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题型突破（三）三角形、四边形的有关计算与证明类型一有关三角形的计算与证明三角形的有关知识的综合主要围绕三角形全等展开,先通过其他的条件得出判断三角形全等的边、角条件,再利用全等三角形的性质得出边或角之间的关系.1.[2019·绍兴]如图Z3-1①是实验室中的一种摆动装置,BC在地面上,支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形,摆动臂AD可绕点A旋转,摆动臂DM可绕点D旋转,AD=30,DM=10.(1)在旋转过程中:①当A,D,M三点在同一直线上时,求AM的长;②当A,D,M三点在同一直角三角形的顶点时,求AM的长.(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°,点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处,连接D1D2,如图Z3-1②,此时∠AD2C=135°,CD2=60,求BD2的长.①②图Z3-1解:(1)①AM=AD+DM=40,或AM=AD-DM=20.②显然∠MAD不能为直角.当∠AMD为直角时,AM2=AD2-DM2=302-102=800,∴AM=202.当∠ADM为直角时,AM2=AD2+DM2=302+102=1000,∴AM=1010.1.[2019·绍兴]如图Z3-1①是实验室中的一种摆动装置,BC在地面上,支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形,摆动臂AD可绕点A旋转,摆动臂DM可绕点D旋转,AD=30,DM=10.(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°,点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处,连接D1D2,如图Z3-1②,此时∠AD2C=135°,CD2=60,求BD2的长.①②图Z3-1解:(2)连接CD1,由题意得∠D1AD2=90°,AD1=AD2=30,∴∠AD2D1=45°,D1D2=302,又∵∠AD2C=135°,∴∠CD2D1=90°,∴CD1=𝐶𝐷22+𝐷1𝐷22=306.∵∠BAC=∠D2AD1=90°,∴∠BAC-∠CAD2=∠D2AD1-∠CAD2,即∠BAD2=∠CAD1.又∵AB=AC,AD2=AD1,∴△ABD2≌△ACD1,∴BD2=CD1=306.2.如图Z3-2,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,F为BC的中点,BE与DF,DC分别交于点G,H,∠ABE=∠CBE.(1)线段BH与AC相等吗?若相等,给予证明;若不相等,请说明理由.(2)求证:BG2-GE2=EA2.图Z3-2解:(1)BH=AC.证明如下:∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°,∠ABC=45°,∴∠BCD=45°=∠ABC,∠A+∠DCA=90°,∠A+∠ABE=90°,∴DB=DC,∠ABE=∠DCA.在△DBH和△DCA中,∠𝐷𝐵𝐻=∠𝐷𝐶𝐴,𝐵𝐷=𝐶𝐷,∠𝐵𝐷𝐻=∠𝐶𝐷𝐴,∴△DBH≌△DCA,∴BH=AC.2.如图Z3-2,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,F为BC的中点,BE与DF,DC分别交于点G,H,∠ABE=∠CBE.(2)求证:BG2-GE2=EA2.图Z3-2解:(2)证明:如图,连接CG.∵F为BC的中点,DB=DC,∴DF垂直平分线段BC,∴BG=CG.∵BE⊥AC,∴∠AEB=∠CEB.在△ABE和△CBE中,∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐶𝐸𝐵,𝐵𝐸=𝐵𝐸,∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐶𝐵𝐸,∴△ABE≌△CBE,∴EC=EA.在Rt△CGE中,由勾股定理,得CG2-GE2=EC2.∴BG2-GE2=EA2.3.