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题型突破（二）一次函数与反比例函数、几何综合题题型解读一次函数与反比例函数、几何综合题多出现在20题的位置,考查求一次函数与反比例函数解析式,根据两个函数的函数值的取值范围求自变量的取值范围,求图象与坐标轴围成的图形面积等.分值一般在8分左右.类型一一次函数与反比例函数的综合(2015,20/2013,23)例1如图Z2-1,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y1=ax+b(a,b为常数,且a≠0)与反比例函数y2=𝑚𝑥(m为常数,且m≠0)的图象交于A(-2,1),B(1,n)两点.(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)连接OA,OB,求△AOB的面积;(3)直接写出当y1y20时,自变量x的取值范围.图Z2-1【分层分析】(1)由已知点的坐标可以求出反比例函数的解析式为,由反比例函数的解析式进而可求出点B的坐标为,由A,B两点的坐标利用待定系数法可得一次函数的解析式.解:(1)由题意知,点A(-2,1)在反比例函数y2=𝑚𝑥的图象上,∴1=𝑚-2,解得m=-2.∴反比例函数的解析式为y2=-2𝑥.又∵点B(1,n)也在反比例函数y2=𝑚𝑥的图象上,∴n=-21=-2.∴B(1,-2).∵点A,B在一次函数y1=ax+b的图象上,∴1=-2𝑎+𝑏,-2=𝑎+𝑏,解得𝑎=-1,𝑏=-1.∴一次函数的解析式为y1=-x-1.例1如图Z2-1,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y1=ax+b(a,b为常数,且a≠0)与反比例函数y2=𝑚𝑥(m为常数,且m≠0)的图象交于A(-2,1),B(1,n)两点.(2)连接OA,OB,求△AOB的面积;图Z2-1【分层分析】(2)利用割补法求△AOB的面积.解:(2)设线段AB交y轴于点C,则OC=1.分别过点A,B作AE,BF垂直于y轴,垂足分别为E,F,则AE=2,BF=1.∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=12OC·AE+12OC·BF=12×1×2+12×1×1=32.例1如图Z2-1,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y1=ax+b(a,b为常数,且a≠0)与反比例函数y2=𝑚𝑥(m为常数,且m≠0)的图象交于A(-2,1),B(1,n)两点.(3)直接写出当y1y20时,自变量x的取值范围.图Z2-1【分层分析】(3)数形结合进行分析:函数值大表现在图象上即图象在上方;函数值小即图象在下方.解:(3)当y1y20时,自变量x的取值范围为x1.【方法点析】对于一次函数与反比例函数综合题常用到以下方法:1.求反比例函数与一次函数图象的交点坐标时,把两个函数关系式联立成方程组求解,若方程组有解,则两者有交点;若方程组无解,则两者无交点.2.确定函数解析式时利用待定系数法.3.利用图象求不等式的解集时,数形结合进行分析,函数值大表现在图象上即图象在上方;函数值小即图象在下方.4.涉及面积问题时,要把点的坐标转化为边的长度.|题型精练|1.[2019·甘肃]如图Z2-2,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=𝑚𝑥的图象相交于A(-1,n),B(2,-1)两点,与y轴相交于点C.(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)若点D与点C关于x轴对称,求△ABD的面积;(3)若M(x1,y1),N(x2,y2)是反比例函数y=𝑚𝑥图象上的两点,当x1x20时,比较y2与y1的大小关系.图Z2-2解:(1)∵反比例函数y=𝑚𝑥的图象经过点B(2,-1),∴m=-2.∵点A(-1,n)在反比例函数y=-2𝑥的图象上,∴n=2,∴A(-1,2).把A,B的坐标代入y=kx+b,则有-𝑘+𝑏=2,2𝑘+𝑏=-1,解得𝑘=-1,𝑏=1,∴一次函数的解析式为y=-x+1,反比例函数的解析式为y=-2𝑥.1.[2019·甘肃]如图Z2-2,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=𝑚𝑥的图象相交于A(-1,n),B(2,-1)两点,与y轴相交于点C.