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第12课时二次函数的图象与性质【考情分析】考点2015中考相关题2016中考相关题2017中考相关题2018中考相关题2019中考相关题2020中考预测二次函数的概念★★二次函数的图象与性质10题,3分★★★★★用待定系数法求二次函数的解析式24题(1),3分24题(1),3分23题(1),3分23题(1),3分24题(1),3分★★★★★二次函数的图象特征与a,b,c之间的关系★★(续表)考点2015中考相关题2016中考相关题2017中考相关题2018中考相关题2019中考相关题2020中考预测抛物线的平移23题(3),4分★★★★★二次函数与一元二次方程★★★★★课本涉及内容:人教版九上第二十二章P27-P57.基础知识巩固高频考向探究考点一二次函数的概念考点聚焦一般地,形如①(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.【温馨提示】函数y=ax2+bx+c未必是二次函数,当②时,y=ax2+bx+c是二次函数.y=ax2+bx+ca≠0基础知识巩固高频考向探究考点二二次函数的图象与性质函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)a0a0图象开口方向开口③,并向上无限延伸开口④,并向下无限延伸对称轴直线⑤向下向上x=-𝒃𝟐𝒂基础知识巩固高频考向探究(续表)函数a0a0顶点坐标⑥增减性在对称轴的左侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑦;在对称轴的右侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑧,简记为“左减右增”-𝒃𝟐𝒂,𝟒𝒂𝒄-𝒃𝟐𝟒𝒂在对称轴的左侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑨;在对称轴的右侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑩,简记为“左增右减”增大减小增大减小基础知识巩固高频考向探究(续表)函数a0a0最值二次项系数a的特性的大小决定抛物线的开口大小,|a|越大,抛物线的开口越小;|a|越小,抛物线的开口越大常数项c的意义c是抛物线与y轴交点的纵坐标,即x=0时,y=c抛物线有最低点,当x=-b2a时,y有最⑪值,y最小值=4ac-b24a抛物线有最高点,当x=-b2a时,y有最⑫值,y最大值=4ac-b24a小大基础知识巩固高频考向探究考点三二次函数的图象与系数的关系项目字母y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)字母的符号图象的特征aa0开口向⑬a0开口向⑭bb=0对称轴为⑮轴ab0(b与a同号)对称轴在y轴⑯侧ab0(b与a异号)对称轴在y轴⑰侧上下y左右基础知识巩固高频考向探究(续表)项目字母y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)字母的符号图象的特征cc=0经过点⑱c0与y轴⑲相交c0与y轴⑳相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点(顶点)b2-4ac0与x轴有㉑个不同的交点b2-4ac0与x轴没有交点(0,0)正半轴负半轴两基础知识巩固高频考向探究(续表)项目字母y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)字母的符号特殊关系当x=1时,y=a+b+c当x=-1时,y=㉒若a+b+c0,则当x=1时,y0若a-b+c0,则当x=㉓时,y0-1a-b+c基础知识巩固高频考向探究考点四二次函数图象的画法二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是以-𝑏2𝑎,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎为顶点,以直线x=-𝑏2𝑎为对称轴的抛物线.一般用描点法画二次函数的图象,步骤如下:画对称轴→确定顶点位置→确定与x轴,y轴的交点位置→确定与y轴的交点关于对称轴的对称点→用平滑的曲线连接上述各点.基础知识巩固高频考向探究考点五二次函数的表示及解析式的求法1.二次函数的三种表示方法(1)一般式:㉔.(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中二次函数图象的顶点坐标是㉕.(3)两点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其图象与x轴的交点的坐标为㉖.y=ax2+bx+c(a≠0)(h,k)(x1,0),(x2,0)基础知识巩固高频考向探究2.二次函数解析式的确定用待定系数法求二次函数的解析式时,注意解析式的设法,常见情况如下:条件设法顶点在原点y=ax2(a≠0)顶点在y轴上y=ax2+c(a≠0,y轴为对称轴)顶点在x轴上y=a(x-h)2(a≠0,直线x=h是对称轴)抛物线过原点y=ax2+bx(a≠0)顶点(h,k)y=a(x-h)2+k(a≠0)抛物线与x轴的交点为(x1,0),(x2,0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)基础知识巩固高频考向探究考点六二次函数图象的平移将抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)用配方法化成㉗的形式,而任意抛物线y=a(x-h)2+k均可由抛物线y=ax2平移得到,具体平移方法如图12-1:图12-1y=a(x-h)2+k(a≠0)基础知识巩固高频考向探究【温馨提示】确定抛物线平移后的解析式时最好利用顶点式,利用顶点的平移来研究图形的平移.基础知识巩固高频考向探究考点七二次函数与一元二次方程、不等式的关系1.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数判别式b2-4ac的正负方程ax2+bx+c=0的实数根个数2个b2-4ac0两个㉘的实数根1个b2-4ac=0两个㉙的实数根没有b2-4ac0㉚实数根没有相等不相等基础知识巩固高频考向探究2.二次函数与不等式的关系(1)ax2+bx+c0的解集函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方的部分对应的点的横坐标的取值范围.(2)ax2+bx+c0的解集函数y=ax2+bx+c的图象位于㉛的部分对应的点的横坐标的取值范围.x轴下方基础知识巩固高频考向探究题组一必会题对点演练1.[2018·岳阳]抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是()A.