已知两个共顶点的等腰直角三角形ABC和CEF,∠ABC=∠CEF=90°,连接AF,M是AF的中点,连接MB,ME.(1)如图Z3-3①,当CB与CE在同一条直线上时,求证:MB∥CF;(2)在(1)的条件下,若AB=a,CE=2a,求BM,ME的长;(3)如图②,当∠BCE=45°时,求证:BM=ME.图Z3-3解:(1)证明:如图①,连接CM.∵△ABC与△CEF都是等腰直角三角形,∴∠ACF=2×45°=90°.又∵M是AF的中点,∴CM=AM=MF.又∵AB=CB,BM=BM,∴△ABM≌△CBM,∴∠1=∠2,∴∠AMC=2∠1.∵CM=MF,∴∠3=∠4,∴∠AMC=2∠3,∴∠1=∠3,∴BM∥CF.3.已知两个共顶点的等腰直角三角形ABC和CEF,∠ABC=∠CEF=90°,连接AF,M是AF的中点,连接MB,ME.(2)在(1)的条件下,若AB=a,CE=2a,求BM,ME的长;图Z3-3解:(2)如图①,∵CM=FM,CE=FE,EM=EM,∴△CEM≌△FEM,∴∠CEM=∠FEM=12∠CEF=45°.又由(1)可知,BM∥CF,∴∠EBM=∠ECF=45°,∴△EBM是等腰直角三角形.∵AB=a,CE=2a,∴BE=2a-a=a,∴BM=EM=22a.3.已知两个共顶点的等腰直角三角形ABC和CEF,∠ABC=∠CEF=90°,连接AF,M是AF的中点,连接MB,ME.(3)如图②,当∠BCE=45°时,求证:BM=ME.图Z3-3解:(3)证明:(方法一)如图②,延长BM交CF于点D,连接BE,DE.∵∠BCE=45°,∴∠BCF=∠BCE+∠ECF=45°+45°=90°.∵∠ABC=90°,∴∠ABC=∠BCF,∴AB∥CF,∴∠1=∠2,∠ABM=∠FDM.又∵AM=FM,∴△ABM≌△FDM,∴AB=DF,∴BC=DF.又∵∠BCE=∠DFE=45°,CE=FE,∴△BCE≌△DFE,∴∠3=∠4,∴∠BED=∠3+∠CED=∠4+∠CED=90°.又由△ABM≌△FDM可知,BM=DM,∴EM是Rt△BED的斜边BD上的中线,∴BM=ME.(方法二)如图③,延长CB交FE的延长线于点P,延长AB交CE于点Q,连接AP,FQ.∵∠ACQ=∠BCA+∠BCE=45°+45°=90°,∠CAB=45°,∴△ACQ是等腰直角三角形.∵CB平分∠ACQ,∴CB是AQ边上的中线,即点B是AQ的中点.又∵M是AF的中点,∴BM是△AFQ的中位线,∴BM=12QF.同理可知,△FCP是等腰直角三角形,且E为PF的中点,∴ME=12AP.∵AC=QC,∠ACP=∠QCF=45°,CP=CF,∴△ACP≌△QCF,∴AP=QF,∴BM=ME.类型二有关四边形的计算与证明(2018,19/2016,23/2015,21/2014,22/2013,22)证明平行四边形及特殊平行四边形时,通常要先看题中已知条件的特点,再根据条件选择合适的判定方法加以证明.1.如图Z3-4,在矩形ABCD中,E,F分别是AB,CD上的点,AE=CF,连接EF,BF,EF与对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC.(1)求证:OE=OF;(2)若BC=23,求AB的长.图Z3-4解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴CD∥AB,∴∠FCO=∠EAO.在△FCO和△EAO中,∠𝐹𝑂𝐶=∠𝐸𝑂𝐴,∠𝐹𝐶𝑂=∠𝐸𝐴𝑂,𝐶𝐹=𝐴𝐸,∴△FCO≌△EAO(AAS),∴OE=OF.1.如图Z3-4,在矩形ABCD中,E,F分别是AB,CD上的点,AE=CF,连接EF,BF,EF与对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC.(2)若BC=23,求AB的长.图Z3-4解:(2)如图,连接OB.∵∠BEF=2∠BAC,∠BEF=∠BAC+∠AOE,∴∠BAC=∠AOE,∴△EAO为等腰三角形,AE=OE.由(1)知,△FCO≌△EAO,∴△FCO为等腰三角形,∴OF=CF=AE=OE,∴O为EF的中点.∵BE=BF,∴BO垂直平分EF,∴Rt△BCF≌Rt△BOF≌Rt△BOE(HL),∴∠CBF=∠OBF=∠OBE=30°.