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第11课时反比例函数的图象、性质及其应用【考情分析】考点2015中考相关题2016中考相关题2017中考相关题2018中考相关题2019中考相关题2020中考预测反比例函数的图象与性质10题,3分20题,8分15题,3分9题,3分★★★★★反比例函数的实际应用19题,5分19题,8分★★反比例函数与一次函数的综合20题,8分★★★★★课本涉及内容:人教版九下第二十六章P1-P22.基础知识巩固高频考向探究考点一反比例函数的概念考点聚焦【温馨提示】(1)反比例函数中,自变量的取值范围是①;(2)解析式的变式:y=kx-1或xy=k(k≠0).一般地,形如y=𝑘𝑥(k为常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数,其中x是自变量,y是函数.x≠0基础知识巩固高频考向探究考点二反比例函数的图象与性质一般形式k的符号k②0k③0图象所在象限第一、三象限第二、四象限y=kx(k为常数,k≠0),其图象上点的横、纵坐标之积为定值k基础知识巩固高频考向探究(续表)k的符号k②0k③0增减性同一支上,y随x的增大而④;在两支上,第一象限y值大于第三象限y值同一支上,y随x的增大而⑤;在两支上,第二象限y值大于第四象限y值对称性关于直线y=x,y=-x成轴对称关于⑥成中心对称小结(1)反比例函数的图象是双曲线,反比例函数的增减性由系数k决定;(2)反比例函数图象的两支在两个象限内,根据自变量的值比较相应函数值的大小时,应注意象限问题增大减小原点基础知识巩固高频考向探究1.几何意义:过反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)图象上任意一点向两坐标轴作垂线,两条垂线与两坐标轴所围成的矩形的面积为|k|.考点三反比例函数比例系数k的几何意义2.常见的与反比例函数有关的图形面积S矩形OAPB=|k|S△AOP=⑦S△ABC=⑧=⑨S△APP1|𝒌|𝟐|k|2|k|基础知识巩固高频考向探究考点四反比例函数解析式的确定待定系数法几何法题中涉及面积时,考虑用k的几何意义求解(1)设出反比例函数的解析式y=kx(k≠0);(2)找出图象上一点的坐标P(x0,y0);(3)将P(x0,y0)的坐标代入y=kx(k≠0),求出k的值;(4)写出解析式基础知识巩固高频考向探究考点五反比例函数的实际应用利用反比例函数解决实际问题,关键是建立函数模型.建立函数模型的思路主要有两种:(1)已知函数类型,直接设出函数的解析式,根据题目提供的信息求得k的值;(2)题目本身未明确表明变量间的函数关系,此时需通过分析,先确定变量间的关系,再求解析式.基础知识巩固高频考向探究题组一必会题对点演练1.若点(2,-4)在反比例函数y=𝑘𝑥的图象上,则下列各点在此函数图象上的是()A.(2,4)B.(-1,-8)C.(-2,-4)D.(4,-2)D基础知识巩固高频考向探究2.[2018·绥化]已知反比例函数y=3𝑥,下列结论不正确的是()A.其图象经过点(3,1)B.其图象分别位于第一、三象限C.当x0时,y随x的增大而减小D.当x1时,y33.若点A(a,b)在反比例函数y=2𝑥的图象上,则代数式ab-4的值为()A.0B.-2C.2D.-6DB基础知识巩固高频考向探究4.如图11-1,点A在双曲线y=𝑘𝑥上,AB⊥x轴于点B,且S△AOB=2,则k的值是()A.2B.-2C.4D.-4D图11-1基础知识巩固高频考向探究题组二易错题【失分点】判断反比例函数的增减性时,忽略自变量的取值范围;利用函数图象解决不等式问题时,易漏解.5.[2018·日照]已知反比例函数y=-8𝑥,下列结论:①图象必经过(-2,4);②图象在第二、四象限内;③y随x的增大而增大;④当x-1时,则y8.其中错误的结论有()A.3个B.2个C.1个D.0个基础知识巩固高频考向探究[答案]B[解析]将(-2,4)代入y=-8𝑥成立,①正确;k=-80,所以反比例函数的图象在第二、四象限,②正确;双曲线在每一象限内y随x的增大而增大,③错误;当-1x0时,y8,④错误,所以错误的结论有2个,故选B.