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第23课时多边形与平行四边形【考情分析】考点2015中考相关题2016中考相关题2017中考相关题2018中考相关题2019中考相关题2020中考预测多边形的相关概念14题,3分13题,3分★★★平行四边形的概念与性质21题,9分20题,8分7题,3分★★★★★平行四边形的判定★★★基础知识巩固高频考向探究考点一多边形考点聚焦图形性质多边形内角和n边形的内角和为①外角和任意多边形的外角和为360°对角线(1)n边形共有②条对角线;(2)从一个顶点出发的对角线把n边形分成③个三角形不稳定性n边形(n3)具有不稳定性(n-2)·180°𝒏(𝒏-𝟑)𝟐n-2基础知识巩固高频考向探究(续表)图形性质正多边形边各条边④内角各个内角⑤,且正n边形的每个内角为⑥外角各个外角相等,且正n边形的每个外角为⑦对称性(1)正多边形都是⑧对称图形,其中边数为偶数的正多边形也是中心对称图形;(2)正n边形有⑨条对称轴相等(𝒏-𝟐)·𝟏𝟖𝟎°𝒏相等𝟑𝟔𝟎°𝒏轴n基础知识巩固高频考向探究考点二平行四边形定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形性质(1)平行四边形的对边⑩;(2)平行四边形的对角⑪,邻角⑫;(3)平行四边形的对角线互相⑬;(4)平行四边形是⑭对称图形判定(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(2)两组对边分别⑮的四边形是平行四边形;(3)一组对边⑯的四边形是平行四边形;(4)两组对角分别⑰的四边形是平行四边形;(5)对角线互相⑱的四边形是平行四边形平行且相等相等互补平分中心相等平行且相等相等平分基础知识巩固高频考向探究(续表)面积S=ah(a表示一条边长,h表示此边上的高)相关结论(1)平行四边形的两条对角线将平行四边形分成⑲的四个三角形;(2)同底等高的平行四边形的面积相等;(3)若一条直线过平行四边形的对角线的交点,则这条直线等分平行四边形的面积面积相等基础知识巩固高频考向探究题组一必会题对点演练1.一个多边形的内角和是900°,这个多边形的边数是()A.4B.5C.6D.7D基础知识巩固高频考向探究[答案]D[解析]因为平行四边形的对角线互相平分,OE⊥BD,所以OE垂直平分BD,所以BE=DE,从而△ABE的周长等于AB+AD,即▱ABCD的周长的一半,所以△ABE的周长为14,故选D.2.[2019·遂宁]如图23-1,▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OE⊥BD交AD于点E,连接BE.若▱ABCD的周长为28,则△ABE的周长为()A.28B.24C.21D.14图23-1基础知识巩固高频考向探究3.[2019·达州]如图23-2,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是AB的中点,△BEO的周长是8,则△BCD的周长为.图23-2[答案]16[解析]由O是▱ABCD的对角线AC,BD的交点,点E是AB的中点,可得OE=12AD,BE=12AB,BO=12BD,可得△BEO的周长是△BAD周长的一半,而△BCD的周长和△BAD周长相等,即△BCD的周长为16.基础知识巩固高频考向探究[答案]72[解析]如图,过点B作BF∥l1.∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠ABC=108°.∵BF∥l1,l1∥l2,∴BF∥l2,∴∠CBF=180°-∠1,∠ABF=∠2,∴180°-∠1+∠2=∠ABC=108°,∴∠1-∠2=72°.4.[2018·南京]如图23-3,五边形ABCDE是正五边形,若l1∥l2,则∠1-∠2=°.图23-3基础知识巩固高频考向探究【失分点】对于平行四边形的性质与判定不能准确理解;构图时忽视多种情况的存在,考虑不全面.题组二易错题5.下列说法错误的是()A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D.一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形D基础知识巩固高频考向探究6.在▱ABCD中,AE平分∠BAD交BC于点E,将BC分成4cm和6cm两部分,则▱ABCD的周长为()A.28cmB.32cmC.28cm或32cmD.无法确定基础知识巩固高频考向探究[答案]C[解析]∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE.∵▱ABCD的边AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB,∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE.①当BE=4cm时,AB=4cm,BC=4+6=10(cm),∴▱ABCD的周长为2(AB+BC)=2×(4+10)=28(cm),②当BE=6cm时,AB=6cm,BC=6+4=10(cm),∴▱ABCD的周长为2(AB+BC)=2×(6+10)=32(cm).综上所述,▱ABCD的周长为28cm或32cm.故选C.基础知识巩固高频考向探究[答案]540°或360°或180°[解析]n边形的内角和是(n-2)×180°.若所得多边形的边数增加1,则其内角和是(4+1-2)×180°=540°;若所得多边形的边数不变,则其内角和是(4-2)×180°=360°;若所得多边形的边数减少1,则其内角和是(4-1-2)×180°=180°,所以新多边形的内角和是540°或360°或180°.7.[2018·聊城]如果一个正方形被截掉一个角后,得到一个多边形,那么这个多边形的内角和是.基础知识巩固高频考向探究考向一多边形的相关概念及计算例1[2018·原创](1)七边形的内角和等于;(2)正八边形的每一个内角都等于,每一个外角都等于;(3)如果一个多边形的内角和等于1260°,那么这个多边形的边数是;(4)如果一个多边形的每个外角都是60°,那么这个多边形的边数是;(5)如果一个多边形的内角和等于外角和,那么这个多边形的边数是.900°135°45°964基础知识巩固高频考向探究【方法点析】(1)多边形的内角中最多只有三个锐角;(2)多边形的边数每增加一条,内角和的度数增加180°;(3)多边形的外角和与边数n无关.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.