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第27课时与圆有关的计算【考情分析】考点2015中考相关题2016中考相关题2017中考相关题2018中考相关题2019中考相关题2020中考预测正多边形和圆★圆的周长与弧长公式22题,8分15题,3分16题,3分★★★扇形与圆的面积公式13题,3分7题,3分13题,3分★★★★圆锥的全面积与侧面积的计算8题,3分★基础知识巩固高频考向探究边心距r周长Lna面积S每个内角的度数①考点一正多边形和圆的相关计算考点聚焦设正n边形的外接圆半径为R,边长为a,边心距为r.r=𝑅2-(𝑎2)212nar(𝒏-𝟐)×𝟏𝟖𝟎°𝒏基础知识巩固高频考向探究(续表)每个外角的度数②中心角的度数③𝟑𝟔𝟎°𝒏𝟑𝟔𝟎°𝒏基础知识巩固高频考向探究【温馨提示】正六边形的边长等于其外接圆的半径,正三角形的边长等于其外接圆半径的3倍,正方形的边长等于其外接圆半径的2倍.基础知识巩固高频考向探究考点二弧长与扇形面积公式弧长公式若一条弧所对的圆心角是n°,半径是R,则弧长l=④扇形面积公式(1)S扇形=⑤(n是圆心角度数,R是半径);(2)S扇形=12lR(l是弧长,R是半径)𝒏𝛑𝑹𝟏𝟖𝟎𝒏𝛑𝑹𝟐𝟑𝟔𝟎基础知识巩固高频考向探究考点三阴影部分面积的计算1.规则图形的面积,直接利用对应公式计算.2.不规则图形的面积,要将图形的面积转化为可求图形的面积的和或差,常用方法有:(1)割补法;(2)拼凑法;(3)等积转化法;(4)平移法;(5)旋转法.基础知识巩固高频考向探究考点四圆锥的侧面积与全面积图形圆锥简介(1)h是圆锥的高;(2)l是圆锥的母线,其长为侧面展开后所得扇形的⑥;(3)r是底面圆半径;(4)圆锥的侧面展开图是扇形,其弧长等于圆锥底面⑦半径圆的周长基础知识巩固高频考向探究(续表)圆锥的侧面积S侧=⑧圆锥的全面积S全=S侧+S底=πrl+πr2πrl基础知识巩固高频考向探究1.已知扇形的半径为2,圆心角为120°,则此扇形的面积为()A.π3B.2π3C.πD.4π3题组一必会题对点演练D基础知识巩固高频考向探究2.已知扇形的弧长为2π,半径为4,则此扇形的面积为()A.4πB.5πC.6πD.8πA基础知识巩固高频考向探究3.如图27-1,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A'OB',则点A运动的路径𝐴𝐴'的长为()A.πB.2πC.4πD.8πB图27-1基础知识巩固高频考向探究4.如图27-2,点A,B,C在☉O上,若∠BAC=45°,OB=2,则图中阴影部分的面积为()A.π-4B.23π-1C.π-2D.23π-2C图27-2基础知识巩固高频考向探究5.[2018·凉山州]如图27-3,AB与☉O相切于点C,OA=OB,☉O的直径为6cm,AB=63cm,则阴影部分的面积为()A.(93-π)cm2B.(93-2π)cm2C.(93-3π)cm2D.(93-4π)cm2【失分点】混淆圆锥侧面展开图中扇形的面积、弧长、半径、圆心角与圆锥的侧面积、底面周长、半径及母线之间的关系;阴影部分的面积转化错误.题组二易错题图27-3基础知识巩固高频考向探究[解析]如图,连接OC.∵AB与☉O相切于点C,∴OC⊥AB.∵OA=OB,∴AC=BC=12AB=33,∠A=∠B.在Rt△AOC中,tanA=𝑂𝐶𝐴𝐶=333=33,∴∠A=30°,∴∠AOB=120°.∴阴影部分的面积为S△AOB-S扇形=12×63×3-120π×32360=93-3π(cm2).故选C.[答案]C基础知识巩固高频考向探究6.如图27-4,圆锥的底面半径r为6,高h为8,则圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数为.图27-4[解析]设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数为n°.∵圆锥的底面半径r为6,高h为8,∴圆锥的母线长为62+82=10,则𝑛π×10180=2π×6,解得n=216.