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第16课时三角形及其性质【考情分析】考点2015中考相关题2016中考相关题2017中考相关题2018中考相关题2019中考相关题2020中考预测三角形的概念及分类★★三角形中的重要线段6题,3分14题,3分21题,9分24题,12分16题,3分★★★★★三角形的三边关系9题,3分★★★考点2015中考相关题2016中考相关题2017中考相关题2018中考相关题2019中考相关题2020中考预测三角形的内角和定理及推论7题,3分7题,3分★★★★★三角形的外角定理及推论4题,3分5题,3分★★★★★(续表)基础知识巩固高频考向探究考点一三角形的分类考点聚焦1.按角分:三角形直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形2.按边分:三角形三边都不相等的三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形基础知识巩固高频考向探究考点二三角形边和角的性质1.三边关系:三角形两边之和①第三边,两边之差②第三边.大于小于【温馨提示】判断给定的三条线段能否组成三角形,只要判断两条较短线段的和是否大于最长线段即可.基础知识巩固高频考向探究2.三角形内角、外角(1)内角和定理:三角形三个内角的和等于③.(2)内外角关系:a.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的④;b.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.3.边角关系:在同一个三角形中,等边对等角,等角对等边,大边对大角,小边对小角.180°和基础知识巩固高频考向探究∠1=⑧=12∠BAC考点三与三角形有关的重要线段或直线名称图形性质重要结论中线BD=⑤=⑥BC三角形的三条中线的交点在三角形的⑦部,中线将三角形分成两个面积相等的三角形角平分线三角形的三条角平分线的交点在三角形的⑨部,这个点称为内心DC内∠2𝟏𝟐内基础知识巩固高频考向探究名称图形性质重要结论高线AD⊥⑩,即∠ADB=⑪=90°⑫三角形的三条高的交点在三角形的内部;⑬三角形的三条高的交点是直角顶点;⑭三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部,这个点称为垂心(续表)锐角BC∠ADC直角钝角基础知识巩固高频考向探究名称图形性质重要结论中位线⑮∥BC且DE=⑯BC中位线所截得的三角形与原三角形相似,其相似比为1∶2,面积比为1∶4(续表)DE𝟏𝟐基础知识巩固高频考向探究题组一必会题对点演练1.下列长度的三根小木棒能构成三角形的是()A.2cm,3cm,5cmB.7cm,4cm,2cmC.3cm,4cm,8cmD.3cm,3cm,4cmD基础知识巩固高频考向探究2.在△ABC中,已知∠A=40°,∠B=50°,则此三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判断B基础知识巩固高频考向探究3.[2018·广西]如图16-1,∠ACD是△ABC的外角,CE平分∠ACD,若∠A=60°,∠B=40°,则∠ECD等于()A.40°B.45°C.50°D.55°C图16-1基础知识巩固高频考向探究题组二易错题【失分点】忽视三角形三边关系的特殊性;不能正确地判断三角形中的重要线段.4.下列四个图形中,线段BE是△ABC的高的是()图16-2D基础知识巩固高频考向探究5.[2018·泰州]已知三角形两边的长分别为1,5,第三边长为整数,则第三边的长为.[答案]5[解析]根据三角形的三边关系,得6第三边的长4.因为第三条边的长为整数,所以第三边的长是5.基础知识巩固高频考向探究6.从△ABC顶点A作高线AD和角平分线AE,若AD与AE的夹角为15°,且∠B=50°,则∠C=.基础知识巩固高频考向探究[答案]20°或80°[解析]当∠B∠C时,如图①,∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°.∵∠B=50°,∴∠BAD=40°.∵∠DAE=15°,∴∠BAE=55°,∴∠BAC=110°,∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-50°-110°=20°.基础知识巩固高频考向探究当∠B∠C时,如图②,∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∵∠B=50°,∴∠BAD=40°,∵∠DAE=15°,∴∠BAE=∠EAC=25°,∴∠DAC=10°,∴∠C=90°-∠DAC=80°.综上所述,∠C=20°或80°.基础知识巩固高频考向探究考向一三角形三边的关系例1现有3cm,4cm,7cm,9cm长的四根木棒,任取其中三根组成一个三角形,那么可以组成的三角形的个数是()A.1B.2C.3D.4[答案]B[解析]四根木棒的所有组合:3cm,4cm,7cm和3cm,4cm,9cm和3cm,7cm,9cm和4cm,7cm,9cm,只有长度分别为3cm,7cm,9cm和4cm,7cm,9cm的三根能组成三角形.故选B.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·金华]若长度分别为a,3,5的三条线段能组成一个三角形,则a的值可以是()A.1B.2C.3D.8C基础知识巩固高频考向探究2.