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题型突破（一）选择填空常考题型突破规律探索型问题是近几年鄂尔多斯中考命题的热点题型之一,这类题目主要考查学生的数学观察、联想、归纳的能力,大体分为数列规律探究与图形规律探究两种类型,探寻规律要认真观察、仔细思考,善用联想,抓住问题中的变化与不变的因素来分析解决这类问题.探寻数列规律要寻找对应内容与序号之间的关联来解决;图形变化类的规律题首先应找出图形哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解.类型一规律探索型问题(2019,15/2018,14/2017,13/2016,15/2014,16/2013,15)1.[2019·河南]如图Z1-1,在△OAB中,顶点O(0,0),A(-3,4),B(3,4).将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转,每次旋转90°,则第70次旋转结束时,点D的坐标为()A.(10,3)B.(-3,10)C.(10,-3)D.(3,-10)图Z1-1[答案]D[解析]延长DA交x轴于点M,∵A(-3,4),B(3,4),∴AB=6,AB∥x轴,∵四边形ABCD为正方形,∴AD=AB=6,∠DAB=90°,∴∠DMO=∠DAB=90°,连接OD,Rt△DMO中,MO=3,DM=10,则D点的坐标为(-3,10),将△OAB和正方形ABCD组成的图形绕点O每次顺时针旋转90°,Rt△DMO也同步绕点O每次顺时针旋转90°.当图形第一次绕点O顺时针旋转90°后,D点的坐标为(10,3),当图形第二次绕点O顺时针旋转90°后,D点的坐标为(3,-10),当图形第三次绕点O顺时针旋转90°后,D点的坐标为(-10,-3),当图形第四次绕点O顺时针旋转90°后,D点的坐标为(-3,10),当图形第五次绕点O顺时针旋转90°后,D点的坐标为(10,3),……每四次为一个循环.∵70÷4=17……2,∴旋转70次后,D点的坐标为(3,-10),故选D.2.[2019·鄂州]如图Z1-2,在平面直角坐标系中,点A1,A2,A3,…,An在x轴上,B1,B2,B3,…,Bn在直线y=33x上,若A1(1,0),且△A1B1A2,△A2B2A3,…,△AnBnAn+1都是等边三角形,从左到右的小三角形(阴影部分)的面积分别记为S1,S2,S3,…,Sn.则Sn可表示为()A.22nB.22n-1C.22n-2D.22n-3图Z1-2[答案]D[解析]∵△A1B1A2,△A2B2A3,…,△AnBnAn+1都是等边三角形,∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥AnBn,B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥BnAn+1,∵直线y=33x与x轴的夹角∠B1OA1=30°,∠OA1B1=120°,∴∠OB1A1=30°,∴OA1=A1B1,∵A1(1,0),∴A1B1=1,同理∠OB2A2=30°,…,∠OBnAn=30°,∴B2A2=OA2=2,B3A3=OA3=4,…,BnAn=2n-1,易得∠OB1A2=90°,∠OB2A3=90°,…,∠OBnAn+1=90°,∴B1B2=3,B2B3=23,…,BnBn+1=2n-13,∴S1=12×1×3=32,S2=12×2×23=23,…,Sn=12×2n-1×2n-13=22n-33.故选D.3.[2016·鄂尔多斯15题]请观察下列式子的规律:a1=23,a2=13,a3=27,a4=1763,a5=2699,…,则a8=.[答案]1351[解析]∵17=42+1,26=52+1,∴a1=23=12+13,a2=13=22+115,a3=27=32+135,a4=1763=42+163,a5=2699=52+199,…,∴a1=12+11×3,a2=22+13×5,a3=32+15×7,a4=42+17×9,a5=52+19×11,…,∴a8=82+1(2×8-1)×(2×8+1)=6515×17=1351.4.