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提分微课（六）利用“胡不归、阿氏圆”解决“PA+n·PB”型的最值问题“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决“PA+n·PB”(n为常数且n≠1)型的最值问题.两类问题所蕴含的都是数学的转化思想,即将nPB的长度转化为某条具体线段PC的长度,进而根据“垂线段最短或两点之间线段最短”的原理构造最短距离.动点P在直线上运动的可用“胡不归”问题模型,动点P在圆周上运动的可用”阿氏圆”问题模型.类型一“胡不归”问题如图W6-1,已知A是直线BC外一点,A,B为定点,P在BC上运动,求AP+nPB(0n1)的最小值.图W6-1解决方法:在B处构造直线l,使l与BC的夹角为α,且满足sinα=n,过P向l作垂线,垂足为Q,则PQ=nPB,过A向直线l作垂线,分别交BC,l于Pmin,Qmin两点,于是AP+nPB=AP+PQ≥AQmin.1.[2019·长沙]如图W6-2,△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则CD+55BD的最小值是()A.25B.45C.53D.10图W6-2[答案]B[解析]如图,作DH⊥AB于H,CM⊥AB于M.∵BE⊥AC,∴∠AEB=90°,∵tanA=𝐵𝐸𝐴𝐸=2,∴设AE=a,则BE=2a,则有:100=a2+4a2,∴a2=20,∴a=25或-25(舍去),∴BE=2a=45.∵AB=AC,BE⊥AC,CM⊥AB,∴CM=BE=45(等腰三角形两腰上的高相等).∵∠DBH=∠ABE,∠BHD=∠BEA=90°,∴sin∠DBH=sin∠ABE=𝐷𝐻𝐵𝐷=𝐴𝐸𝐴𝐵=55,∴DH=55BD,∴CD+55BD=CD+DH,∵CD+DH≥CM,∴CD+55BD≥45,∴CD+55BD的最小值为45.故选B.2.如图W6-3,四边形ABCD是菱形,AB=4,且∠ABC=60°,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,则AM+12BM的最小值为.图W6-3[答案]23[解析]如图,作AN⊥BC,垂足为N,交BD于M,∵四边形ABCD是菱形且∠ABC=60°,∴∠DBC=30°,sin∠DBC=12=𝑀𝑁𝐵𝑀,∴12BM=MN,∴AM+12BM=AM+MN,∴AM+12BM的最小值为AN.在Rt△ABN中,AN=AB·sin∠ABC=4×32=23.∴AM+12BM的最小值为23.3.如图W6-4,△ABC在平面直角坐标系中,AB=AC,A(0,22),C(1,0),B在x轴上,D为射线AO上一点,一动点P从点A出发,运动路径为A-D-C.点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍,要使整个过程运动时间最少,则点D的坐标为.图W6-4[答案]0,24[解析]设点P在AD上运动速度是v,则在CD上运动速度是𝑣3.t=𝐴𝐷𝑣+𝐶𝐷𝑣3=1𝑣(AD+3CD),若t最小,则AD+3CD最小.又AD+3CD=313AD+CD,即求13AD+CD取最小值时,点D的坐标.作CE⊥AB于E,与直线AD交于D',结合对称性可知ED'=13AD',故D'即为所求.∵S△ABC=12AO·BC=12CE·AB,BC=2OC=2,∴CE=423.易得△BEC∽△COA,∴𝐵𝐸𝐵𝐶=𝐶𝑂𝐴𝐶=13,∴BE=23,易得△OD'C∽△EBC.∴𝐵𝐸𝑂𝐷'=𝐶𝐸𝑂𝐶,∴OD'=23×342=24.∴所求点D的坐标为0,24.4.如图W6-5,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1,0),B(0,-3),C(2,0),其中对称轴与x轴交于点D.若P为y轴上的一个动点,连接PD,则12PB+PD的最小值为.图W6-5[答案]334[解析]满足题意的P点作法为:过D点作DE⊥AB于E点,交OB于点P,由题意易知∠ABO=30°.∴PE=12PB,∴12PB+PD=PE+PD=DE.