(2019,21/2018,21/2016,21/2015,22)图Z5-12(2)如图Z5-13,点M在弧BC上时,线段AM交OC于点D,连接OM,若☉O的半径为10,AM=15,求DM的长.(3)变式1:如图Z5-14,点M在AB下方的圆弧上运动,连接CM交OB于点F,连接AM,BM,若OF∶OB=1∶3,求cos∠MCB的值.图Z5-13图Z5-14(4)变式2:如图Z5-15,点M在AB下方的圆弧上运动,连接CM交AB于点F,连接AM,BM,试探索当点M运动时,𝑀𝐹𝑀𝐴+𝑀𝐹𝑀𝐵的值是否发生变化,若不变,求出这个值;若变化,求出它变化的范围.图Z5-15解:(1)当∠AOM=60°时,∵OM=OA,∴△AMO是等边三角形,∴∠A=∠MOA=60°,∴∠MOD=30°,∠D=30°,∴DM=OM=10.例3[2018·湘潭改编]已知AB是☉O的直径,半径CO⊥AO,