[2015·鄂尔多斯15题]如图Z1-3,甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A,C同时沿正方形的边开始移动,甲点依顺时针方向环行,乙点依逆时针方向环行.若甲的速度是乙的速度的3倍,则它们第2015次相遇在边上.图Z1-3[答案]AB[解析]设正方形ABCD的边长为a.因为甲的速度是乙的速度的3倍,时间相同,所以甲、乙所行的路程比为3∶1.把正方形的每一条边平均分成2等份.由题意知,①第一次相遇甲、乙行的路程和为2a,甲行的路程为2a×31+3=3𝑎2,乙行的路程为2a×11+3=𝑎2,在CD边相遇;②第一次相遇到第二次相遇甲、乙所行的路程和为4a,甲所行的路程为4a×31+3=3a,乙所行的路程为4a×11+3=a,在AD边相遇;③第二次相遇到第三次相遇甲、乙所行的路程和为4a,甲所行的路程为4a×31+3=3a,乙所行的路程为4a×11+3=a,在AB边相遇;④第三次相遇到第四次相遇甲、乙所行的路程和为4a,甲所行的路程为4a×31+3=3a,乙所行的路程为4a×11+3=a,在BC边相遇;⑤第四次相遇到第五次相遇甲、乙所行的路程和为4a,甲所行的路程为4a×31+3=3a,乙所行的路程为4a×11+3=a,在CD边相遇;…….因为2015=503×4+3,所以它们第2015次相遇在边AB上.5.[2014·鄂尔多斯16题]小明写出如下一组数:15,-39,717,-1533,…,请用你发现的规律,猜想第2014个数为.[答案]−22014−122015+1[解析]∵这组数分别是正数、负数、正数、负数、…,∴这组数的第n个数的正负即(-1)n+1的正负.∵1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,…,∴第n个数的分子是2n-1.∵5=22+1,9=23+1,17=24+1,33=25+1,…,∴第n个数的分母是2n+1+1.∴这组数的第n个数是(-1)n+1·2𝑛-12𝑛+1+1,∴第2014个数为(-1)2014+1·22014-122015+1=-22014-122015+1.6.[2018·遵义]每一层三角形的个数与层数之间的关系如图Z1-4,则第2018层三角形的个数为.图Z1-4[答案]4035[解析]由题图可知,第1层三角形的个数为1,第2层三角形的个数为3,第3层三角形的个数为5,第4层三角形的个数为7,第5层三角形的个数为9,……,∴第n层三角形的个数为2n-1,∴当n=2018时,三角形的个数为2×2018-1=4035.7.[2017·衢州]如图Z1-5,正三角形ABO的边长为2,O为坐标原点,A在x轴上,B在第二象限,将△ABO沿x轴正方向作无滑动地翻滚,经一次翻滚得△A1B1O,则翻滚3次后点B的对应点的坐标是,翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为.图Z1-5[答案](5,3)134633+896π[解析]首先求出点B的坐标为(-1,3).根据图形变换规律知,每三次翻滚后对应点的横坐标加6,纵坐标不变,故翻滚3次点B变换后对应点的坐标为(-1+6,3),即(5,3).追踪点M的变化:在每3次翻滚中,点M分别沿着三个圆心角为120°的扇形运动,三个扇形半径分别为3,1,1.因为2017÷3=672……1,所以其运动路径长为233π×(672+1)+23π×672×2=134633+896π.8.[2019·鄂尔多斯15题]如图Z1-6,有一条折线A1B1A2B2A3B3A4B4…,它是由过A1(0,0),B1(4,4),A2(8,0)组成的折线依次平移8,16,24,…个单位得到的,直线y=kx+2与此折线有2n(n≥1且n为整数)个交点,则k的值为.图Z1-6-𝟏𝟒𝒏类型二函数图象问题(2019,10/2018,10/2017,10/2016,10/2015,10/2013,10)解决这类问题的关键是“变动为静”,即选取动点运动路径中任意一位置形成静态图形,再由静态图形的性质得出题设变量间的函数关系.