∵S△ABD=12AD·OB=12AB·DE,∴DE=32×32=334.5.如图W6-6,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2-2x+c的图象与x轴交于A,C两点,点C(3,0),与y轴交于点B(0,-3),若P是x轴上一动点,点D(0,1)在y轴上,连接PD,求2PD+PC的最小值.图W6-6解:作PH⊥BC于H,DH'⊥BC于H',交OC于P',∵OB=OC=3,∠BOC=90°,∴∠PCH=45°.在Rt△PCH中,PH=22PC.∵2PD+PC=2PD+22PC=2(PD+PH),∴当D,P,H共线时,2DP+PC最小,最小值为2DH'.在Rt△DH'B中,∵BD=4,∠DBH'=45°,∴DH'=22BD=22,∴2PD+PC的最小值为2×22=4.6.[2019·徐州二模节选]如图W6-7,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1,0),交y轴于C(0,3),抛物线的顶点为D,对称轴DF经过x轴上的点F(1,0).(1)求二次函数的表达式;(2)对称轴DF与BC交于点M,点P为对称轴DF上一动点,求AP+55PD的最小值及取得最小值时点P的坐标.图W6-7解:(1)∵A(-1,0),抛物线对称轴为直线x=1,∴B(3,0),设二次函数表达式为y=a(x+1)(x-3),代入C(0,3),得-3a=3,∴a=-1,∴二次函数的表达式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4.6.[2019·徐州二模节选]如图W6-7,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1,0),交y轴于C(0,3),抛物线的顶点为D,对称轴DF经过x轴上的点F(1,0).(2)对称轴DF与BC交于点M,点P为对称轴DF上一动点,求AP+55PD的最小值及取得最小值时点P的坐标.图W6-7解:(2)连接BD,作AH⊥BD于H,交DF于点P.在Rt△BDF中,BF=2,DF=4,∴BD=25,∴sin∠BDF=sin∠PDH=𝐵𝐹𝐵𝐷=𝑃𝐻𝑃𝐷=225=55,∴PH=55PD.∴AP+55PD=AP+PH=AH.易证△ABH∽△DBF,∴∠BAH=∠BDF,∴AH=AB·cos∠BAH=4×25=855,PF=AF·tan∠BAH=2×12=1,∴P(1,1).∴AP+55PD的最小值是855,此时点P的坐标为(1,1).类型二“阿氏圆”问题如图W6-8所示,☉O的半径为r,点A,B都在☉O外,P为☉O上的动点,已知r=k·OB.连接PA,PB,求“PA+k·PB”的最小值.图W6-8解决方法:找另一个定点C,使得P在圆周上运动时,总有PC=kPB,这样就可以将问题转化为常见的求线段PA+PC和的最小值问题.如图,在线段OB上截取OC,使OC=kr,则可说明△BPO与△PCO相似,得kPB=PC.则本题求“PA+kPB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值,当A,P,C三点共线,且P在线段AC上时最小.图W6-87.如图W6-9,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,☉C的半径为2,点P是☉C上的一动点,则AP+12PB的最小值为.图W6-9[答案]10[解析]记BC与☉C交于点E.取CE中点D,∵𝐶𝐷𝐶𝑃=12,𝐶𝑃𝐶𝐵=24=12,∴𝐶𝐷𝐶𝑃=𝐶𝑃𝐶𝐵,又∵∠PCD=∠BCP,∴△PCD∽△BCP,∴𝑃𝐷𝑃𝐵=𝐶𝐷𝐶𝑃=12,∴PD=12PB,则AP+12PB的最小值化归于PA+PD的最小值,所以P,D,A三点共线,且P位于线段AD上时最小,最小值为AD=𝐴𝐶2+𝐶𝐷2=32+12=10.8.如图W6-10,点A,B在☉O上,OA=OB=6,且OA⊥OB,点C是OA的中点,点D在OB上,且OD=4,动点P在☉O上,则2PC+PD的最小值为.