(2)若点D与点C关于x轴对称,求△ABD的面积;图Z2-2解:(2)∵直线y=-x+1交y轴于C,∴C(0,1).∵D,C关于x轴对称,∴D(0,-1).∵B(2,-1),∴BD∥x轴,∴S△ABD=12×2×3=3.1.[2019·甘肃]如图Z2-2,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=𝑚𝑥的图象相交于A(-1,n),B(2,-1)两点,与y轴相交于点C.(3)若M(x1,y1),N(x2,y2)是反比例函数y=𝑚𝑥图象上的两点,当x1x20时,比较y2与y1的大小关系.图Z2-2解:(3)∵M(x1,y1),N(x2,y2)是反比例函数y=-2𝑥图象上的两点,且x1x20,∴y1y2.2.[2019·柳州]如图Z2-3,直线AB与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,2),将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC,反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0,x0)的图象经过点C.(1)求直线AB和反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0,x0)的解析式;(2)已知点P是反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0,x0)图象上的一个动点,求点P到直线AB距离最短时的坐标.图Z2-3解:(1)设直线AB的解析式为y=mx+b,将A(1,0),B(0,2)代入y=mx+b,得𝑚+𝑏=0,𝑏=2,解得𝑏=2,𝑚=-2,∴y=-2x+2.过点C作CD⊥x轴于点D.∵线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC,∴AB=AC,∠BAC=90°.又∵∠ABO+∠BAO=∠BAO+∠CAD=90°,∴∠ABO=∠CAD.又∵∠AOB=∠ADC=90°,∴△ABO≌△CAD(AAS),∴AD=OB=2,CD=OA=1,∴C(3,1),∴k=3,∴y=3𝑥.2.[2019·柳州]如图Z2-3,直线AB与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,2),将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC,反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0,x0)的图象经过点C.(2)已知点P是反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0,x0)图象上的一个动点,求点P到直线AB距离最短时的坐标.图Z2-3解:(2)设与AB平行的直线解析式为y=-2x+h,联立y=-2x+h与y=3𝑥得-2x+h=3𝑥,∴-2x2+hx-3=0,当Δ=h2-24=0时,h=±26,此时点P到直线AB距离最短,∵x0,∴点P在第一象限,∴h=26.-2x2+26x-3=0,解得x1=x2=62.∴P62,6.3.[2019·泰安]如图Z2-4,已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=𝑚𝑥(x0)的图象交于点A,与x轴交于点B(5,0),若OB=AB,且S△OAB=152.(1)求反比例函数与一次函数的表达式;(2)若点P为x轴上一点,△ABP是等腰三角形,求点P的坐标.图Z2-4解:(1)过点A作AM⊥x轴于点M,则S△OAB=12OB·AM=152.∵B(5,0),∴OB=5,∴12×5·AM=152,∴AM=3.∵OB=AB,∴AB=5.在Rt△ABM中,BM=𝐴𝐵2-𝐴𝑀2=4,∴OM=OB+BM=9,∴A(9,3).∵点A在反比例函数y=𝑚𝑥(x0)的图象上,∴3=𝑚9,m=27,反比例函数的表达式为:y=27𝑥.∵点A(9,3),B(5,0)在一次函数y=kx+b的图象上,∴3=9𝑘+𝑏,0=5𝑘+𝑏,解得𝑘=34,𝑏=-154,∴一次函数的表达式为:y=34x-154.3.[2019·泰安]如图Z2-4,已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=𝑚𝑥(x0)的图象交于点A,与x轴交于点B(5,0),若OB=AB,且S△OAB=152.