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题型突破（四）解直角三角形的实际应用类型一两直角三角形在高线同侧(2016,19/2015,19/2013,21)1.[2019·天津]如图Z4-1,海面上一艘船由西向东航行,在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°,再向东继续航行30m到达B处,测得该灯塔的最高点C的仰角为45°,根据测得的数据,计算这座灯塔的高度CD(结果取整数).参考数据:sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60.图Z4-1解:根据题意,∠CAD=31°,∠CBD=45°,∠CDA=90°,AB=30,∵在Rt△ACD中,tan∠CAD=𝐶𝐷𝐴𝐷,∴AD=𝐶𝐷tan31°.∵在Rt△BCD中,tan∠CBD=𝐶𝐷𝐵𝐷,∴BD=𝐶𝐷tan45°=CD,∵AD=BD+AB,∴𝐶𝐷tan31°=30+CD,∴CD=45.答:这座灯塔的高度CD约为45m.2.[2019·聊城]某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度,如图Z4-2,在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45°,底端D点的仰角为30°,在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处,测得顶端C的仰角为63.4°,求大楼部分楼体CD的高度约为多少米?(精确到1米)(参考数据:sin63.4°≈0.89,cos63.4°≈0.45,tan63.4°≈2.00,2≈1.41,3≈1.73)图Z4-2解:设楼高CE为x米.在Rt△AEC中,∵∠CAE=45°,∴AE=CE=x米.∵AB=20米,∴BE=(x-20)米,在Rt△CEB中,CE=BEtan63.4°≈2.00(x-20),∴2.00(x-20)=x,解得x=40.在Rt△DAE中,DE=AEtan30°=4033,∴CD=CE-DE=40-4033≈17(米).答:大楼部分楼体CD的高度约为17米.3.[2019·株洲]小强的爸爸准备驾车外出.启动汽车时,车载报警系统显示正前方有障碍物,此时在眼睛点A处测得汽车前端F点的俯角为α,且tanα=13,若直线AF与地面l1相交于点B,点A到地面l1的垂线段AC的长度为1.6米,假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行.图Z4-3(1)求BC的长度;(2)假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置(障碍物的横截面为长方形,且线段MN为此长方形前端的边),MN⊥l1,若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退0.6米,通过汽车的前端F1点恰好看见障碍物的顶部N点(点D为点A的对应点,点F1为点F的对应点).求障碍物的高度.图Z4-3解:(1)如图,∵l1∥l2,∴∠ABC=α,∴tan∠ABC=𝐴𝐶𝐵𝐶=tanα=13,∴BC=3AC=3×1.6=4.8(米),∴BC的长度为4.8米.3.[2019·株洲]小强的爸爸准备驾车外出.启动汽车时,车载报警系统显示正前方有障碍物,此时在眼睛点A处测得汽车前端F点的俯角为α,且tanα=13,若直线AF与地面l1相交于点B,点A到地面l1的垂线段AC的长度为1.6米,假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行.图Z4-3(2)假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置(障碍物的横截面为长方形,且线段MN为此长方形前端的边),MN⊥l1,若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退0.6米,通过汽车的前端F1点恰好看见障碍物的顶部N点(点D为点A的对应点,点F1为点F的对应点).求障碍物的高度.图Z4-3解:(2)根据题意得DF1∥AF,又∵l1∥l2,∴四边形ABED是平行四边形,∴BE=AD=FF1=0.6(米),∴EM=BM-BE=12BC-BE=2.4-0.6=1.8(米),∵tan∠NEM=tan∠ABC=13,∴MN=13EM=0.6(米),∴障碍物的高度为0.6米.4.