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第18课时等腰三角形【考情分析】考点2015中考相关题2016中考相关题2017中考相关题2018中考相关题2019中考相关题2019中考预测等腰三角形的性质10题,3分16题,3分9题,3分21题,9分4题,3分★★★★★等腰三角形的判定10题,3分5题,3分9题,3分★★★★线段的垂直平分线16题,3分5题,3分7题,3分★★★★考点2015中考相关题2016中考相关题2017中考相关题2018中考相关题2019中考相关题2019中考预测角平分线的性质与判定23题,11分等边三角形的性质和判定10题,3分24题(1),3分4题,3分★★(续表)基础知识巩固高频考向探究考点一等腰三角形考点聚焦定义有①相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角性质(1)两个底角相等(简称②);(2)顶角平分线、底边上的③、底边上的高相互重合(简称三线合一);(3)是轴对称图形,有④条对称轴判定(1)在△ABC中,AB=AC⇒△ABC是等腰三角形(定义);(2)在△ABC中,∠B=∠C⇒△ABC是等腰三角形两边等边对等角中线1基础知识巩固高频考向探究面积拓展(1)等腰三角形两腰上的高相等(2)等腰三角形两腰上的中线相等(3)等腰三角形两底角的平分线相等(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高(续表)S=12ah,其中a是底边长,h是底边上的高基础知识巩固高频考向探究考点二等边三角形3定义三边都相等的三角形叫做等边三角形性质(1)等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于⑤;(2)等边三角形三条角平分线的交点、三条高的交点、三条中线的交点重合;(3)等边三角形是轴对称图形,有⑥条对称轴判定(1)三条边都相等的三角形是等边三角形(定义);(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形面积60°S=34a2,a是等边三角形的边长基础知识巩固高频考向探究考点三垂直平分线、角平分线名称图形性质及判定垂直平分线若l⊥AB于点O,OA=OB,则AP=BP线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等若PA=PB,OA=OB,则l⊥AB到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上角平分线由∠1=∠2,PE⊥OA,PF⊥OB可得PE=PF角平分线上的点到角两边的距离相等由PE⊥OA,PF⊥OB,PE=PF可得∠1=∠2到角两边距离相等的点在这个角的平分线上基础知识巩固高频考向探究题组一必会题对点演练1.[2018·湖州]如图18-1,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是()A.20°B.35°C.40°D.70°图18-1基础知识巩固高频考向探究[答案]B[解析]∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∠CAD=20°,∴∠CAB=2∠CAD=40°,∠B=∠ACB=12(180°-∠CAB)=70°.∵CE是△ABC的角平分线,∴∠ACE=12∠ACB=35°.故选B.基础知识巩固高频考向探究2.如图18-2,在△ABC中,AB=AC,AE是∠BAC的平分线,点D是AE上的一点,则下列结论错误的是()A.AE⊥BCB.△BED≌△CEDC.△BAD≌△CADD.∠ABD=∠DBE图18-2D基础知识巩固高频考向探究3.[2019·张家界]如图18-3,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,DC=13AD,BD平分∠ABC,则点D到AB的距离等于()A.4B.3C.2D.1图18-3基础知识巩固高频考向探究[答案]C[解析]过点D作DE⊥AB于E,∵AC=8,DC=13AD,∴CD=2,∵BD平分∠ABC,∴DC=DE=2,即点D到AB的距离等于2,故选C.