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第13课时二次函数的简单综合【考情分析】考点2015中考相关题2016中考相关题2017中考相关题2018中考相关题2019中考相关题2020中考预测二次函数综合题24题,12分24题,12分23题,11分23题,11分24题,12分★★★★★课本涉及内容:人教版九上第二十二章P27-P57.基础知识巩固高频考向探究考点一常见两条线段的和差最值问题考点聚焦问题图例方法数学原理1如图,点P为定点,点Q为直线m上一动点,求PQ的最小值过P作PQ⊥m于Q,此时PQ最小在直线外一点与直线上各点连线中,垂线段最短基础知识巩固高频考向探究(续表)问题图例方法数学原理2如图,点P是☉O外一定点,点Q在☉O上运动,求PQ的最大值与最小值过P,O的直线与☉O交于Q1,Q2,则PQ1最小,PQ2最大3如图,已知两定点A,B,动点P在直线m上,求PA+PB的最小值(△ABP的最小周长)作点A关于直线m的对称点A',当A',P,B三点共线时PA+PB最小三角形任意两边之和大于第三边基础知识巩固高频考向探究(续表)问题图例方法数学原理4如图,已知A,B是两个定点,动点P在直线m上,求|PB-PA|的最大值作A关于直线m的对称点A',当P,A',B三点共线时|PB-PA|最大三角形任意两边之差小于第三边5如图,已知点A,B位于直线m,n的内侧,在直线n,m上分别求点D,E,使得围成的四边形ADEB的周长最小作点A关于直线n的对称点A',点B关于直线m的对称点B',当A',D,E,B'共线时,四边形ADEB的周长最小两点之间,线段最短基础知识巩固高频考向探究(续表)问题图例方法数学原理6如图,已知定点A,在直线m,n上分别求点P,Q,使得△APQ的周长最小(PA+PQ+QA最小)作两次对称点,当A',Q,P,A″在一条直线上时,△APQ的周长最小两点之间,线段最短基础知识巩固高频考向探究(续表)问题图例方法数学原理7如图,已知A,B是两个定点,线段PQ在直线m上运动,且PQ=a(a为定值),求PA+PQ+QB(或四边形ABQP的周长)的最小值将点A沿PQ方向平移a个单位长度得点A',作点A'关于直线m的对称点A″,当点A″,Q,B共线时PA+PQ+QB最小平行四边形的性质,三角形任意两边之和大于第三边基础知识巩固高频考向探究(续表)问题图例方法数学原理8如图,已知A是直线BC外一点,A,B为定点,P在BC上运动,求AP+nPB(0n1)的最小值在B处构造直线l,使l与BC的夹角为α,且满足sinα=n,过P向l作垂线,垂足为Q,则PQ=nPB,过点A向直线l作垂线,分别交BC,l于Pmin,Qmin两点,于是AP+nPB=AP+PQ≥AQmin在直线外一点与直线上各点的连线中,垂线段最短基础知识巩固高频考向探究考点二常见面积问题题型作平行线连接原点利用相似比例图解题策略数形结合、分类讨论、转化等数学思想基础知识巩固高频考向探究题组必会题对点演练1.如图13-1,已知二次函数y=23(x+3)(x-1)的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,顶点坐标为D.则△ABC与△ABD的面积之比是()A.23B.34C.45D.78基础知识巩固高频考向探究[答案]B[解析]令y=23(x+3)(x-1)=0,解得x1=-3,x2=1,∴AB=4,∴A点坐标为(-3,0),B点坐标为(1,0),∵y=23(x+3)(x-1),∴y=23x2+43x-2=23(x+1)2-83,∴C点坐标为(0,-2),D点坐标为-1,-83,∵S△ABC=12×AB×OC=12×4×2=4,S△ABD=12×4×83=163,∴S△ABC∶S△ABD=4∶163=34.故选B.基础知识巩固高频考向探究2.[2019·乐山]如图13-2,抛物线y=14x2-4与x轴交于A,B两点,P是以点C(0,3)为圆心,2为半径的圆上的动点,Q是线段PA的中点,连接OQ,则线段OQ的最大值是()A.3B.412C.72D.4图13-2基础知识巩固高频考向探究[答案]C[解析]连接PB,令y=14x2-4=0,得x=±4,故A(-4,0),B(4,0).∵O是AB的中点,Q是线段PA的中点,∴OQ=12PB.