[2019·泰州]某体育看台侧面的示意图如图Z4-4所示,观众区AC的坡度i为1∶2,顶端C离水平地面AB的高度为10m,从顶棚的D处看E处的仰角α=18°30',竖直的立杆上C,D两点间的距离为4m,E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m,求:(1)观众区的水平宽度AB;(2)顶棚的E处离地面的高度EF.(sin18°30'≈0.32,tan18°30'≈0.33,结果精确到0.1m)图Z4-4解:(1)∵AC的坡度i为1∶2,∴𝐶𝐵𝐴𝐵=12,∵BC=10m,∴AB=20m.4.[2019·泰州]某体育看台侧面的示意图如图Z4-4所示,观众区AC的坡度i为1∶2,顶端C离水平地面AB的高度为10m,从顶棚的D处看E处的仰角α=18°30',竖直的立杆上C,D两点间的距离为4m,E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m,求:(2)顶棚的E处离地面的高度EF.(sin18°30'≈0.32,tan18°30'≈0.33,结果精确到0.1m)图Z4-4解:(2)作DG∥AB,EF与DG交于点G.在Rt△DEG中,∠EDG=18°30',tan∠EDG=𝐸𝐺𝐺𝐷,GD=FB=FA+AB=23(m),∴EG≈7.59m,∴EF=EG+GF=EG+DB=EG+DC+CB=21.59≈21.6(m),故顶棚的E处离地面的高度EF为21.6m.类型二两直角三角形在高线异侧(2018,20/2017,21)1.[2019·临沂]鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山.如图Z4-5,施工方计划沿AC方向开挖隧道,为了加快施工进度,要在小山的另一侧D(A,C,D共线)处同时施工.测得∠CAB=30°,AB=4km,∠ABD=105°,求BD的长.图Z4-5解:作BE⊥AD于点E,∵∠CAB=30°,AB=4km,∴∠ABE=60°,BE=2km.∵∠ABD=105°,∴∠EBD=45°,∴∠EDB=45°,∴BE=DE=2km,∴BD=22+22=22(km),即BD的长是22km.2.[2019·岳阳]慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边,是湖南省保存最好的古塔建筑之一.如图Z4-6,小亮的目高CD为1.7米,他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°,小琴的目高EF为1.5米,她站在距离塔底中心B点a米远的F处,测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°.(点D,B,F在同一水平线上,参考数据:sin62.3°≈0.89,cos62.3°≈0.46,tan62.3°≈1.9)(1)求小亮与塔底中心的距离BD;(用含a的式子表示)(2)若小亮与小琴相距52米,求慈氏塔的高度AB.图Z4-6解:(1)在Rt△AEH中,∠AEH=62.3°,tan62.3°=𝐴𝐻𝐸𝐻.∴AH=EH·tan62.3°=BF·tan62.3°≈1.9a.∵GH=GB-HB=CD-EF=1.7-1.5=0.2,∴AG=AH-GH=1.9a-0.2.在Rt△ACG中,∵∠ACG=45°,∴CG=AG=1.9a-0.2.∴BD=CG=1.9a-0.2.∴小亮与塔底中心的距离BD为(1.9a-0.2)米.2.[2019·岳阳]慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边,是湖南省保存最好的古塔建筑之一.如图Z4-6,小亮的目高CD为1.7米,他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°,小琴的目高EF为1.5米,她站在距离塔底中心B点a米远的F处,测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°.(点D,B,F在同一水平线上,参考数据:sin62.3°≈0.89,cos62.3°≈0.46,tan62.3°≈1.9)(2)若小亮与小琴相距52米,求慈氏塔的高度AB.图Z4-6解:(2)∵DF=BD+BF,∴1.9a-0.2+a=52,解得:a=18.∴AB=AH+BH=1.9a+1.5=1.9×18+1.5=35.7(米).