基础知识巩固高频考向探究4.如图18-4,在△ABC中,DM垂直平分AC,交BC于点D,连接AD,若∠C=28°,AB=BD,则∠B的度数为°.图18-4基础知识巩固高频考向探究[答案]68[解析]∵DM垂直平分AC,∴AD=CD,∴∠DAC=∠C=28°,∴∠ADB=∠C+∠DAC=28°+28°=56°.∵AB=BD,∴∠BAD=∠ADB=56°.在△ABD中,∠B=180°-∠BAD-∠ADB=180°-56°-56°=68°.基础知识巩固高频考向探究【失分点】忽视分类讨论或分类讨论不全;分类讨论时忘记考虑三角形的三边关系.题组二易错题5.若等腰三角形的一个角为40°,则它的另外两个角的度数为.6.如果一个等腰三角形的两边长分别为4cm,5cm,那么这个等腰三角形的周长是.100°,40°或70°,70°13cm或14cm基础知识巩固高频考向探究7.[2018·宿迁]若实数m,n满足等式|m-2|+=0,且m,n恰好是等腰三角形ABC的两条边长,则△ABC的周长是.[答案]10[解析]∵|m-2|+𝑛-4=0,∴m-2=0,n-4=0,解得m=2,n=4.当m=2作腰长时,三边长分别为2,2,4,不符合三边关系定理;当n=4作腰长时,三边长分别为2,4,4,符合三边关系定理,周长为2+4+4=10.𝑛-4基础知识巩固高频考向探究8.[2019·齐齐哈尔]等腰三角形ABC中,BD⊥AC,垂足为点D,且BD=12AC,则等腰三角形ABC的底角的度数为.基础知识巩固高频考向探究[答案]15°或45°或75°[解析]分情况讨论:(1)当∠ABC为顶角时,△ABC为等腰直角三角形,如图①,∠C=45°;(2)当∠ABC为底角时,当∠BAC为锐角时,如图②,BD=12AC=12AB,∴∠BAC=30°,则∠ABC=75°;基础知识巩固高频考向探究(3)当∠ABC为底角时,当∠BAC为钝角时,如图③,BD=12AC,∴∠BAD=30°,∠BAC=150°,则∠ABC=15°.所以等腰三角形ABC的底角的度数为45°或75°或15°.基础知识巩固高频考向探究考向一等腰三角形的性质与判定例1(1)[2018·长春]如图18-5,在△ABC中,AB=AC.以点C为圆心,以CB长为半径作圆弧,交AC的延长线于点D,连接BD.若∠A=32°,则∠CDB的大小为°.图18-5[答案](1)37[解析]∵AB=AC,∠A=32°,∴∠ABC=∠ACB=74°.又∵BC=DC,∴∠CDB=12∠ACB=37°.基础知识巩固高频考向探究例1(2)[2017·内江]如图18-6,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为D,DE∥AC.求证:△BDE是等腰三角形.图18-6证明:(2)∵DE∥AC,∴∠1=∠3.∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.∵AD⊥BD,∴∠2+∠B=90°,∠3+∠BDE=90°.∴∠B=∠BDE.∴△BDE是等腰三角形.基础知识巩固高频考向探究【方法点析】等腰三角形的性质为我们探究线段相等或角相等提供了重要的依据,它是沟通题中边角关系的重要桥梁,把边的关系转化成角的关系(如等边对等角,等腰三角形“三线合一”)是等腰三角形性质的本质所在,需要添加辅助线时,一般添加顶角的平分线或底边上的高或底边上的中线.基础知识巩固高频考向探究考向二等腰三角形的动态操作问题例2如图18-7,O为坐标原点,四边形OABC为矩形,A(10,0),C(0,4),D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为__________.图18-7(3,4)或(2,4)或(8,4)基础知识巩固高频考向探究【方法点析】分类讨论防漏解.(1)遇到等腰三角形的问题时,要注意边有腰与底之分,角有底角和顶角之分;(2)遇到高线的问题时,要考虑高在形内和形外两种情况.