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第25课时圆的有关性质【考情分析】考点2015中考相关题2016中考相关题2017中考相关题2018中考相关题2019中考相关题2020中考预测圆的有关概念13题,3分22题,8分21题,9分9题,3分13题,3分★★★★★垂径定理及其推论9题,3分★★★圆心角、弧、弦之间的关系7题,3分★★★考点2015中考相关题2016中考相关题2017中考相关题2018中考相关题2019中考相关题2020中考预测圆周角定理及其推论22题,8分7题,3分21题,9分16题,3分★★★★圆内接四边形的性质定理7题,3分16题,3分★★★(续表)基础知识巩固高频考向探究考点一圆的有关概念及性质考点聚焦1.圆:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆.其固定的端点O叫做①,线段OA叫做②.2.圆的对称性:圆既是③对称图形,又是④对称图形,圆还具有旋转不变性.3.确定圆的条件:不在⑤点确定一个圆.半径圆心轴中心同一条直线上的三个基础知识巩固高频考向探究概念示例弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.大于半圆的弧叫⑥,小于半圆的弧叫⑦弦连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做⑧如弦AC,直径AB圆心角顶点在圆心的角如∠AOC圆周角顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角如∠ABC4.圆的有关概念优弧劣弧直径如AC(劣弧),ABC(优弧)基础知识巩固高频考向探究考点二圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的⑨相等,所对的⑩也相等示例推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角﹑两条弧或两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量也分别相等弧弦如图,∠AOB=∠COD⇔𝐴𝐵=𝐶𝐷⇔AB=CD基础知识巩固高频考向探究考点三垂径定理及其推论垂径定理垂直于弦的直径⑪,并且平分弦所对的两条弧示例推论(1)平分弦(不是直径)的直径⑫于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的⑬经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧垂直垂直平分线如图,CD⊥AB,AM=BM,𝐴𝐶=𝐵𝐶,𝐴𝐷=𝐵𝐷平分弦基础知识巩固高频考向探究(续表)总结简言之,对于①过圆心、②垂直弦、③平分弦(不是直径)、④平分弦所对的优弧、⑤平分弦所对的劣弧中的任意两条结论成立,那么其他的结论也成立基础知识巩固高频考向探究考点四圆周角定理及其推论圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑭常见图形推论1同弧或等弧所对的圆周角⑮推论2半圆(或直径)所对的圆周角是⑯,90°的圆周角所对的弦是⑰一半相等直径直角基础知识巩固高频考向探究考点五圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角⑱.[拓展]圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角,如图25-1,∠ABE=∠D.图25-1互补基础知识巩固高频考向探究1.如图25-2,在☉O中,点C是𝐴𝐵的中点,∠A=50°,则∠BOC=()A.40°B.45°C.50°D.60°题组一必会题对点演练A图25-2基础知识巩固高频考向探究2.如图25-3,四边形ABCD为☉O的内接四边形,已知∠BOD=100°,则∠BCD的度数为()A.50°B.80°C.100°D.130°图25-3D基础知识巩固高频考向探究3.如图25-4,已知AB是☉O的直径,∠D=40°,则∠CAB的度数为()A.20°B.40°C.50°D.70°图25-4C基础知识巩固高频考向探究4.