∴慈氏塔的高度AB为35.7米.3.[2019·泸州]如图Z4-7,海中有两个小岛C,D,某渔船在海中的A处测得小岛D位于东北方向上,且相距202nmile,该渔船自西向东航行一段时间到达点B处,此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上,且相距50nmile,又测得点B与小岛D相距205nmile.(1)求sin∠ABD的值;(2)求小岛C,D之间的距离(计算过程中的数据不取近似值).图Z4-7解:(1)过D作DE⊥AB于E.在Rt△AED中,AD=202,∠DAE=45°,∴DE=202×sin45°=20.在Rt△BED中,BD=205,∴sin∠ABD=𝐸𝐷𝐵𝐷=20205=55.3.[2019·泸州]如图Z4-7,海中有两个小岛C,D,某渔船在海中的A处测得小岛D位于东北方向上,且相距202nmile,该渔船自西向东航行一段时间到达点B处,此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上,且相距50nmile,又测得点B与小岛D相距205nmile.(2)求小岛C,D之间的距离(计算过程中的数据不取近似值).图Z4-7解:(2)过D作DF⊥BC于F.在Rt△BED中,DE=20,BD=205,∴BE=𝐵𝐷2-𝐷𝐸2=40.∵四边形BFDE是矩形,∴DF=EB=40,BF=DE=20,∴CF=BC-BF=30.在Rt△CDF中,CD=𝐷𝐹2+𝐶𝐹2=50,∴小岛C,D之间的距离为50nmile.4.[2019·江西]图Z4-8①是一台实物投影仪,图②是它的示意图,折线B—A—O表示固定支架,AO垂直水平桌面OE于点O,点B为旋转点,BC可转动,当BC绕点B顺时针旋转时,投影探头CD始终垂直于水平桌面OE,经测量:AO=6.8cm,CD=8cm,AB=30cm,BC=35cm.(结果精确到0.1cm)(1)如图②,∠ABC=70°,BC∥OE.①填空:∠BAO=°;②求投影探头的端点D到桌面OE的距离.图Z4-8(2)如图③,将(1)中的BC向下旋转,当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时,求∠ABC的大小.(参考数据:sin70°≈0.94,cos20°≈0.94,sin36.8°≈0.60,cos53.2°≈0.60)图Z4-8解:(1)①如图①所示,延长OA交BC于点F,∵BC∥OE,OA⊥OE,∴∠BFA=∠AOE=90°,∴∠BAO=∠BFA+∠ABC=90°+70°=160°.故答案为160.②∵∠BFA=90°,∠ABC=70°,AB=30cm,sin70°≈0.94,∴AF=AB·sin70°≈30×0.94=28.2(cm).∵OA=6.8cm,∴OF=AF+OA=28.2+6.8=35(cm).又∵CD始终垂直于水平桌面OE,且CD=8cm,∴点D到桌面OE的距离为:OF-CD=35-8=27(cm).4.[2019·江西]图Z4-8①是一台实物投影仪,图②是它的示意图,折线B—A—O表示固定支架,AO垂直水平桌面OE于点O,点B为旋转点,BC可转动,当BC绕点B顺时针旋转时,投影探头CD始终垂直于水平桌面OE,经测量:AO=6.8cm,CD=8cm,AB=30cm,BC=35cm.(结果精确到0.1cm)(2)如图③,将(1)中的BC向下旋转,当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时,求∠ABC的大小.(参考数据:sin70°≈0.94,cos20°≈0.94,sin36.8°≈0.60,cos53.2°≈0.60)图Z4-8解:(2)如图②所示,作BH⊥CD于点H,∵D到桌面OE的距离为6cm,H到桌面OE的距离为35cm,CD=8cm,∴CH=35-8-6=21(cm).又∵BC=35cm,∠H=90°,∴sin∠CBH=𝐶𝐻𝐵𝐶=2135=35=0.6,∵sin36.8°≈0.60,∴∠CBH=36.8°.又∵∠ABH=70°,∴∠ABC=∠ABH-∠CBH=70°-36.8°=33.2°.类型三其余类型(2019,20/2014,19)1.[2019·广元]如图Z4-9,某海监船以60海里/时的速度从A处出发沿正西方向巡逻,一可疑船只在A的西北方向的C处,海监船航行1.5小时到达B处时接到报警,需巡查此可疑船只,此时可疑船只仍在B的北偏西30°方向的C处,然后,可疑船只以一定速度向正西方向逃离,海监