图Z1-71.如图Z1-7,在平行四边形ABCD中,AC=4,BD=6,P是BD上的任意一点,过点P作EF∥AC,与平行四边形的两条边分别交于点E,F.设BP=x,EF=y,则能反映y与x之间关系的图象是()图Z1-7图Z1-8[答案]C[解析]如图.设AC交BD于点O.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OD=OB=12BD=3.当P在OB上,即0≤x≤3时,如图①.∵EF∥AC,∴𝐵𝑃𝑂𝐵=𝐸𝐹𝐴𝐶,即𝑥3=𝑦4,∴y=43x.当P在OD上,即3x≤6时,如图②.同理可知,𝐷𝑃𝑂𝐷=𝐸𝐹𝐴𝐶,即6-𝑥3=𝑦4,∴y=-43x+8.∵两种情况都是一次函数,∴图象是直线.故选C.2.如图Z1-9,已知A,B是反比例函数y=𝑘𝑥(k0,x0)图象上的两点,BC∥x轴,交y轴于点C,动点P从坐标原点O出发,沿O→A→B→C(图中“→”路线)匀速运动,终点为C,过点P作PM⊥x轴,垂足为M.设三角形OMP的面积为S,点P的运动时间为t,S关于t的函数图象大致为()图Z1-9图Z1-10[答案]A[解析]设∠AOM=α,点P的运动速度为a.当点P从点O运动到点A时,S=(𝑎𝑡·cos𝛼)·(𝑎𝑡·sin𝛼)2=12a2·cosα·sinα·t2.由于α及a均为常量,因此本段图象应为抛物线,且S随着t的增大而增大;当点P从点A运动到点B时,由反比例函数的性质可知,△OPM的面积为12k,保持不变,故本段图象应为与横轴平行的线段;当点P从点B运动到点C时,OM的长在减小,△OPM的OM边上的高与在点B时相同,故本段图象应为一段下降的线段.故选A.3.[2018·安徽]如图Z1-11,直线l1,l2都与直线l垂直,垂足分别为M,N,MN=1,正方形ABCD的边长为2,对角线AC在直线l上,且点C位于点M处,将正方形ABCD沿l向右平移,直到点A与点N重合为止,记点C平移的距离为x,正方形ABCD的边位于l1,l2之间部分的长度和为y,则y关于x的函数图象大致为()图Z1-11图Z1-12[答案]A[解析]这是一道动态问题,需要分段思考,求解的关键是先确定函数解析式,再选择图象.其中,在图形运动过程中,确定三种运动状态下的图形形态是重中之重.其中关键是首先确定图形变化瞬间的静态图形位置,从而得到分界点,然后再思考动态时的情况,确定各种情况下的取值范围,最后求出各部分对应的函数解析式,运用函数的图象、性质分析作答.有时,直接根据各运动状态(如前、后图形的对称状态对应函数图象的对称,前、后图形面积的增减变化对应函数图象的递增或递减等)就能求解.∵正方形ABCD的边长为2,∴AC=2.(1)如图①,当点C位于l1,l2之间,即0≤x1时,设CD,BC与l1分别相交于点P,Q,则PC=2x,∴y=22x.(2)如图②,当点D位于l1,l2之间,即1≤x2时,设AD与l1相交于点P,CD与l2相交于点Q,连接BD,过点P作PR⊥BD于点R,过点Q作QS⊥BD于点S.设PR=a,则SQ=1-a,DP+DQ=2a+2(1-a)=2,所以y=22.①②(3)如图③,当点A位于l1,l2之间,即2≤x≤3时,设AD,AB分别与l2相交于点P,Q.∵AN=3-x,∴AP=2(3-x)=32−2x,∴y=62-22x.③4.[2018·鄂尔多斯10题]如图Z1-13,直线y=-x+4与x轴,y轴分别交于D,C两点,P是直线CD上的一个动点,☉A的圆心A的坐标为(-4,-4),半径为22,直线PO与☉A相交于M,N两点,Q是MN的中点,当OP=t,OQ=S时,S与t的函数图象大致为()图Z1-13图Z1-14A5.[2019·鄂尔多斯10题]在“加油向未来”电视节目中,王清和李北进行无人驾驶汽车运送货物表演,王清操控的快车和李北操控的慢车分别从A,B两地同时出发,相向而行,快车到达B地后,停留3秒卸货,然后原路返回A地,慢车到达A地即停运休息,图Z1-15表示的是两车之间的距离y(米)与行驶时间x(秒)的函数图象,根