[2019·镇江]如图25-5,四边形ABCD是半圆的内接四边形,AB是直径,𝐷𝐶=𝐶𝐵.若∠C=110°,则∠ABC的度数等于()A.55°B.60°C.65°D.70°图25-5基础知识巩固高频考向探究[答案]A[解析]连接AC,∵四边形ABCD是半圆的内接四边形,∴∠DAB=180°-∠BCD=70°,∵𝐷𝐶=𝐶𝐵,∴∠CAB=12∠DAB=35°,∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠ABC=90°-∠CAB=55°,故选:A.基础知识巩固高频考向探究【失分点】忽视圆中的一条弦所对的弧有两条,所对的圆周角也有两个;构图时存在多种情况时考虑不全面.题组二易错题5.[2018·通辽]已知☉O的半径为10,圆心O到弦AB的距离为5,则弦AB所对圆周角的度数是()A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°基础知识巩固高频考向探究[答案]D[解析]如图,连接OA,OB.∵OC⊥AB,∴OC=5,OA=OB=10,∴OC=12OA,∴cos∠AOC=12,∴∠AOC=60°,∴∠AOB=120°,∴弦AB所对的圆周角的度数是60°或120°.故选D.基础知识巩固高频考向探究6.[2018·安顺]已知☉O的直径CD=10cm,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长为()A.25cmB.45cmC.25cm或45cmD.23cm或43cm基础知识巩固高频考向探究[答案]C[解析]由题意可知,直径CD=10cm,AB⊥CD,AB=8cm,当点M在线段OC上时,OA=OC=5cm,AM=4cm.∵OA2=AM2+OM2,∴OM=3cm,∴CM=OC-OM=2cm.在Rt△ACM中,由勾股定理,得AC=𝐴𝑀2+𝐶𝑀2=25cm.当点M在线段OD上时,CM=OC+OM=8cm.在Rt△ACM中,由勾股定理,得AC=𝐴𝑀2+𝐶𝑀2=45cm.故AC的长为25cm或45cm.故选C.基础知识巩固高频考向探究7.[2018·孝感]已知☉O的半径为10cm,AB,CD是☉O的两条弦,AB∥CD,AB=16cm,CD=12cm,则弦AB和CD之间的距离是cm.基础知识巩固高频考向探究[答案]2或14[解析]连接OA,OC,过点O作OE⊥AB于E,直线OE交CD于F,∵AB∥CD,∴OF⊥CD.分两种情况:如图①,当弦AB和CD在圆心的同侧时.∵AB=16cm,CD=12cm,∴AE=12AB=8cm,CF=12CD=6cm,∴根据勾股定理,得OE=𝐴𝑂2-𝐴𝐸2=102-82=6(cm),OF=𝐶𝑂2-𝐶𝐹2=102-62=8(cm).∴EF=OF-OE=8-6=2(cm).基础知识巩固高频考向探究如图②,当弦AB和CD在圆心的异侧时.∵AB=16cm,CD=12cm,∴AE=12AB=8cm,CF=12CD=6(cm),∴根据勾股定理,得OE=𝐴𝑂2-𝐴𝐸2=102-82=6(cm),OF=𝐶𝑂2-𝐶𝐹2=102-62=8(cm).∴EF=OE+OF=8+6=14(cm).综上所述,弦AB和CD之间的距离是2cm或14cm.基础知识巩固高频考向探究考向一垂径定理及其推论例1[九上P89习题24.1第8题改编]如图25-6是一个隧道的横截面,它的形状是以点O为圆心的圆的一部分.如果M是☉O中弦CD的中点,EM经过圆心O交☉O于点E,并且CD=4m,EM=6m,则☉O的半径为m.图25-6基础知识巩固高频考向探究[解析]M是☉O中弦CD的中点,根据垂径定理,得EM⊥CD.因为CD=4m,所以CM=12CD=2m.设圆的半径是xm,连接OC,则在Rt△COM中,OC2=CM2+OM2,即x2=22+(6-x)2,解得x=103.[答案]103基础知识巩固高频考向探究【方法点析】圆中涉及线段的计算时,往往要作弦的垂线,连接这条弦的端点与圆心,从而构造直角三角形,利用垂径定理和勾股定理进行计算,多条线段未知时可设未知数列方程求解.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|图25-71.