点B是圆C外一点,当PB过圆心C时,PB最大,OQ也最大,此时OC=3,OB=4,由勾股定理可得BC=5,∴PB=BC+PC=5+2=7,OQ=12PB=72,故选C.基础知识巩固高频考向探究3.[2019·凉山州]如图13-3,正方形ABCD中,AB=12,AE=14AB,点P在BC上运动(不与B,C重合),过点P作PQ⊥EP,交CD于点Q,则CQ的最大值为.图13-3基础知识巩固高频考向探究[答案]4[解析]在正方形ABCD中,∵AB=12,AE=14AB=3,∴BC=AB=12,BE=9.设BP=x,则CP=12-x.∵PQ⊥EP,∴∠EPQ=∠B=∠C=90°,∴∠BEP+∠BPE=∠CPQ+∠BPE=90°,∴∠BEP=∠CPQ,∴△EBP∽△PCQ,∴𝐶𝑄𝐵𝑃=𝑃𝐶𝐵𝐸,∴𝐶𝑄𝑥=12-𝑥9,整理得CQ=-19(x-6)2+4,∴当x=6时,CQ取得最大值为4.故答案为4.基础知识巩固高频考向探究考向一最值问题例1如图13-4①,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-2,0),B(4,0),与y轴交于点C(0,3).(1)如图①,求二次函数y=ax2+bx+c和直线CB的解析式.图13-4基础知识巩固高频考向探究(2)如图②,若点P是线段BC上一动点,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点D,当点P在什么位置时,线段PD有最大值?并求此时点P的坐标.图13-4基础知识巩固高频考向探究(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M,使MC+OM的值最小?若存在,请求出此时点M的坐标及MC+OM的最小值.(4)若抛物线的顶点为N,在x轴上是否存在一点S,使得SN-SC的值最大?若存在,求出S的坐标;若不存在,请说明理由.基础知识巩固高频考向探究(5)如图③,若点P是线段BC上一动点,作PD平行于y轴,交抛物线于点D.设点P的横坐标为m,当点P到y轴的距离等于线段DP的长时,求m的值.图13-4基础知识巩固高频考向探究(6)若E为x轴上任意一点,F为y轴上任意一点,在(5)的条件下,四边形DFEP的周长是否存在最小值?若存在,请在图④中作图确定点E,F的位置(不要求尺规作图,但要保留作图痕迹),并直接写出这个四边形周长的最小值;若不存在,请说明理由.图13-4基础知识巩固高频考向探究解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4).将C(0,3)代入,得3=a(0+2)(0-4),解得a=-38.∴抛物线的解析式为y=-38(x+2)(x-4),即y=-38x2+34x+3.设直线BC的解析式为y=kx+b'.将B,C两点的坐标代入,得𝑏'=3,4𝑘+𝑏'=0,解得𝑘=-34,𝑏'=3.∴直线BC的解析式为y=-34x+3.基础知识巩固高频考向探究例1如图13-4①,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-2,0),B(4,0),与y轴交于点C(0,3).(2)如图②,若点P是线段BC上一动点,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点D,当点P在什么位置时,线段PD有最大值?并求此时点P的坐标.图13-4基础知识巩固高频考向探究解:(2)设点P的坐标为a',-34a'+3,则点D的坐标为a',-38a'2+34a'+3.所以DP=-38a'2+34a'+3--34a'+3=-38a'2+32a'.当a'=-322×(-38)=2时,线段DP有最大值,此时点P的坐标为2,32.基础知识巩固高频考向探究例1如图13-4①,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-2,0),B(4,0),与y轴交于点C(0,3).(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M,使MC+OM的值最小?若存在,请求出此时点M的坐标及MC+OM的最小值.基础知识巩固高频考向探究解:(3)如图①,易求抛物线的对称轴为直线x=1.