[答案]216°基础知识巩固高频考向探究考向一正多边形和圆例1已知正六边形的半径为23,则这个正六边形的边长为,边心距为,面积为,中心角的度数为.[解析]如图,在Rt△AOG中,AB=OA=23,∠AOG=30°,∴OG=OA·cos30°=23×32=3,面积为6×12×AB×OG=6×12×23×3=183,中心角为60°.[答案]23318360°基础知识巩固高频考向探究【方法点析】(1)正n边形的半径R、边心距r和边长的一半构成直角三角形.在正n边形中,共有2n个这样的直角三角形;(2)在正n边形中,构造直角三角形或特殊的三角形是常用方法.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|图27-51.[2019·湖州]如图27-5,已知正五边形ABCDE内接于☉O,连接BD,则∠ABD的度数是()A.60°B.70°C.72°D.144°基础知识巩固高频考向探究[解析]∵正五边形ABCDE内接于☉O,∴∠ABC=∠C=(5-2)×180°5=108°,CB=CD.∴∠CBD=∠CDB=180°-108°2=36°.∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=108°-36°=72°.故选C.[答案]C基础知识巩固高频考向探究2.[2019·滨州]若正六边形的内切圆半径为2,则其外接圆的半径为.[解析]如图,连接OE,作OM⊥EF于M,则OE=EF,EM=FM,OM=2,∠EOM=30°,在Rt△OEM中,cos∠EOM=𝑂𝑀𝑂𝐸,∴32=2𝑂𝐸,解得OE=433,即外接圆半径为433.[答案]433基础知识巩固高频考向探究考向二弧长的计算图27-6例2[2019·青岛]如图27-6,线段AB经过☉O的圆心,AC,BD分别与☉O相切于点C,D.若AC=BD=4,∠A=45°,则弧CD的长度为()A.πB.2πC.22πD.4基础知识巩固高频考向探究[答案]B[解析]如图,连接OC,OD.∵AC,BD分别与☉O相切于点C,D,∴AC⊥OC,BD⊥OD,∴∠ACO=∠BDO=90°.∵∠A=45°,∴∠AOC=45°,∴∠A=∠AOC,∴OC=AC=4.∵AC=BD,OC=OD,∴OD=BD,∴∠DOB=∠B=45°,∴∠COD=180°-45°-45°=90°.∴𝑙𝐶𝐷=𝑛π𝑟180=90π×4180=2π.基础知识巩固高频考向探究1.[2019·鄂尔多斯16题]如图27-7,在圆心角为90°的扇形OAB中,OB=2,P为𝐴𝐵上任意一点,过点P作PE⊥OB于点E,设M为△OPE的内心,当点P从点A运动到点B时,则内心M所经过的路径长为.|考向精练|图27-7基础知识巩固高频考向探究[解析]如图,以OB为斜边在OB的左边作等腰直角三角形POB,以P为圆心,PB为半径作☉P,在优弧OB上取一点H,连接HB,HO,BM,MP.∵PE⊥OB,∴∠PEO=90°,∵点M是内心,∴∠OMP=135°,∵OB=OP,∠MOB=∠MOP,OM=OM,∴△OMB≌△OMP(SAS),∴∠OMB=∠OMP=135°,∵∠H=12∠BPO=45°,∴∠H+∠OMB=180°,∴O,M,B,H四点共圆,∴点M的运动轨迹是𝑂𝐵,∴内心M所经过的路径长=90π·2180=22π,故答案为22π.[答案]22π基础知识巩固高频考向探究2.[2018·鄂尔多斯15题]如图27-8是一个边长为4的正方形,长为4的线段PQ的两端在正方形相邻的两边上滑动,且点P沿A→B→C→D滑动到点D处终止,在整个滑动的过程中,PQ的中点R所经过的路线长为.图27-8基础知识巩固高频考向探究[解析]连接BR,当点P在A,B之间运动时,△BPQ是直角三角形,∴BR=12PQ=2,∴点R在以B为圆心,2为半径的四分之一圆上.同理,当点P在B,C之间运动时,点R在以C为圆心,2为半径的四分之一圆上;当点P在C,D之间运动时,点R在以D为圆心,2为半径的四分之一圆上,∴点R经过的路线长为3π.[答案]3π基础知识巩固高频考向探究3.[2017·鄂尔多斯22题]如图27-9,在四边形ABCD中,MA=MC,MB=MD,以AB为直径的☉O过点M且与DC的延长线相切于点E.