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第9课时平面直角坐标系与函数【考情分析】考点2015中考相关题2016中考相关题2017中考相关题2018中考相关题2019中考相关题2020中考预测平面直角坐标系★★★★平面直角坐标系内点的坐标特征20题(2),4分24题(1),3分14题,3分★★★★★点到坐标轴的距离★★平面直角坐标系中平移与对称点的坐标★★(续表)考点2015中考相关题2016中考相关题2017中考相关题2018中考相关题2019中考相关题2020中考预测用坐标表示地理位置★★函数的有关概念及自变量的取值范围11题,3分11题,3分8题,3分★★函数的图象10题,3分10题,3分10题,3分★★课本涉及内容:人教版七下第七章P63-P75,八下第十九章P71-P84.基础知识巩固高频考向探究1.各象限内点的坐标的符号特征(如图9-1):考点聚焦(-,+)图9-1(-,-)(+,-)考点一平面直角坐标系内点的坐标特征基础知识巩固高频考向探究2.坐标轴上的点的特征:(1)点P(x,y)在x轴上⇔y=④;(2)点P(x,y)在y轴上⇔⑤=0;(3)点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上⇔⑥.0xx=y=0【温馨提示】坐标轴上的点不属于任何象限.基础知识巩固高频考向探究3.平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征(1)平行于x轴的直线上的点⇔⑦坐标相同,⑧坐标为不相等的实数.(2)平行于y轴的直线上的点⇔⑨坐标相同,⑩坐标为不相等的实数.4.象限角平分线上点的坐标特征(1)点P(x,y)在第一、三象限的角平分线上⇔x=y;(2)点P(x,y)在第二、四象限的角平分线上⇔⑪.纵横横纵y=-x基础知识巩固高频考向探究5.对称点的坐标特征点P(x,y)关于x轴对称的点P1的坐标为⑫;点P(x,y)关于y轴对称的点P2的坐标为⑬;点P(x,y)关于原点对称的点P3的坐标为⑭.规律可简记为:关于谁对称,谁不变,另一个变号;关于原点对称都变号.(x,-y)(-x,y)(-x,-y)图9-2基础知识巩固高频考向探究6.点平移的坐标特征P(x,y)P'(x-a,y)(或(x+a,y));P(x,y)P″⑮(x,y+b)(或(x,y-b))基础知识巩固高频考向探究考点二点到坐标轴的距离1.点P(x,y)到x轴的距离为⑯;到y轴的距离为|x|;到原点的距离为⑰.2.若P(x1,y1),Q(x2,y2),则PQ=⑱.特别地,PQ∥x轴⇔PQ=⑲;PQ∥y轴⇔PQ=⑳.|y||x1-x2||y1-y2|𝒙𝟐+𝒚𝟐(𝒙𝟏-𝒙𝟐)𝟐+(𝒚𝟏-𝒚𝟐)𝟐基础知识巩固高频考向探究考点三位置的确定1.平面直角坐标系法.2.方向角+距离.基础知识巩固高频考向探究考点四函数基础知识1.函数的概念:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.2.函数的三种表示方法:㉑法、㉒法和㉓法.3.描点法画函数图象的一般步骤:㉔→㉕→㉖.解析式列表图象列表描点连线基础知识巩固高频考向探究4.自变量的取值范围函数表达式的形式自变量的取值范围举例分式型使分母㉗的实数若y=1x,则x≠0二次根式型使被开方数㉘的实数若y=x,则x≥0分式与二次根式结合型使分母不为0且使被开方数大于或等于0的实数若y=xx-1,则x≥0且x≠1不等于0大于或等于0【温馨提示】实际问题中自变量的取值还要符合变量的实际意义.基础知识巩固高频考向探究题组一必会题对点演练1.在平面直角坐标系中,若点P的坐标为(-3,2),则点P所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.[2018·广安]已知点P(1-a,2a+6)在第四象限,则a的取值范围是()A.a-3B.-3a1C.a-3D.a13.[2019·甘肃]已知点P(m+2,2m-4)在x轴上,则点P的坐标是()A.(4,0)B.(0,4)C.(-4,0)D.