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第20课时相似三角形及其应用【考情分析】考点2015中考相关题2016中考相关题2017中考相关题2018中考相关题2019中考相关题2020中考预测相似图形★平行线分线段成比例★相似三角形的性质21题,9分21题,9分21题,8分24题,12分★★★★★考点2015中考相关题2016中考相关题2017中考相关题2018中考相关题2019中考相关题2020中考预测相似三角形的判定21题,9分21题,9分10题,3分24题,12分21题,3分21题,8分24题,12分★★★★★位似图形★相似三角形的应用★★★(续表)基础知识巩固高频考向探究考点一比例线段的相关概念及性质考点聚焦1.线段的比:两条线段的比是两条线段的长度之比.性质1ab=cd⇔②=bc(bd≠0)性质2如果ab=cd,那么a±bb=③性质3如果ab=cd=…=mn(b+d+…+n≠0),那么a+c+…+mb+d+…+n=④ad𝒄±𝒅𝒅𝒂𝒃2.比例中项:如果𝑎𝑏=𝑏𝑐,即b2=①,我们就把b叫做a,c的比例中项.3.比例的基本性质ac基础知识巩固高频考向探究4.黄金分割:在线段AB上,点C把线段AB分成两条线段AC和BC(ACBC),如果𝐵𝐶𝐴𝐶=𝐴𝐶𝐴𝐵,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比,黄金比为⑤,一条线段有⑥个黄金分割点.𝟓-𝟏𝟐两基础知识巩固高频考向探究考点二平行线分线段成比例1.基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.如图20-1,两条直线l1,l2被三条互相平行的直线AD,BE,CF所截,则𝐴𝐵𝐵𝐶=𝐷𝐸𝐸𝐹.图20-1基础知识巩固高频考向探究2.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.如图20-2,在△ABC中,因为DE∥BC,所以𝐴𝐷𝐷𝐵=𝐴𝐸𝐸𝐶,也可以说𝐴𝐷𝐴𝐸=𝐵𝐷𝐸𝐶.图20-2基础知识巩固高频考向探究考点三相似三角形的性质及判定1.相似三角形的性质及判定判定(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;(2)三边成比例的两个三角形⑦;(3)两边成比例且⑧相等的两个三角形相似;(4)两角分别相等的两个三角形相似;(5)两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似性质(1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例;(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比;(3)相似三角形周长的比等于⑨,相似三角形面积的比等于⑩.相似夹角相似比相似比的平方基础知识巩固高频考向探究2.判定三角形相似的思路(1)有平行截线——用平行线的性质,找等角(2)有一对等角,找另一对等角该角的两边对应成比例(3)有两边对应成比例,找夹角相等第三边也对应成比例基础知识巩固高频考向探究(4)直角三角形,找一对锐角相等斜边、直角边对应成比例(5)等腰三角形,找顶角相等一对底角相等底和腰对应成比例基础知识巩固高频考向探究考点四相似多边形1.定义:两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形,相似多边形对应边的比叫做相似比.2.性质(1)相似多边形的对应角⑪;(2)相似多边形的对应边⑫;(3)相似多边形的周长比⑬相似比,面积比等于⑭.相等成比例等于相似比的平方基础知识巩固高频考向探究考点五图形的位似1.定义:两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行(或在同一直线上),像这样的两个图形叫做位似图形,这点叫做位似中心.基础知识巩固高频考向探究2.基本图形:图20-3基础知识巩固高频考向探究3.