下列命题中:①多边形每增加一条边,其内角和增加180°;②任意一个多边形的内角和一定是180°的整数倍;③多边形的边数增加为原来的2倍,则多边形的内角和也增加为原来的2倍;④任意两个多边形的内角和之差一定是180°的整数倍.其中,正确的是()A.①②B.①②④C.②④D.①②③④[答案]B[解析]根据多边形内角和定理,可知①②④正确;因为(2𝑛-2)·180°(𝑛-2)·180°≠2,所以③不正确.故选B.基础知识巩固高频考向探究[答案]C[解析]∵在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,∴∠EDC+∠BCD=240°.又∵DP,CP分别平分∠EDC,∠BCD,∴∠PDC+∠PCD=120°,∴在△CDP中,∠P=180°-(∠PDC+∠PCD)=180°-120°=60°.故选C.2.[2018·济宁]如图23-4,在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,DP,CP分别平分∠EDC,∠BCD,则∠P=()A.50°B.55°C.60°D.65°图23-4基础知识巩固高频考向探究考向二平行四边形的判定和性质例2如图23-5①,在▱ABCD中,点O是对角线AC的中点,EF过点O,与AD,BC分别相交于点E,F,GH过点O,与AB,CD分别相交于点G,H,连接EG,FG,FH,EH.(1)求证:四边形EGFH是平行四边形.(2)如图②,若EF∥AB,GH∥BC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外).图23-5基础知识巩固高频考向探究解:(1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO.又∵OA=OC,∠AOE=∠COF,∴△OAE≌△OCF,∴OE=OF.同理可知,OG=OH,∴四边形EGFH是平行四边形.基础知识巩固高频考向探究例2如图23-5①,在▱ABCD中,点O是对角线AC的中点,EF过点O,与AD,BC分别相交于点E,F,GH过点O,与AB,CD分别相交于点G,H,连接EG,FG,FH,EH.(2)如图②,若EF∥AB,GH∥BC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外).图23-5解:(2)▱GBCH,▱ABFE,▱EFCD,▱EGFH.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·广州]如图23-6,▱ABCD中,AB=2,AD=4,对角线AC,BD相交于点O,且E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,则下列说法正确的是()A.EH=HGB.四边形EFGH是平行四边形C.AC⊥BDD.△ABO的面积是△EFO的面积的2倍图23-6基础知识巩固高频考向探究[答案]B[解析]∵E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,在▱ABCD中,AB=2,AD=4,∴EH=12AD=2,HG=12CD=12AB=1,∴EH≠HG,故选项A错误;∵E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,∴EH=12AD=12BC=FG,EF=12AB=12CD=HG,∴四边形EFGH是平行四边形,故选项B正确;由题目中的条件,无法判断AC和BD是否垂直,故选项C错误;∵点E,F分别为OA和OB的中点,∴EF=12AB,EF∥AB,∴△OEF∽△OAB,∴𝑆△𝑂𝐸𝐹𝑆△𝑂𝐴𝐵=𝐸𝐹𝐴𝐵2=14,即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍,故选项D错误,故选B.基础知识巩固高频考向探究2.[2018·安徽]在▱ABCD中,E,F是对角线BD上不同的两点,下列条件中,不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是()A.BE=DFB.AE=CFC.AF∥CED.∠BAE=∠DCF基础知识巩固高频考向探究[答案]B[解析]如图,连接AC,与BD相交于O.在▱ABCD中,OA=OC,OB=OD,要使四边形AECF为平行四边形,只需证明OE=OF即可.A.若BE=DF,则OB-BE=OD-DF,即OE=OF,故此选项不符合题意;B.若AE=CF,无法判断OE=OF,故此选项符合题意;C.由AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等,从而得到OE=OF,故此选项不符合题意;D.由∠BAE=∠DCF能够利用“角边角”证明△ABE和△CDF全等,从而得到DF=BE,然后同A,故此选项不符合题意.故选B.基础知识巩固高频考向探究3.[2015·鄂尔多斯21题]如图23-7,在▱ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,连接EC,AF,AF与EC交于点M,AF的延长线与DC的延长线交于点N.(1)求证:AB=CN.(2)若AB=2n,BE=2MF,试用含n的式子表示线段AN的长.图23-7解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DN,∴∠B=∠FCN,∠BAF=∠N.∵F是BC的中点,∴BF=CF,∴△BAF≌△CNF,∴AB=CN.基础知识巩固高频考向探究3.[2015·鄂尔多斯21题]如图23-7,在▱ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,连接EC,AF,AF与EC交于点M,AF的延长线与DC的延长线交于点N.(2)若AB=2n,BE=2MF,试用含n的式子表示线段AN的长.图23-7解:(2)∵AB∥DN,∴△AEM∽△NCM,∴𝐴𝑀𝑀𝑁=𝐴𝐸𝐶𝑁.∵AB=CN,且E是AB的中点,∴AE=BE=12AB=12CN,∴𝐴𝐹-𝑀𝐹𝐹𝑁+𝑀𝐹=12.∵AB=2n,BE=2MF,∴BE=n,MF=12n.由△ABF≌△NCF可得AF=FN,∴𝐴𝐹-12𝑛𝐴𝐹+12𝑛=12,∴AF=32n,∴AN=2AF=3n.基础知识巩固高频考向探究4.[2018·重庆A卷]如图23-8,在▱ABCD中,点O是对角线AC的中点,点E是BC上一点,且AB=AE,连接EO并延长交AD于点F,过点B作AE的垂线,垂足为H,交AC于点G.(1)若AH=3,EH=1,求△ABE的面积.(2)若∠