基础知识巩固高频考向探究6.一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=𝑘2𝑥(k1·k2≠0)的图象如图11-2所示,若y1y2,则x的取值范围是()A.-2x0或x1B.-2x1C.x-2或x1D.x-2或0x1D图11-2基础知识巩固高频考向探究7.反比例函数y=-1𝑥的图象上有两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),若x10x2,则下列结论正确的是()A.y1y20B.y10y2C.y1y20D.y10y2D基础知识巩固高频考向探究考向一反比例函数的图象与性质例1在同一平面直角坐标系中,一次函数y=kx-k与反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)的图象大致是()图11-3基础知识巩固高频考向探究[答案]A[解析]当k0时,一次函数y=kx-k的图象经过第一、三、四象限,反比例函数y=𝑘𝑥的图象经过第一、三象限;(2)当k0时,一次函数y=kx-k的图象经过第一、二、四象限,反比例函数y=𝑘𝑥的图象经过第二、四象限.故选A.基础知识巩固高频考向探究例2已知点A(-1,y1),B(1,y2),C(2,y3)都在反比例函数y=𝑘𝑥(k0)的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是.[答案]y1y3y2[解析]方法一:由题意可知,y1=𝑘-1=-k,y2=𝑘1=k,y3=𝑘2.因为k0,所以-k𝑘2k,即y1y3y2.方法二:反比例函数y=𝑘𝑥(k0)的图象在第一、三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小.因为A(-1,y1)在第三象限,B(1,y2),C(2,y3)在第一象限,所以y10,y20,y30.因为12,所以y2y3,所以𝑦1𝑦3y2.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·仙桃]反比例函数y=-3𝑥,下列说法不正确的是()A.图象经过点(1,-3)B.图象位于第二、四象限C.图象关于直线y=x对称D.y随x的增大而增大[答案]D[解析]当x=1时,y=-3,故A正确;k=-30,所以图象位于第二、四象限,故B正确;反比例函数图象是轴对称图形,既关于y=x对称,也关于y=-x对称,故C正确;讨论反比例函数增减性的前提条件是在同一象限内,故D不正确;故选D.基础知识巩固高频考向探究2.[2019·河北]如图11-4,函数y=1𝑥(𝑥0),-1𝑥(𝑥0)的图象所在坐标系的原点是()A.点MB.点NC.点PD.点Q图11-4基础知识巩固高频考向探究[答案]A[解析]∵函数y=1𝑥(x0)与y=-1𝑥(x0)的图象关于y轴对称,∴直线MP是y轴所在直线,∵两支曲线分别位于一、二象限,∴直线MN是x轴所在直线,∴坐标原点为M.基础知识巩固高频考向探究3.[2019·天津]若点A(-3,y1),B(-2,y2),C(1,y3)都在反比例函数y=-12𝑥的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y2y1y3B.y3y1y2C.y1y2y3D.y3y2y1B基础知识巩固高频考向探究考向二反比例函数中与k有关的问题例3如图11-5,点A的坐标是(2,0),△ABO是等边三角形,点B在第一象限.若反比例函数y=𝑘𝑥的图象经过点B,则k的值是()A.1B.2C.3D.23图11-5基础知识巩固高频考向探究[答案]C[解析]过点B作BC⊥OA于点C.∵点A的坐标是(2,0),∴AO=2.∵△ABO是等边三角形,∴OC=1,BC=3.∴点B的坐标是(1,3).把(1,3)代入y=𝑘𝑥,解得k=3.故选C.基础知识巩固高频考向探究例4(1)如图11-6,A是反比例函数y=𝑘𝑥(x0)图象上的一点,AB垂直于x轴,垂足为B,AC垂直于y轴,垂足为C.若矩形ABOC的面积为5,则k的值为.图11-6基础知识巩固高频考向探究[答案](1)5[解析](1)∵AB垂直于x轴,垂足为B,AC垂直于y轴,垂足为C,∴矩形ABOC的面积=|k|,即|k|=5.