[2017·鄂尔多斯9题]如图25-7,将半圆形纸片折叠,使折痕CD与直径AB平行,𝐶𝐷的中点P落在OP上的点P'处,且OP'=13OP,折痕CD=23,则tan∠COP的值为()A.655B.32C.52D.255基础知识巩固高频考向探究[答案]C[解析]如图,由折叠,得EP'=EP.∵OP'=13OP,∴EP'=EP=OP'.设OP'=x,则OC=3x,OE=2x.∵P是𝐶𝐷的中点,∴OP⊥CD,∴CE=12CD=3.在Rt△OCE中,由勾股定理,得OC2=OE2+CE2,即(3x)2=(2x)2+(3)2,解得x1=-155(舍去),x2=155,∴tan∠COP=𝐶𝐸𝑂𝐸=32×155=52.故选C.基础知识巩固高频考向探究图25-82.[2012·鄂尔多斯8题]如图25-8,☉O的两条弦AB,CD互相垂直,垂足为E,且AB=CD,已知CE=2,ED=8,则☉O的半径是()A.3B.4C.5D.34基础知识巩固高频考向探究[答案]D[解析]如图,过O作OF⊥AB于F,OG⊥CD于G,连接OD,由垂径定理得到F为AB的中点,G为CD的中点,CE=2,ED=8,∴AF=BF,CG=DG=12CD=12(CE+ED)=5,∵∠OFE=∠FEG=∠OGE=90°,∴四边形OGEF为矩形,又∵AB=CD,∴OF=OG,∴四边形OGEF为正方形,∴EG=OG=CG-CE=5-2=3,在Rt△ODG中,根据勾股定理得:OD=𝑂𝐺2+𝐺𝐷2=34.故选D.基础知识巩固高频考向探究考向二圆周角定理及其推论图25-9例2如图25-9,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径,若☉O的半径是4,sinB=14,则线段AC的长为.[答案]2[解析]连接CD.∵AD是☉O的直径,∴∠ACD=90°.∵∠D=∠B,∴sinD=sinB=14.在Rt△ACD中,∵sinD=𝐴𝐶𝐴𝐷=14,∴AC=14AD=14×8=2.基础知识巩固高频考向探究1.[2018·白银]如图25-10,☉A过点O(0,0),C(3,0),D(0,1),点B是x轴下方☉A上的一点,连接BO,BD,则∠OBD的度数是()A.15°B.30°C.45°D.60°|考向精练|图25-10基础知识巩固高频考向探究[答案]B[解析]如图,连接DC.∵在☉A中,∠DOC=90°,∴DC过圆心A,即DC是☉A的直径.∵C(3,0),D(0,1),∴DO=1,CO=3,∴在Rt△DOC中,CD=𝐶𝑂2+𝐷𝑂2=2,∴∠DCO=30°,∴∠OBD=∠DCO=30°.故选B.基础知识巩固高频考向探究2.[2019·赤峰]如图25-11,AB是☉O的弦,OC⊥AB交☉O于点C,点D是☉O上一点,∠ADC=30°,则∠BOC的度数为()A.30°B.40°C.50°D.60°图25-11基础知识巩固高频考向探究[答案]D[解析]∵∠ADC=30°,∴∠AOC=2∠ADC=60°.∵AB是☉O的弦,OC⊥AB交☉O于点C,∴𝐴𝐶=𝐵𝐶.∴∠AOC=∠BOC=60°.故选D.基础知识巩固高频考向探究考向三圆内接四边形的性质例3[2017·淮安]如图25-12,在圆内接四边形ABCD中,若∠A,∠B,∠C的度数之比为4∶3∶5,则∠D的度数是°.图25-12[答案]120[解析]∵∠A,∠B,∠C的度数之比为4∶3∶5,∴设∠A=4x,则∠B=3x,∠C=5x.∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠A+∠C=180°,即4x+5x=180°,解得x=20°,∴∠B=3x=60°,∴∠D=180°-60°=120°.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|[2019·天水]如图25-13,四边形ABCD是菱形,☉O经过点A,C,D,与BC相交于点E,连接AC,AE.若∠D=80°,则∠EAC的度数为()A.20°B.25°C.30°D.35°图25-13基础知识巩固高频考向探究[答案]C[解析]∵四边形ABCD是菱形,∠D=80°,∴∠ACB=12∠DCB=12(180°-∠D)=50°,∵四边形AECD是圆内接四边形,∴∠AEB=∠D=80°,∴∠EAC=∠AEB-∠ACE=30°,故选C.基础知识巩固高频考向探究例4如图25-14,A,P,B,C是圆上的四个点,∠APC=∠CPB=60°,AP,CB的延长线相交于点D.(1)求证:△ABC是等边三