∵BC=2,∴CF=AE=2,∴BF=BE=4,∴AB=AE+BE=2+4=6.2.[2018·鄂尔多斯19题]如图Z3-5,在△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC于点D,BD=6,DC=4.求AD的长.小明同学利用翻折,巧妙地解答了此题,按小明的思路探究并解答下列问题:(1)分别以AB,AC为对称轴,画出△ABD和△ACD的对称图形,点D的对称点分别为点E,F,延长EB和FC相交于点G,求证:四边形AEGF是正方形.(2)设AD=x,建立关于x的方程模型,求出AD的长.图Z3-5解:(1)证明:∵△AEB与△ADB关于AB对称,△ADC与△AFC关于AC对称,∴∠EAB=∠DAB,∠FAC=∠DAC,∠E=∠ADC=∠F=90°,AE=AD=AF,BD=BE,CD=CF.又∵∠DAC+∠DAB=45°,∴∠EAB+∠FAC=45°,∴∠EAF=90°,∴四边形AEGF是矩形,又AE=AF,∴四边形AEGF是正方形.2.[2018·鄂尔多斯19题]如图Z3-5,在△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC于点D,BD=6,DC=4.求AD的长.小明同学利用翻折,巧妙地解答了此题,按小明的思路探究并解答下列问题:(2)设AD=x,建立关于x的方程模型,求出AD的长.图Z3-5解:(2)∵BD=6,CD=4,∴BE=6,CF=4.又∵AD=x,∴AE=EG=GF=x,∴BG=x-6,CG=x-4.在Rt△BCG中,(x-6)2+(x-4)2=102,解得x1=12,x2=-2(舍去),∴AD的长为12.3.如图Z3-6,将矩形ABCD沿AF折叠,使点D落在BC边上的点E处,过点E作EG∥CD交AF于点G,连接DG.(1)求证:四边形EFDG是菱形;(2)探究线段EG,GF,AF之间的数量关系,并说明理由;(3)若AG=6,EG=25,求BE的长.图Z3-6解:(1)证明:由折叠知,∠EFA=∠DFA,EG=GD,EF=DF.∵EG∥DC,∴∠DFA=∠EGF,∴∠EFA=∠EGF,∴EF=EG,∴EF=EG=FD=GD.∴四边形EFDG是菱形.3.如图Z3-6,将矩形ABCD沿AF折叠,使点D落在BC边上的点E处,过点E作EG∥CD交AF于点G,连接DG.(2)探究线段EG,GF,AF之间的数量关系,并说明理由;图Z3-6解:(2)EG2=12AF·GF.理由如下:连接ED交AF于点H.∵四边形EFDG是菱形,∴DE⊥AF,FH=12GF.∵∠EFH=∠AFE,∠EHF=∠AEF=90°,∴△FEH∽△FAE,∴𝐸𝐹𝐹𝐻=𝐴𝐹𝐸𝐹,即EF2=FH·AF,∴EG2=12AF·GF.3.如图Z3-6,将矩形ABCD沿AF折叠,使点D落在BC边上的点E处,过点E作EG∥CD交AF于点G,连接DG.(3)若AG=6,EG=25,求BE的长.图Z3-6解:(3)∵AG=6,EG=25,EG2=12AF·GF,∴(25)2=12(6+GF)·GF.∵GF0,∴GF=4,∴AF=10.∵DF=EG=25,∴AD=BC=𝐴𝐹2-𝐷𝐹2=45,DE=2EH=2𝐸𝐺2-(12𝐺𝐹)2=8.∵∠CDE+∠DFA=90°,∠DAF+∠DFA=90°,∴∠CDE=∠DAF,∴Rt△ADF∽Rt△DCE,∴𝐸𝐶𝐷𝐹=𝐷𝐸𝐴𝐹,即𝐸𝐶25=810,∴EC=855,∴BE=BC-EC=1255.4.[2016·鄂尔多斯23题]如图Z3-7①,在正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点P是线段AO上(不与A,O重合)的一个动点,过点P作PE⊥PB,且PE交边CD于点E.(1)求证:PB=PE.(2)如图②,若正方形ABCD的边长为2,过点E作EF⊥AC于点F,在点P运动的过程中,PF的长度是否发生变化?若不变,试求出这个不变的值;若变化,请说明理由.(3)如图①,用等式表示线段PC,PA,EC之间的数量关系.图Z3-7解:(1)证明:如图①,过点P作MN∥AD,交AB于M,交CD于点N.∵PB⊥PE,∴∠BPE=90°,∴∠MPB+∠EPN=90°.∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=∠D=90°.∵AD∥MN,∴∠BMP=∠BAD=∠PNE=∠