性质(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于⑮;(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于⑯点;(3)位似图形对应边⑰(或在同一条直线上);(4)位似图形对应角相等.4.作图步骤(1)确定位似中心;(2)确定原图形中各顶点关于位似中心的对应点;(3)描出新图形.相似比一平行基础知识巩固高频考向探究考点六相似三角形的应用几何图形的证明与计算常见问题证明线段的数量关系,求线段的长度,图形的面积等相似三角形在实际生活中的应用建模思想建立相似三角形模型常见题目类型(1)利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解;(2)计算从底部能直接测量的物体的高度;(3)计算从底部不能直接测量的物体的高度;(4)计算不能直接测量的河的宽度基础知识巩固高频考向探究1.如图20-4,在△ABC中,DE∥BC,若𝐴𝐷𝐷𝐵=23,则𝐴𝐸𝐸𝐶=()A.13B.25C.23D.35题组一必会题对点演练C图20-4基础知识巩固高频考向探究2.[2018·铜仁]已知△ABC∽△DEF,相似比为2,且△ABC的面积为16,则△DEF的面积为()A.32B.8C.4D.16C基础知识巩固高频考向探究3.如图20-5,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()图20-5图20-6基础知识巩固高频考向探究[解析]由正方形的性质可知,∠ACB=180°-45°=135°,选项A,C,D图形中的钝角都不等于135°,故排除选项A,C,D,由勾股定理,得BC=2,AC=2,对应的选项B图形中的边长分别为1和2.∵12=22,且所夹的钝角都等于135°,∴选项B图形中的三角形(阴影部分)与△ABC相似.故选B.[答案]B基础知识巩固高频考向探究4.[2019·眉山]如图20-7,一束光线从点A(4,4)出发,经y轴上的点C反射后,经过点B(1,0),则点C的坐标是()A.0,12B.0,45C.(0,1)D.(0,2)图20-7基础知识巩固高频考向探究[解析]过点A作AD⊥y轴于点D,∵∠ADC=∠COB=90°,∠ACD=∠BCO,∴△OBC∽△DAC,∴𝑂𝐶𝑂𝐵=𝐷𝐶𝐴𝐷,∴𝑂𝐶1=4-𝑂𝐶4,解得OC=45,∴点C0,45,故选B.[答案]B基础知识巩固高频考向探究5.[2019·滨州]在平面直角坐标系中,△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2,4),(-4,0),(0,0).以原点O为位似中心,把这个三角形缩小为原来的12,得到△CDO,则点A的对应点C的坐标是.[解析]点A的对应点C的坐标是-2×12,4×12或-2×-12,4×-12,即(-1,2)或(1,-2).[答案](-1,2)或(1,-2)基础知识巩固高频考向探究【失分点】写比例式时对应关系找错;在比例式的转化中出错;忽视相似三角形中可能存在的不同的对应关系.题组二易错题6.[2019·杭州]如图20-8,在△ABC中,点D,E分别在AB和AC边上,DE∥BC,M为BC边上一点(不与点B,C重合),连接AM交DE于点N,则()A.𝐴𝐷𝐴𝑁=𝐴𝑁𝐴𝐸B.𝐵𝐷𝑀𝑁=𝑀𝑁𝐶𝐸C.𝐷𝑁𝐵𝑀=𝑁𝐸𝑀𝐶D.𝐷𝑁𝑀𝐶=𝑁𝐸𝐵𝑀图20-8基础知识巩固高频考向探究[解析]∵DN∥BM,∴△ADN∽△ABM,∴𝐷𝑁𝐵𝑀=𝐴𝑁𝐴𝑀,∵NE∥MC,∴△ANE∽△AMC,∴𝑁𝐸𝑀𝐶=𝐴𝑁𝐴𝑀,∴𝐷𝑁𝐵𝑀=𝑁𝐸𝑀𝐶.故选C.[答案]C基础知识巩固高频考向探究7.如图20-9,在△ABC中,DE∥BC,过点A作AM⊥BC于点M,交DE于点N,若S△ADE∶S△ABC=4∶9,则AN∶NM的值是()A.4∶9B.3∶2C.9∶4D.2∶1图20-9基础知识巩固高频考向探究[解析]∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∵S△ADE∶S△ABC=4∶9,∴相似比k=23.