(0,-4)BAA基础知识巩固高频考向探究4.点A(-2,1)到y轴的距离为()A.-2B.1C.2D.5C5.已知点P(a,b)到x轴的距离为5,到y轴的距离为3,则点P的坐标为.(3,5)或(-3,5)或(-3,-5)或(3,-5)基础知识巩固高频考向探究6.已知点A(3,-2),则:点A关于x轴对称的点的坐标是;点A关于y轴对称的点的坐标是;点A关于原点对称的点的坐标是;把点A先向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度得到的点的坐标是;把点A绕着原点顺时针旋转90°得到的点的坐标为.(3,2)(-3,-2)(-3,2)(1,-5)(-2,-3)基础知识巩固高频考向探究题组二易错题【失分点】求函数自变量取值范围时考虑不全;分段函数图象,不能把每一段函数图象所表示的意义与实际问题相结合,分析不清楚题意出错.7.[2019·岳阳]函数y=𝑥+2𝑥中,自变量x的取值范围是()A.x≠0B.x≥-2C.x0D.x≥-2且x≠0[答案]D[解析]由题意可知:x+2≥0,解得x≥-2,又因为x为分母,故x≠0,所以x≥-2且x≠0,故选D.基础知识巩固高频考向探究8.小明早上从家骑自行车去上学,先走平路到达点A,再走上坡路到达点B,最后走下坡路到达学校.小明骑自行车所走的路程s(单位:千米)与他所用的时间t(单位:分)之间的关系如图9-3,放学后,小明沿原路返回,且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致,有下列说法:①小明家距学校4千米;②小明上学所用的时间为12分钟;③小明上坡的速度是0.5千米/分;④小明放学回家所用的时间为15分钟.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4图9-3基础知识巩固高频考向探究[答案]C[解析]①小明家距学校4千米,正确;②小明上学所用的时间为12分钟,正确;③小明上坡的速度是0.2千米/分,错误;④小明放学回家需走1千米平路,1千米下坡路和2千米上坡路,所用的时间为3+2+10=15(分钟),正确.故选C.基础知识巩固高频考向探究考向一函数的概念及函数自变量的取值范围[答案]D[解析]根据函数的定义可知,对于自变量x的任何值,y都有唯一确定的值与之相对应,故D符合题意.故选D.例1下列各曲线表示y是x的函数的是()图9-4基础知识巩固高频考向探究解:(1)全体实数.(2)x≠-1.(3)x≤3.(4)x≥1且x≠3.例2求下列函数中自变量的取值范围.(1)y=-2x+1;(2)y=3-𝑥𝑥+1;(3)y=3-𝑥;(4)y=𝑥-1𝑥-3.基础知识巩固高频考向探究【方法点析】求函数自变量的取值范围时,一般有三种情况:一是函数解析式为整式形式,自变量的取值为一切实数;二是函数解析式为分式形式,自变量的取值满足使分母不为0;三是函数解析式为二次根式形式,自变量的取值满足使二次根式的被开方数为非负数.当然还有由二次根式和分式组成的“复合”形式,则要注意使函数解析式中的二次根式与分式均要有意义.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2018·鄂尔多斯3题]下列函数中,自变量x的取值范围为x1的是()A.y=𝑥-1B.y=1𝑥-1C.y=1𝑥-1D.y=(x-1)02.[2017·鄂尔多斯11题]函数y=𝑥-2的自变量x的取值范围是.3.[2016·鄂尔多斯11题]函数y=12𝑥-1中的自变量x的取值范围是.Bx≥2x𝟏𝟐基础知识巩固高频考向探究考向二函数图象的判断与分析例3[2019·芜湖无为县期末]如图9-5①,在矩形ABCD中,动点E从点B出发,沿B→A→D→C方向运动至点C处停止,设点E运动的路程为x,△BCE的面积为y,如果y关于x的函数图象如图②所示,则矩形ABCD的周长为()A.8B.10C.14D.16图9-5基础知识巩固高频考向探究[答案]C[解析]当点E在AB段运动时,y=12BC×BE=12BC·x,为一次函数,由题图②知,AB=3,当点E在AD上运动时,y=12×AB×BC,为常数,由图②知,AD=4,故矩形的周长为7×2=14.