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第6课时一元二次方程及其应用【考情分析】考点2015中考相关题2016中考相关题2017中考相关题2018中考相关题2019中考相关题2020中考预测一元二次方程的概念★★一元二次方程的解法14题,3分★★★★★一元二次方程根的判别式及根的情况8题,3分★★★★一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的应用22题,9分★★★★★课本涉及内容:人教版九上第二十一章P1-P26.基础知识巩固高频考向探究考点一一元二次方程及其解法考点聚焦1.一般形式:图6-1基础知识巩固高频考向探究2.一元二次方程的解法方法解题流程注意事项直接开平方法(1)ax2+c=0⇒x=①(其中ac0);(2)a(x+n)2=b⇒x=②(其中ab0)开方后取正负两个值配方法配方过程中,注意加上一个数的同时减去这个数ax2+bx+c=0(a≠0)⇒x2+bax+ca=0⇒x+b2a2=b2-4ac4a2,开方求解±-𝒄𝒂-n±𝒃𝒂基础知识巩固高频考向探究(续表)方法解题流程注意事项公式法当b2-4ac≥0时,由求根公式可得ax2+bx+c=0(a≠0)的解为x=③前提条件:①判别式Δ≥0;②等号的右边为0因式分解法ax2+bx+c=0(a≠0)(m1x+n1)·(m2x+n2)=0⇒m1x+n1=0或m2x+n2=0,求得x的值当等号两边有相同的因式时,不能约去,以免漏解-𝒃±𝒃𝟐-𝟒𝒂𝒄𝟐𝒂基础知识巩固高频考向探究考点二一元二次方程根的判别式、根与系数的关系1.判别式与根的关系(1)b2-4ac0⇔方程有④的实数根;(2)b2-4ac=0⇔方程有⑤的实数根;(3)b2-4ac0⇔方程⑥实数根.2.根与系数的关系(选学)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,则x1+x2=⑦,x1x2=⑧.两个不相等两个相等-𝒃𝒂没有𝒄𝒂基础知识巩固高频考向探究考点三一元二次方程的实际应用应用类型等量关系增长率问题(1)增长率=增量÷基础量;(2)设a为原来的量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量,则a(1+m)n=b销售利润问题(1)纯利润=售出价-进货价-其他费用;(2)利润率=利润÷进货价×100%;(3)总利润=(售价-成本)×数量基础知识巩固高频考向探究(续表)应用类型等量关系面积问题AB+BC+CD=aS阴影=⑨S阴影=⑩S阴影=⑪(a-2x)(b-2x)(a-x)(b-x)𝒂-𝒙𝟐·x基础知识巩固高频考向探究题组一必会题对点演练1.若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程,则m的取值范围是()A.m≠1B.m=1C.m≥1D.m≠02.一元二次方程x2-16=0的根是()A.x=2B.x=4C.x1=2,x2=-2D.x1=4,x2=-4AD基础知识巩固高频考向探究3.用配方法解一元二次方程x2-6x-10=0时,下列变形正确的是()A.(x+3)2=1B.(x-3)2=1C.(x+3)2=19D.(x-3)2=194.方程x2-2x+3=0的根的情况是()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法确定5.某公司9月份的利润为100万元,若要使11月份的利润达到144万元,则平均每月增长的百分率为()A.10%B.20%C.22%D.25%DCB基础知识巩固高频考向探究题组二易错题m≤3且m≠2【失分点】有关一元二次方程最易失分的地方一是解方程时“丢根”,二是运用根的判别式时忘记考虑二次项系数不为0的条件.6.一元二次方程2x(x+1)=3(x+1)的解是.7.若关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x+1=0有实数根,则m的取值范围是.x1=𝟑𝟐,x2=-1基础知识巩固高频考向探究考向一一元二次方程的解法解:解法一(公式法):原方程为x2-12x+27=0,这里a=1,b=-12,c=27.∵b2-4ac=(-12)2-4×1×27=360,∴x=12±362×1=12±62.∴原方程的根为x1=3,x2=9.例1分别用公式法、配方法、分解因式法解一元二次方程:x2-12x+27=0.基础知识巩固高频考向探究解法二(配方法):原方程为x2-12x+27=0,x2-12x=-27,x2-12x+62=-27+62,(x-6)2=9,x-6=±3,∴x1=3,x2=9.解法三(分解因式法):原方程为x2-12x+27=0,(x-3)(x-9)=0.∴x-3=0或x-9=0.∴x1=3,x2=9.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2015·鄂尔多斯14题]小奇设计了一个魔术盒,当任意实数对(a,b)进入其中时,会得到一个新的实数a2-3b-5.例如,把(1,-2)放入其中,就会得到12-3×(-2)-5=2.现将实数对(m,3m)放入其中,得到实数5,则m=.10或-1基础知识巩固高频考向探究2.[2017·鄂尔多斯17(1)题节选]解方程:x(x-1)=2x-2.解:x(x-1)=2x-2,x(x-1)=2(x-1),x(x-1)-2(x-1)=0,(x-1)(x-2)=0,∴x1=1,x2=2.基础知识巩固高频考向探究考向二一元二次方程根的判别式解:(1)∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0有两个不相等的实数根,∴Δ=[-(2m+1)]2-4(m-1)m0且m-1≠0,解得m-18且m≠1.∴当m-18且m≠1时,方程有两个不相等的实数根.例2已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0.(1)当m取何值时,方程有两个不相等的实数根?(2)当m取何值时,方程有两个相等的实数根,请求出根.(3)当m取何值时,方程没有实数根?基础知识巩固高频考向探究解:(2)∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0有两个相等的实数根,∴Δ=[-(2m+1)]2-4(m-1)m=0,且m-1≠0,解得m=-18.∴当m=-18时,方程有两个相等的实数根.