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若AB=4,求𝐵𝑀的长(结果请保留π).图27-9解:(1)证明:∵MA=MC,MB=MD,∴四边形ABCD是平行四边形.∵AB是☉O的直径,且☉O经过点M,∴∠AMB=90°,即AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形.基础知识巩固高频考向探究3.[2017·鄂尔多斯22题]如图27-9,在四边形ABCD中,MA=MC,MB=MD,以AB为直径的☉O过点M且与DC的延长线相切于点E.(2)若AB=4,求𝐵𝑀的长(结果请保留π).图27-9基础知识巩固高频考向探究解:(2)如图,过点C作CH⊥AB于点H,连接OE.∵四边形ABCD是菱形,且AB=4,∴DE∥AB,BC=AB=4,OA=OB=OE=2.∵☉O与DC相切于点E,∴OE⊥DC,∴CH=OE=2,在Rt△BCH中,由BC=2CH知,∠CBH=30°,∴∠OBM=12∠CBH=15°.∵OM=OB=2,∴∠BOM=150°.∴𝐵𝑀的长为150π×2180=5π3.基础知识巩固高频考向探究4.[2014·鄂尔多斯20题]如图27-10,AB是半圆O的直径,C是半圆O上的一点,BD与过点C的直线互相垂直,垂足为D,BD与半圆O交于点E,且BC平分∠DBA.(1)求证:CD是半圆O的切线.(2)若DC=43,BE=8,求𝐴𝐶的长(结果保留π).图27-10解:(1)证明:如图,连接OC.∵OB=OC,∴∠1=∠2.∵BC平分∠DBA,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴OC∥BD,∵BD⊥CD,∴OC⊥CD.∵C是半圆O上的一点,∴CD是半圆O的切线.基础知识巩固高频考向探究4.[2014·鄂尔多斯20题]如图27-10,AB是半圆O的直径,C是半圆O上的一点,BD与过点C的直线互相垂直,垂足为D,BD与半圆O交于点E,且BC平分∠DBA.(2)若DC=43,BE=8,求𝐴𝐶的长(结果保留π).图27-10基础知识巩固高频考向探究解:(2)过点O作OG⊥BD于G,则∠OGB=90°,BG=12BE=4.∵BD⊥CD,OC⊥CD,∴四边形OCDG是矩形,∴OG=CD=43,∴在Rt△OGB中,OB=𝑂𝐺2+𝐵𝐺2=8,tan∠OBG=𝑂𝐺𝐵𝐺=434=3,∴∠OBG=60°.∵OC∥BD,∴∠AOC=∠OBD=60°.∴𝐴𝐶的长为60π×8180=83π.基础知识巩固高频考向探究考向三扇形面积的计算例3已知扇形的半径为3cm,此扇形的弧长是2πcm,则此扇形的圆心角等于°,扇形的面积是(结果保留π).[答案]1203πcm2[解析]设扇形的圆心角为n°,则𝑛π×3180=2π,解得n=120.扇形的面积为120π×32360=3π(cm2).基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·枣庄]如图27-11,在边长为4的正方形ABCD中,以点B为圆心,AB为半径画弧,交对角线BD于点E,则图中阴影部分的面积是(结果保留π)()A.8-πB.18-πC.8-2πD.8-12π图27-11C基础知识巩固高频考向探究2.[2016·鄂尔多斯7题]如图27-12,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠ABC=2∠D,∠AOB=13∠COB,☉O的半径为3,连接AC交OB于点E,则图中阴影部分的面积是()A.3π4−32B.3π4−32C.3π4−32D.3π4−3图27-12基础知识巩固高频考向探究[答案]C[解析]∵∠ABC=2∠D,∠ABC+∠D=180°,∴∠D=60°,∴∠AOC=2∠D=120°.∵∠AOB+∠COB=∠AOC=120°,∠AOB=13∠COB,∴∠AOB=30°,∠COB=90°.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=45°.∵∠ACB=12∠AOB=15°,∴∠ECO=∠BCO-∠ACB=30°,∴OE=OC·ta