(2)若点P为x轴上一点,△ABP是等腰三角形,求点P的坐标.图Z2-4解:(2)设点P(x,0),又∵A(9,3),B(5,0),AB2=25,∴AP2=(9-x)2+32=x2-18x+90,BP2=(5-x)2=x2-10x+25.根据等腰三角形中有两边相等,分类讨论:①令AB2=AP2,得25=x2-18x+90,解得:x1=5,x2=13.当x=5时,点P与点B重合,故舍去,∴P1(13,0).②令AB2=BP2,得25=x2-10x+25,解得:x1=0,x2=10.故P2(0,0),P3(10,0).③令AP2=BP2,得x2-18x+90=x2-10x+25,解得:x=658,∴P4658,0.综上所述,使△ABP是等腰三角形的点P的坐标为:P1(13,0),P2(0,0),P3(10,0),P4658,0.4.[2019·广东]如图Z2-5,一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=𝑘2𝑥的图象相交于A,B两点,其中点A的坐标为(-1,4),点B的坐标为(4,n).(1)根据图象,直接写出满足k1x+b𝑘2𝑥的x的取值范围;(2)求这两个函数的表达式;(3)点P在线段AB上,且S△AOP∶S△BOP=1∶2,求点P的坐标.图Z2-5解:(1)x-1或0x4.4.[2019·广东]如图Z2-5,一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=𝑘2𝑥的图象相交于A,B两点,其中点A的坐标为(-1,4),点B的坐标为(4,n).(2)求这两个函数的表达式;图Z2-5解:(2)把A(-1,4)的坐标代入y=𝑘2𝑥,得k2=-4.∴y=-4𝑥.∵点B(4,n)在反比例函数y=-4𝑥的图象上,∴n=-1.∴B(4,-1).把A(-1,4),B(4,-1)的坐标代入y=k1x+b,得-𝑘1+𝑏=4,4𝑘1+𝑏=-1,解得𝑘1=-1,𝑏=3.∴y=-x+3.4.[2019·广东]如图Z2-5,一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=𝑘2𝑥的图象相交于A,B两点,其中点A的坐标为(-1,4),点B的坐标为(4,n).(3)点P在线段AB上,且S△AOP∶S△BOP=1∶2,求点P的坐标.图Z2-5解:(3)设直线AB与y轴交于点C,∵点C在直线y=-x+3上,∴C(0,3).S△AOB=12OC·(|xA|+|xB|)=12×3×(1+4)=7.5,又∵S△AOP∶S△BOP=1∶2,∴S△AOP=13×7.5=2.5,S△BOP=5.又S△AOC=12×3×1=1.5,1.52.5,∴点P在第一象限.∴S△COP=2.5-1.5=1.又OC=3,∴12×3×xP=1,解得xP=23.把xP=23代入y=-x+3,得yP=73.∴P23,73.类型二反比例函数与几何图形的综合(2017,15/2016,20)例2[2017·山西]如图Z2-6,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点O与坐标原点重合,其边长为2,点A,点C分别在x轴、y轴的正半轴上.函数y=2x的图象与CB交于点D,函数y=𝑘𝑥(k为常数,k≠0)的图象经过点D,与AB交于点E,与函数y=2x的图象在第三象限内交于点F,连接AF,EF.(1)求函数y=𝑘𝑥的解析式,并直接写出E,F两点的坐标;(2)求△AEF的面积.图Z2-6【分层分析】(1)由正方形的边长为2可知,点D的纵坐标是,将点D的纵坐标代入一次函数的解析式可得点D的横坐标.求反比例函数的解析式用待定系数法,由函数y=𝑘𝑥的图象经过点D,将其坐标代入即可;由于点D,F是反比例函数与正比例函数图象的交点,因此由中心对称性结合点D的坐标便可求得点F的坐标,由AB⊥x轴可知,点E的横坐标为2,将其代入反比例函数的解析式即可求得点E的坐标.解:(1)∵正方形OABC的边长为2,∴OC=2,∴点D的纵坐标为2,即y=2.将y=2代入y=2x,得x=1,∴点D的坐标为(1,2).∵函数y=𝑘𝑥的图象经过点D,∴2=𝑘1,∴k=2,∴函数y=𝑘𝑥的解析式为y=2𝑥.E(2,1),F(-1,-2).【分层分析】(2)由E,F两点的坐标可求出△AEF的底边长和其对应高的长,代入面积公式计算即可.例2[2017·山西]如图Z2