图W6-10[答案]410[解析]连接OP,在射线OA上截取AE=6.∵𝑂𝐶𝑂𝑃=36=12,𝑂𝑃𝑂𝐸=612=12,∴𝑂𝐶𝑂𝑃=𝑂𝑃𝑂𝐸,又∵∠COP=∠POE,∴△OPC∽△OEP.∴𝑃𝐶𝑃𝐸=𝑂𝐶𝑂𝑃=12,∴PE=2PC.∴2PC+PD=PE+PD,∴当P,D,E三点共线,且P在线段DE上时所求值最小.在Rt△OED中,DE=410,故2PC+PD的最小值为410.9.[2017·兰州]如图W6-11,抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A(-4,-4),B(0,4)两点,直线AC:y=-12x-6交y轴于点C,点E是直线AB上的动点,过点E作EF⊥x轴交AC于点F,交抛物线于点G.(1)求抛物线y=-x2+bx+c的表达式.图W6-11(2)连接GB,EO,当四边形GEOB是平行四边形时,求点G的坐标.(3)①在y轴上存在一点H,连接EH,HF,当点E运动到什么位置时,以A,E,F,H为顶点的四边形是矩形?求出此时点E,H的坐标.②在①的前提下,以点E为圆心,EH长为半径作圆,点M为☉E上一动点,求12AM+CM的最小值.图W6-11解:(1)∵点A(-4,-4),B(0,4)在抛物线y=-x2+bx+c上,∴-16-4𝑏+𝑐=-4,𝑐=4,∴𝑏=-2,𝑐=4,∴抛物线的表达式为y=-x2-2x+4.9.[2017·兰州]如图W6-11,抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A(-4,-4),B(0,4)两点,直线AC:y=-12x-6交y轴于点C,点E是直线AB上的动点,过点E作EF⊥x轴交AC于点F,交抛物线于点G.(2)连接GB,EO,当四边形GEOB是平行四边形时,求点G的坐标.图W6-11解:(2)设直线AB的解析式为y=kx+n,代入A(-4,-4),B(0,4),∴𝑛=4,-4𝑘+𝑛=-4,∴𝑘=2,𝑛=4,∴直线AB的解析式为y=2x+4.设E(m,2m+4),∴G(m,-m2-2m+4),∵四边形GEOB是平行四边形,GE∥OB,∴EG=OB=4,∴-m2-2m+4-2m-4=4,∴m=-2,∴G(-2,4).9.[2017·兰州]如图W6-11,抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A(-4,-4),B(0,4)两点,直线AC:y=-12x-6交y轴于点C,点E是直线AB上的动点,过点E作EF⊥x轴交AC于点F,交抛物线于点G.(3)①在y轴上存在一点H,连接EH,HF,当点E运动到什么位置时,以A,E,F,H为顶点的四边形是矩形?求出此时点E,H的坐标.②在①的前提下,以点E为圆心,EH长为半径作圆,点M为☉E上一动点,求12AM+CM的最小值.图W6-11解:(3)①如图①,由(2)知,直线AB的解析式为y=2x+4,∴设E(a,2a+4),∵直线AC:y=-12x-6,∴Fa,-12a-6,设H(0,t),∵直线AB的解析式为y=2x+4,直线AC:y=-12x-6,∴AB⊥AC,∴EF,AH为对角线,EF=AH,∴12(-4+0)=12(a+a),12(-4+t)=122a+4-12a-6,∴a=-2,t=-1,∴E(-2,0),H(0,-1).②如图②,由①知,E(-2,0),H(0,-1),A(-4,-4),∴EH=5,AE=25,设AE交☉E于G,取EG的中点P,∴PE=52,连接PC交☉E于M,连接EM,∴EM=EH=5,∴𝑃𝐸𝑀𝐸=525=12,∵𝑀𝐸𝐴𝐸=525=12,∴𝑃𝐸𝑀𝐸=𝑀𝐸𝐴𝐸=12,又∵∠PEM=∠MEA,∴△PEM∽△MEA,∴𝑃𝑀𝐴𝑀=𝑀𝐸𝐴𝐸=12,∴PM=12AM,∴12AM+CM=PM+CM≥PC,当P,M,C三点共线,且M在线段PC上时,取最小值,设点P(p,2p+4),∵E(-2,0),∴PE2=(p+2)2+(2p+4)2=5(p+2)2,∵PE=52,∴5(p+2)2=54,∴p=-52或p=-32(由于E(-2,0),所以舍去),∴P-52,-1,∵C(0,-6),∴PC=(-52)2+(-1+6)2=552,∴12