又∵函数图象位于第一象限,∴k0,∴k=5.基础知识巩固高频考向探究[解析](2)设点A的坐标为:x,𝑘𝑥,由题意得,12×|x|×𝑘𝑥=4,解得,|k|=8.∵反比例函数y=𝑘𝑥的图象在第四象限,∴k=-8.例4(2)如图11-7,点A在反比例函数y=𝑘𝑥的图象上,AM⊥y轴于点M,P是x轴上的一动点,当△APM的面积是4时,k的值是.图11-7[答案](2)-8基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·黄冈]如图11-8,一直线经过原点O,且与反比例函数y=𝑘𝑥(k0)的图象相交于点A,点B,过点A作AC⊥y轴,垂足为C.连接BC.若△ABC的面积为8,则k=.图11-8基础知识巩固高频考向探究[答案]8[解析]∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A,B两点,∴A,B两点关于原点对称,∴OA=OB,∴△BOC的面积=△AOC的面积=8÷2=4.又∵A是反比例函数y=𝑘𝑥图象上的点,且AC⊥y轴于点C,∴△AOC的面积=12|k|,∴12|k|=4,∵k0,∴k=8.基础知识巩固高频考向探究2.[2017·鄂尔多斯15题]如图11-9,反比例函数y=𝑘𝑥(x0)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点M,分别与AB,BC交于点D,E,若BD=3,OA=4,则k的值为.图11-9基础知识巩固高频考向探究[答案]-4[解析]设D(-4,m),∴|k|=4m,过点M作MF⊥OA于点F,连接OB,由矩形的性质可知:BM=OM,∴FA=FO,∴S△OMF=12S△AMO=14S△ABO=14×12OA·AB=12(3+m),∴12|k|=12(3+m),∴|k|=3+m,∴3+m=4m,∴m=1,∴|k|=4.∵k0,∴k=-4,故答案为-4.基础知识巩固高频考向探究3.[2014·鄂尔多斯15题]如图11-10,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,OC在x轴的负半轴上,OA在y轴的正半轴上,顶点B的坐标为(-6,1).反比例函数y=-2𝑥(x0)的图象与AB交于点M,与BC交于点N,若点P在y轴上,使S△OMP=S四边形OMBN,则点P的坐标为.图11-10基础知识巩固高频考向探究[答案](0,4)或(0,-4)[解析]∵顶点B的坐标为(-6,1),∴BC=1,OC=6,∴S矩形ABCO=6.∵反比例函数y=-2𝑥(x0)的图象过点M,N,∴当y=1时,-2𝑥=1,解得x=-2,则M(-2,1),∴S△ONC=S△OAM=12×|-2|=1,∴S四边形OMBN=6-1-1=4.设P(0,t),∴S△OMP=12×2×|t|=4,解得t=4或t=-4,∴P点坐标为(0,4)或(0,-4).故答案为(0,4)或(0,-4).基础知识巩固高频考向探究考向三反比例函数与一次函数综合例5如图11-11,已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y1=kx+b和反比例函数y2=𝑚𝑥的图象的两个交点.(1)m为,n为,并求一次函数和反比例函数的解析式;(2)观察图象,直接写出方程kx+b-𝑚𝑥=0的解为;(3)求△AOB的面积;(4)观察图象,直接写出不等式kx+b-𝑚𝑥0的解集为;(5)当y1y2时,直接写出x的取值范围为.图11-11基础知识巩固高频考向探究解:(1)∵B(2,-4)在函数y2=𝑚𝑥的图象上,∴m=-8.∴反比例函数的解析式为y2=-8𝑥.∵点A(-4,n)在函数y2=-8𝑥的图象上,∴n=2.∴A(-4,2).∵函数y1=kx+b的图象经过A(-4,2),B(2,-4),∴-4𝑘+𝑏=2,2𝑘+𝑏=-4,解得𝑘=-1,𝑏=-2.∴一次函数的解析式为y1=-x-2.基础知识巩固高频考向探究例5如图11-11,已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y1