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|在下列三角形中,若AB=AC,则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是()图18-8[答案]B[解析]A中作∠B的平分线即可;C中过点A作BC的垂线即可;D中以A为顶点,AB为一边在三角形的内部作一个72°的角即可;只有B选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形.故选B.基础知识巩固高频考向探究考向三等边三角形的性质与判定的应用图18-9例3如图18-9①,P为等边三角形ABC的边AB上一点,Q为BC延长线上一点,且PA=CQ,连接PQ交AC边于点D.(1)证明:PD=DQ.(2)如图②,过P作PE⊥AC于点E,若AB=6,求DE的长.基础知识巩固高频考向探究解:(1)证明:如图①,过点P作PF∥BC交AC于点F.∵△ABC是等边三角形,∴△APF也是等边三角形,∴∠AFP=∠BCA=60°,AP=PF=AF=CQ,∴∠DFP=∠DCQ.在△PDF和△QDC中,∠𝑃𝐷𝐹=∠𝑄𝐷𝐶,∠𝐷𝐹𝑃=∠𝐷𝐶𝑄,𝑃𝐹=𝑄𝐶,∴△PDF≌△QDC(AAS),∴PD=DQ.基础知识巩固高频考向探究例3如图18-9①,P为等边三角形ABC的边AB上一点,Q为BC延长线上一点,且PA=CQ,连接PQ交AC边于点D.(2)如图②,过P作PE⊥AC于点E,若AB=6,求DE的长.图18-9基础知识巩固高频考向探究解:(2)如图②,过点P作PF∥BC交AC于点F.∵PF∥BC,△ABC是等边三角形,∴△APF是等边三角形,∴AP=PF=AF,∠PFD=∠QCD.∵PE⊥AC,∴AE=EF.∵AP=PF,AP=CQ,∴PF=CQ.在△PFD和△QCD中,∠𝑃𝐷𝐹=∠𝑄𝐷𝐶,∠𝐷𝐹𝑃=∠𝐷𝐶𝑄,𝑃𝐹=𝑄𝐶,∴△PFD≌△QCD(AAS),∴FD=CD.∵AE=EF,∴EF+FD=AE+CD,∴AE+CD=DE=12AC.∵AC=AB=6,∴DE=3.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·鄂尔多斯4题]如图18-10,在正方形ABCD的外侧作等边三角形ABE,则∠BED为()A.15°B.35°C.45°D.55°图18-10C基础知识巩固高频考向探究2.[2019·天水]如图18-11,等边三角形OAB的边长为2,则点B的坐标为()A.(1,1)B.(1,3)C.(3,1)D.(3,3)图18-11B基础知识巩固高频考向探究3.如图18-12是两块完全一样的含30°角的直角三角板,将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动,使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C.已知AC=5,则这两块直角三角板顶点A,A'之间的距离等于.图18-12基础知识巩固高频考向探究[答案]2.5[解析]如图,连接AA'.∵点M是线段AC,线段A'C'的中点,AC=5,∴AM=MC=A'M=MC'=2.5.∵∠MA'C=30°,∴∠MCA'=∠MA'C=30°,∴∠MCB'=180°-30°=150°,∴∠C'MC=360°-(∠MCB'+∠B'+∠C')=360°-(150°+60°+90°)=60°,∴∠AMA'=∠C'MC=60°,∴△AA'M是等边三角形,∴AA'=AM=2.5.基础知识巩固高频考向探究考向四垂直平分线和角平分线例4[2019·青岛]如图18-13,BD是△ABC的角平分线,AE⊥BD,垂足为F.若∠ABC=35°,∠C=50°,则∠CDE的度数为()A.35°B.40°C.45°D.50°图18-13[答案]C[解析]因为BD平分∠ABC,AE⊥BD,所以△ABF≌△EBF,所以BD是线段AE的垂直平分线,所以AD=ED,所以∠BAD=∠BED=180°-35°-50°=95°,所以∠CDE=95°-∠C=95°-50°=45°,故选C.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·梧州]如图18-14,DE是△ABC的边AB的垂直平分线,D为垂足,DE交AC于点E,且AC=8,BC=5,则△BEC的周长是()A.12B.13C.14D.15图18-14[答案]B[解析]∵DE是