又∵AM⊥BC,∴AN⊥DE,∴相似比k=𝐴𝑁𝐴𝑀=23,∴AN∶MN=2∶1.故选D.[答案]D基础知识巩固高频考向探究8.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3,4及x,那么x的值()A.只有1个B.可以有2个C.可以有3个D.有无数个基础知识巩固高频考向探究[解析]∵一个直角三角形的两条边长分别是6和8,∴当6和8是直角边长时,斜边长为10,则此直角三角形的三边长分别为6,8,10;当8为斜边长时,两条直角边长为27和6,则此直角三角形的三边长分别为27,6,8,∵另一个直角三角形的边长分别是3和4及x,∴当3和4为直角边长时,斜边长x=5,直角三角形的三边长分别为3,4,5,∴36=48=510,满足这两个直角三角形相似的条件;当3和x为直角边长时,4便是斜边长,则根据勾股定理,得x=7,∴此直角三角形的三边长分别为7,3,4,∴727=36=48,满足这两个直角三角形相似的条件.∴x=5或x=7.∴x的值可以有2个.故选B.[答案]B基础知识巩固高频考向探究9.如图20-10,P为Rt△ABC斜边AB上任意一点(除A,B外),过点P作直线截△ABC,使截得的新三角形与△ABC相似,满足这样条件的直线的作法共有()A.1种B.2种C.3种D.4种图20-10基础知识巩固高频考向探究[答案]C[解析]如图,过点P可作PE∥BC或PE″∥AC,可得相似三角形,过点P还可作PE'⊥AB,则∠E'PA=∠C=90°,∠A=∠A,∴△APE'∽△ACB,∴共有3条.故选C.基础知识巩固高频考向探究例1如图20-11,在△ABC中,DE∥BC,𝐴𝐷𝐷𝐵=12,下列式子正确的是.(只填序号)(1)𝐴𝐷𝐵𝐷=𝐴𝐸𝐸𝐶=12;(2)𝐴𝐸𝐴𝐶=12;(3)𝐷𝐸𝐵𝐶=12;(4)△𝐴𝐷𝐸的周长△𝐴𝐵𝐶的周长=13;(5)△𝐴𝐷𝐸的面积△𝐴𝐵𝐶的面积=13.考向一比例线段图20-11(1)(4)基础知识巩固高频考向探究[2018·嘉兴]如图20-12,直线l1∥l2∥l3,直线AC分别交l1,l2,l3于点A,B,C;直线DF分别交l1,l2,l3于点D,E,F,已知𝐴𝐵𝐴𝐶=13,则𝐸𝐹𝐷𝐸=.[解析]∵𝐴𝐵𝐴𝐶=13,∴𝐵𝐶𝐴𝐵=2.∵l1∥l2∥l3,∴𝐸𝐹𝐷𝐸=𝐵𝐶𝐴𝐵=2.图20-12[答案]2|考向精练|基础知识巩固高频考向探究考向二相似三角形的性质与判定例2[2019·凉山州]如图20-13,∠ABD=∠BCD=90°,DB平分∠ADC,过点B作BM∥CD交AD于M.连接CM交DB于N.(1)求证:BD2=AD·CD;(2)若CD=6,AD=8,求MN的长.图20-13基础知识巩固高频考向探究分析:(1)利用两角分别相等证△DAB∽△DBC,再由相似性质得到结论;解:(1)证明:∵DB平分∠ADC,∴∠ADB=∠BDC.又∵∠ABD=∠BCD=90°,∴△DAB∽△DBC,∴𝐵𝐷𝐶𝐷=𝐴𝐷𝐵𝐷,∴BD2=AD·CD.基础知识巩固高频考向探究例2[2019·凉山州]如图20-13,∠ABD=∠BCD=90°,DB平分∠ADC,过点B作BM∥CD交AD于M.连接CM交DB于N.(2)若CD=6,AD=8,求MN的长.图20-13基础知识巩固高频考向探究分析:(2)先利用相似性质与勾股定理求BD,AB的长,再借助角的关系得到△ABM是等边三角形,求得BM的长,最后利用相似和勾股定理求BC,CM,MN的长.解:(2)由(1)可知:BD2=AD·CD.∵CD=6,AD=8,∴BD=43.又AD=8,∴AB=𝐴𝐷2-𝐵𝐷2=82-(43)2=4,∴AB=12AD,∴∠ADB=30°,∠BDC=∠ADB=30°.又∠ABD=∠BCD=90°,∴∠A=∠DBC=60°.∵BM∥CD,∴∠MBD=∠BDC=30°,∴∠ABM=∠ABD-∠MBD=60°,∴△ABM是等边三角形,故BM=AB=4.基础知识巩固高频考向探究∵△ABD∽△BCD,∴𝐴𝐵𝐵𝐶=𝐷𝐵𝐶𝐷,∴BC=𝐴𝐵×𝐶𝐷𝐷𝐵=4×643=23.∵BM∥CD,∴∠CBM