作点C关于抛物线对称轴的对称点C',连接C'O,交对称轴于点M,则点M即为所求.根据抛物线的对称性知,点C'的坐标为(2,3).设直线OC'的解析式为y=k1x.将点C'的坐标(2,3)代入,得k1=32,所以OC'的解析式为y=32x.因为点M在抛物线的对称轴上,所以点M的坐标为1,32,此时MC+OM的值就是OC'的长.由勾股定理,可得OC'=22+32=13,即MC+OM的最小值为13.基础知识巩固高频考向探究例1如图13-4①,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-2,0),B(4,0),与y轴交于点C(0,3).(4)若抛物线的顶点为N,在x轴上是否存在一点S,使得SN-SC的值最大?若存在,求出S的坐标;若不存在,请说明理由.基础知识巩固高频考向探究解:(4)易求N点坐标为1,278.要使SN-SC的值最大,则需分两种情况讨论:①S,N,C三点不共线时构成三角形,则SN-SCNC;②当三点共线时,SN-SC=NC,从而得出当点S在NC的延长线上时SN-SC的值最大,求出NC的解析式后,再求出直线NC与x轴的交点坐标即可.由题意可得NC的解析式为y=38x+3,当y=0时,x=-8.所以S(-8,0).基础知识巩固高频考向探究例1如图13-4①,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-2,0),B(4,0),与y轴交于点C(0,3).(5)如图③,若点P是线段BC上一动点,作PD平行于y轴,交抛物线于点D.设点P的横坐标为m,当点P到y轴的距离等于线段DP的长时,求m的值.图13-4基础知识巩固高频考向探究解:(5)∵点P的横坐标为m,点P在线段BC上,∴点P的纵坐标为-34m+3.∵PD平行于y轴,交抛物线于点D,∴点D的纵坐标为-38m2+34m+3.∴DP=-38m2+34m+3--34m+3=-38m2+32m.∵点P到y轴的距离等于线段DP的长,∴-38m2+32m=m,解得m1=43,m2=0(不合题意,舍去).∴m的值为43.基础知识巩固高频考向探究例1如图13-4①,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-2,0),B(4,0),与y轴交于点C(0,3).(6)若E为x轴上任意一点,F为y轴上任意一点,在(5)的条件下,四边形DFEP的周长是否存在最小值?若存在,请在图④中作图确定点E,F的位置(不要求尺规作图,但要保留作图痕迹),并直接写出这个四边形周长的最小值;若不存在,请说明理由.图13-4基础知识巩固高频考向探究解:(6)如图②,作点D关于y轴的对称点D',作点P关于x轴的对称点P',连接D'P',交x轴于点E,交y轴于点F,此时四边形DFEP的周长最小.根据对称性知,D'F=DF,EP'=EP,四边形DFEP的周长=D'P'+DP.∵m的值为43,∴D43,103,P43,2.∴D'-43,103,P'43,-2,∴D'D=83,P'P=4.∵D'D⊥P'P,∴D'P'=𝐷𝐷'2+𝐷𝑃'2=832+43+42=835.∴四边形DFEP的周长的最小值=835+43.基础知识巩固高频考向探究考向二面积问题例2[2019·永州改编]如图13-5,已知抛物线经过A(-3,0),B(0,3)两点,且其对称轴为直线x=-1,顶点为C.(1)求此抛物线的解析式;(2)求△ABC的面积;(3)若点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A,点B),求△PAB的面积的最大值,并求出此时点P的坐标;(4)若点Q是抛物线上的点(不与点C重合),横坐标为m,且S△ABQ=S△ABC,求m的值.图13-5基础知识巩固高频考向探究解:(1)依题由抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点为(1,0),∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)·(x+3),将B(0,3)代入得:3=-3a,∴a=-1,∴抛物线的解析式为:y=-x2-2x+3.基础知识巩固高频考向探究例2[2019·永州改