[2019·扬州]已知n是正整数,若一个三角形的三边长分别是n+2,n+8,3n,则满足条件的n的值有()A.4个B.5个C.6个D.7个基础知识巩固高频考向探究[答案]D[解析]①若n+2n+8≤3n,则𝑛+2+𝑛+83𝑛,𝑛+8≤3𝑛,解得𝑛10,𝑛≥4,即4≤n10,正整数有6个:4,5,6,7,8,9;②若n+23n≤n+8,则𝑛+2+3𝑛𝑛+8,3𝑛≤𝑛+8,解得𝑛2,𝑛≤4,即2n≤4,正整数有2个:3和4;③若3n≤n+2n+8,则3𝑛+𝑛+2𝑛+8,3𝑛≤𝑛+2,解得𝑛2,𝑛≤1,无解.综上所述,满足条件的n的值有7个,故选D.基础知识巩固高频考向探究考向二三角形内角与外角的运用例2(1)在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线BE,CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC=.(2)在△ABC中,∠ABC的平分线BE与∠ACB的外角平分线CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC=.(3)在△ABC中,∠ABC的外角平分线BE与∠ACB的外角平分线CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC=.基础知识巩固高频考向探究[答案](1)120°[解析](1)∵∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°.∵BE,CD分别是∠ABC,∠ACB的平分线,∴∠CBE=12∠ABC,∠BCD=12∠BCA,∴∠CBE+∠BCD=12(∠ABC+∠BCA)=60°,∴∠BFC=180°-60°=120°.基础知识巩固高频考向探究例2(2)在△ABC中,∠ABC的平分线BE与∠ACB的外角平分线CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC=.[答案](2)30°[解析](2)∠BFC=12∠A=12×60°=30°.基础知识巩固高频考向探究例2(3)在△ABC中,∠ABC的外角平分线BE与∠ACB的外角平分线CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC=.[答案](3)60°[解析](3)∠BFC=90°-12∠A=90°-12×60°=60°.基础知识巩固高频考向探究【方法点析】求较复杂图形中的角度时,经常把需要求的角度与已知角度通过等量代换等方法转化为同一个三角形的内角或外角,再利用三角形的内角和定理及推论解决问题.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·凉山州]如图16-3,BD∥EF,AE与BD交于点C,∠B=30°,∠A=75°,则∠E的度数为()A.135°B.125°C.115°D.105°图16-3基础知识巩固高频考向探究[答案]D[解析]∵∠ACD=∠A+∠B=30°+75°=105°,BD∥EF,∴∠E=∠ACD=105°,故选D.基础知识巩固高频考向探究2.[2018·昆明]在△AOC中,OB交AC于点D,量角器的摆放如图16-4,则∠CDO的度数为()A.90°B.95°C.100°D.120°[答案]B[解析]∵CO=AO,∠AOC=130°,∴∠CAO=25°.又∵∠AOB=70°,∴∠CDO=∠CAO+∠AOB=25°+70°=95°.故选B.图16-4基础知识巩固高频考向探究考向三三角形中的重要线段例3如图16-5,在△ABC中,AB=5,AC=3,AD,AE分别为△ABC的中线和角平分线,过点C作CH⊥AE于点H,并延长交AB于点F,连接DH,则线段DH的长为.图16-5基础知识巩固高频考向探究[答案]1[解析]∵AE为△ABC的角平分线,CH⊥AE,∴△ACF是等腰三角形,∴AF=AC,HF=CH.∵AC=3,∴AF=AC=3.∵AD为△ABC的中线,∴DH是△BCF的中位线,∴DH=12BF.∵AB=5,∴BF=AB-AF=5-3=2,∴DH=1.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·长沙]如图16-6,要测量池塘两岸相对的A,B两点间的距离,可以在池塘外选一点C,连接AC,BC,分别取AC,BC的中点D,E,测得DE=50m,则AB的长是m.图16-6100基础知识巩固高频考向探究2.[2018·黄石]如图16-7,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE,BF分别是∠BAC,∠ABC的平分线,∠BAC=50°,∠ABC=60°,则∠EAD+∠ACD=()A.75°B.80°C.85°D.90°图16-7基础知识巩固高频考向探究[答案]A[解析]∵AD是BC边上的高,∠ABC=60°,∴∠BAD=30°.∵∠BAC=50°,AE平分∠BAC,∴∠BAE=25°,∴∠DAE=30°-25°=5°.∵在△ABC中,∠C=180°-∠ABC-∠BAC=70°,∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°.故选A.