此时,原方程可变形为9x2+6x+1=0,解得x1=x2=-13.例2已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0.(2)当m取何值时,方程有两个相等的实数根,请求出根.基础知识巩固高频考向探究解:(3)∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0没有实数根,∴Δ=[-(2m+1)]2-4(m-1)m0,且m-1≠0,解得m-18.∴当m-18时,方程没有实数根.例2已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0.(3)当m取何值时,方程没有实数根?基础知识巩固高频考向探究1.[2014·鄂尔多斯5题]若𝑚-8+|n-2|=0,且关于x的一元二次方程ax2+mx+n=0有实数根,则a的取值范围是()A.a≥8B.a8且a≠0C.a≤8D.a≤8且a≠0|考向精练|D基础知识巩固高频考向探究[答案]D[解析]∵原方程是一元二次方程,∴k-2≠0,∴k≠2,∵(k-2)x2-2kx+k-6=0有实数根,∴(-2k)2-4(k-2)(k-6)≥0,解得k≥32,∴k的取值范围为k≥32且k≠2,故选D.2.[2019·聊城]若关于x的一元二次方程(k-2)x2-2kx+k=6有实数根,则k的取值范围为()A.k≥0B.k≥0且k≠2C.k≥32D.k≥32且k≠2基础知识巩固高频考向探究考向三一元二次方程的应用例3[2019·东营]为加快新旧动能转换,提高公司经济效益,某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销,使生产的电子产品能够及时售出,根据市场调查:这种电子产品销售单价定为200元时,每天可售出300个;若销售单价每降低1元,则每天可多售出5个.已知每个电子产品的固定成本为100元,问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时,公司每天可获利32000元?基础知识巩固高频考向探究解:设降价后的销售单价为x元,根据题意得:(x-100)[300+5(200-x)]=32000.整理得:(x-100)(1300-5x)=32000,即x2-360x+32400=0,解得x1=x2=180,x=180200,符合题意.答:这种电子产品降价后的销售单价为180元时,公司每天可获利32000元.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·邵阳]2019年1月14日,国新办举行新闻发布会,海关总署新闻发言人李魁文在会上指出:在2018年,我国进出口规模创历史新高,全年外贸进出口总值为30万亿元人民币,有望继续保持全球货物贸易第一大国地位.预计2020年我国外贸进出口总值将达36.3万亿元人民币.求这两年我国外贸进出口总值的年平均增长率.解:设这两年我国外贸进出口总值的年平均增长率为x,根据题意列方程得30(1+x)2=36.3,解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(舍),答:我国外贸进出口总值的年平均增长率为10%.基础知识巩固高频考向探究2.[2019·南京]某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图6-2,原广场长50m,宽40m,要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3∶2.扩充区域的扩建费用为每平方米30元,扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖,铺设地砖费用为每平方米100元.如果计划总费用为642000元,扩充后广场的长和宽应分别是多少米?图6-2基础知识巩固高频考向探究解:设扩充后广场的长为3xm,宽为2xm,依题意得:3x·2x·100+30(3x·2x-50×40)=642000,解得x1=30,x2=-30(舍去).所以3x=90,2x=60,答:扩充后广场的长为90m,宽为60m.基础知识巩固高频考向探究考向四创新题型例4[2018·黔西南州]“分块计数法”:对有规律的图形进行计数时,有些题可以采用“分块计数”的方法.例如,图6-3①有6个点,图②有12个点,图③有18个点,……,按此规律,求图⑩,图有多少个点?我们将每个图形分成完全相同的6块,每块黑点的个数相同(如图6-4),这样图①中黑点个数是6×1=6个;图②中黑点个数是6×2=12个;图③中黑点个数是6×3=18个;…所以容易求出图⑩,图中黑点的个数分别是,.图6-3图6-4基础知识巩固高频考向探究请你参考以上“分块计数法”,先将下面的点阵进行分块,再完成以下问题:(1)第5个点阵中有个圆圈;第n个点阵中有个圆圈.(2)小圆圈的个数会等于271吗?如果会,请求出是第几个点阵.图6-5基础知识巩固高频考向探究解:图⑩中黑点个数是6×10=60;图n○中黑点个数是6n,故答案为60;6n.分块如下(不唯一):(1)如图,第1个点阵中有1个圆圈,第2个点阵中有2×3+1=7(个)圆圈,第3个点阵中有3×6+1=19(个)圆圈,第4个点阵中有4×9+1=37(个)圆圈,第5个点阵中有5×12+1=61(个)圆圈,…,第n个点阵中有n×3(n-1)+1=3n2-3n+1(个)圆圈,故答案为61;3n2-3n+1.基础知识巩固高频考向探究例4[2018·黔西南州]“分块计数法”:对有规律的图形进行计数时,有些题可以采用“分块计数”的方法.例如,图6-3①有6个点,图②有12个点,图③有18个点,……,按此规律,求图⑩,图有多少个点?我们将每个图形分成完全相同的6块,每块黑点的个数相同(如图6-4),这样图①中黑点个数是6×1=6个;图②中黑点个数是6×2=12个;图③中黑点个数是6×3=18个;…所以容易求出图⑩,图中黑点的个数分别是,.图6-3图6-4基础知识巩固高频考向探究请你参考以上“分块计数法”,先将下面的点阵进行分块,再完成以下问题:(2)小圆圈的个数会等于271吗?如果会,请求出是第几个点阵.图6-5基础知识巩固高频考向探究解:图⑩中黑点个数是6×10=60;图n○中黑点个数是6n,故答案为60;6n.分块如下(不唯一):(2)会.3n2-3n+1=271,n2-n-90=0,(n-10)(n+9)=0,n1=10,n2=-9(舍去),∴小圆圈的个数会等于271,它是第10个点