(-2,5)B.(-2,-5)C.(2,5)D.(2,-5)2.[2019·重庆B卷]抛物线y=-3x2+6x+2的对称轴是()A.直线x=2B.直线x=-2C.直线x=1D.直线x=-1CC基础知识巩固高频考向探究3.[2019·雅安]在平面直角坐标系中,对于二次函数y=(x-2)2+1,下列说法中错误的是()A.y的最小值为1B.图象顶点坐标为(2,1),对称轴为直线x=2C.当x2时,y的值随x值的增大而增大,当x≥2时,y的值随x值的增大而减小D.它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到C基础知识巩固高频考向探究4.[2019·荆门]抛物线y=-x2+4x-4与坐标轴的交点个数为()A.0B.1C.2D.3[答案]C[解析]当x=0时,y=-x2+4x-4=-4,则抛物线与y轴的交点坐标为(0,-4),当y=0时,-x2+4x-4=0,解得x1=x2=2,抛物线与x轴的交点坐标为(2,0).所以抛物线与坐标轴有2个交点.故选C.基础知识巩固高频考向探究5.[2019·呼和浩特]二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是()D图12-2基础知识巩固高频考向探究题组二易错题【失分点】考虑二次函数的增减性时,要关注自变量的取值及对称轴的位置,因为二次函数的增减性是分区域的.6.[2019·温州]已知二次函数y=x2-4x+2,关于该函数在-1≤x≤3的取值范围内,下列说法正确的是()A.有最大值-1,有最小值-2B.有最大值0,有最小值-1C.有最大值7,有最小值-1D.有最大值7,有最小值-2[答案]D[解析]∵二次函数y=x2-4x+2=(x-2)2-2,∴该函数在-1≤x≤3的取值范围内,当x=2时,y有最小值-2;当x=-1时,y有最大值7.故选D.基础知识巩固高频考向探究7.[2018·潍坊]已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为()A.3或6B.1或6C.1或3D.4或6[答案]B[解析]二次函数y=-(x-h)2,当x=h时,有最大值0,而当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,故h2或h5.当h2,2≤x≤5时,y随x的增大而减小,故当x=2时,y有最大值,此时-(2-h)2=-1,解得:h1=1,h2=3(舍去),此时h=1;当h5,2≤x≤5时,y随x的增大而增大,故当x=5时,y有最大值,此时-(5-h)2=-1,解得:h1=6,h2=4(舍去),此时h=6.综上可知h=1或6,故选B.基础知识巩固高频考向探究考向一二次函数的图象及性质例1已知二次函数y=-12x2+x+4.(1)画出该二次函数的图象.(2)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴.(3)当x取何值时,y随x的增大而增大?当x取何值时,y随x的增大而减小?(4)若点P1(1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)都在该二次函数的图象上,试比较y1,y2,y3的大小关系.解:(1)略.基础知识巩固高频考向探究例1已知二次函数y=-12x2+x+4.(2)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴.解:(2)∵y=-12x2+x+4=-12(x-1)2+92,∴抛物线开口向下,顶点坐标为1,92,对称轴为直线x=1.基础知识巩固高频考向探究例1已知二次函数y=-12x2+x+4.(3)当x取何值时,y随x的增大而增大?当x取何值时,y随x的增大而减小?解:(3)当x1时,y随x的增大而增大;当x≥1时,y随x的增大而减小.基础知识巩固高频考向探究例1已知二次函数y=-12x2+x+4.(4)若点P1(1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)都在该二次函数的图象上,试比较y1,y2,y3的大小关系.解:(4)y1y2y3.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·攀枝花]在同一坐标系中,二次函数y=ax2+bx与一次函数y=bx-a的图象可能是()[答案]C[解析]据参数符号可排除A、D选项,联立两函数解析式所得方程无解,则两函数图象无交点,故选C.图12-3基础知识巩固高频考向探究2.[2019·烟台]已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表:下列结论:①抛物线的开口向上;②抛物线的对称轴为直线x=2;③当0x4时,y0;④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4;⑤若A(x1,2),B(x2,3)是抛物线上两点,则x1x2.其中正确的个数是()A.2B.3C.4D.5x-10234y50-4-30基础知识巩固高频考向探究[答案]B[解析]先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线,由图象可以看出抛物线开口向上,所以结论①正确;由图象(或表格)可以看出抛物线与x轴的两个交点分别为(0,0),(4,0),所以抛物线的对称轴为直线x=2且抛物线与x轴的两个交点间的距离为4,所以结论②和④正确;由图象可以看出当0x4时,y0,所以结论③错误,由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时,对应的点均有两个,若A(x1,2),B(x2,3)是抛物线上两点,既有可能x1x2,也有可能x1x2,所以结论⑤错误.基础知识巩固高频考向探究3.已知二次函数y=-(x-1)2+2,当tx5时,y随x的增大而减小,则实数t的取值范围是.[答案]1≤t5[解析]抛物线的对称轴为直线x=1,因为a=-10,所以抛物线开口向下,所以当x1时,y的值随x值的增大而减小,而tx5时,y随x的增大而减小,所以1≤t5.基础知识巩固高频考向探究考向二二次函数的图象特征与a,b,c之间的关系例2[2019·益阳]已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图12-4所示,下列结论:①ac0,②b-2a0,③b2-4ac0,④a-b+c0,正确的是()A.①②B.①④C.②③D.②④图12-4基础知识巩固高频考向探究[解析]∵抛物线开口向下,且与y轴的正半轴相交,∴a0,c0,∴ac0,故①正确;∵对称轴与x轴的交点在(-1,0),(-2,0)之间,∴-2-𝑏2𝑎-1,∴4ab2a,∴b-2a0,故②正确;∵抛物