故选:C.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.数学文化[2019·武汉]如图9-6,“漏壶”是古代的一种计时器,在它内部盛一定量的水,不考虑水量变化对压力的影响,水从壶底小孔均匀漏出,壶内壁有刻度.人们根据壶中水面的位置计算时间,用t表示漏水时间,y表示壶底到水面的高度,下列图象适合表示y与x的对应关系的是()图9-6图9-7基础知识巩固高频考向探究[答案]A[解析]由题意知:开始时,壶内盛一定量的水,所以y的初始位置大于0,可以排除B;由于漏壶漏水的速度不变,所以图中的函数应该是一次函数,可以排除C,D选项.故选A.基础知识巩固高频考向探究2.如图9-8①,已知平行四边形ABCD中,AB=BC,点M从点D出发,沿D→C→A的方向以1cm/s的速度匀速运动到点A,图②是点M运动时,△MAB的面积y(cm2)随时间x(s)变化的图象,则边AB的长为()A.136cmB.13cmC.52cmD.213cm图9-8基础知识巩固高频考向探究[解析]由题图②可知,点M从点D到点C时,△MAB的面积一直是a,∴DC=a,AB=BC=a,S△MAB=a,当点M从点C运动到点A时,S△MAB逐渐减小,直到为0,∴AC=a+13-a=13.连接BD,交AC于点O.∵AB=BC,∴平行四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,∴AO=CO=𝐴𝐶2=132,BO=𝐵𝐶2-𝐶𝑂2=𝑎2-134,∵S△MAB=a,∴12AC·BO=a,即132·𝑎2-134=a,解得a=136或a=-136(舍去).∴边AB的长为136cm.故选:A.[答案]A基础知识巩固高频考向探究考向三平面直角坐标系中点的规律问题例4如图9-9,在平面直角坐标系中,点A0,3,B(-1,0),过点A作AB的垂线交x轴于点A1,过点A1作AA1的垂线交y轴于点A2,过点A2作A1A2的垂线交x轴于点A3,…,按此规律继续作下去,直至得到点A2019为止,则点A2019的坐标为.图9-9基础知识巩固高频考向探究[解析]∵A(0,3),B(-1,0),AB⊥AA1,∴点A1的坐标为(3,0).同理可知,点A2的坐标为(0,-33),点A3的坐标为(-9,0),…,∵2019÷4=504……3,-9=-32,-(32)505=-31010,∴点A2019的坐标为(-31010,0).[答案](-31010,0)基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·娄底]如图9-10,在单位长度为1米的平面直角坐标系中,曲线是由半径为2米,圆心角为120°的𝐴𝐵多次复制并首尾连接而成.现有一点P从A(A为坐标原点)出发,以每秒23π米的速度沿曲线向右运动,则在第2019秒时点P的纵坐标为()A.-2B.-1C.0D.1图9-10基础知识巩固高频考向探究[解析]点P从点A沿弧AB运动到点B用时为120π×2180÷23π=2(秒).如图,设C为弧AB所在圆的圆心,作CD⊥AB于D,与𝐴𝐵交于点E.在Rt△ACD中,∵∠ADC=90°,∠ACD=12∠ACB=60°,∴∠CAD=30°,∴CD=12AC=12×2=1,∴DE=CE-CD=2-1=1,[答案]B基础知识巩固高频考向探究∴第1秒时点P运动到点E,纵坐标为1;第2秒时点P运动到点B,纵坐标为0;第3秒时点P运动到点F,纵坐标为-1;第4秒时点P运动到点G,纵坐标为0;第5秒时点P运动到点H,纵坐标为1;…,∴点P的纵坐标按1,0,-1,0四个数循环,∵2019÷4=504……3,∴第2019秒时点P的纵坐标为是-1.基础知识巩固高频考向探究[答案](0,4)[解析]由题意可知,A1(3,1),A2(0,4),A3(-3,1),A4(0,-2),A5(3,1),A6(0,4),A7(-3,1),A8(0,-2),由点的坐标发现:An的坐标4个一循环,则A2016的坐标与A4的坐标相同,