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第5课时一次方程(组)及其应用考点2015中考相关题2016中考相关题2017中考相关题2018中考相关题2019中考相关题2020中考预测等式的概念与性质★★一元一次方程的概念及解法★★二元一次方程组的解法★★一次方程组的应用23题,9分20题,9分22题(1),4分★★★★★【考情分析】课本涉及内容:人教版七上第三章P77-P112,七下第八章P87-P112.基础知识巩固高频考向探究1.方程:含有未知数的①.2.方程的解:使方程中等号左右两边相等的未知数的值.3.一元一次方程的一般形式:②.4.二元一次方程的一般形式:③.考点一方程的有关概念考点聚焦等式ax+b=0(a,b为常数,且a≠0)ax+by+c=0(a,b,c为常数,且a≠0,b≠0)基础知识巩固高频考向探究5.二元一次方程组的一般形式:𝑎1𝑥+𝑏1𝑦+𝑐1=0,𝑎2𝑥+𝑏2𝑦+𝑐2=0,其解一般写成𝑥=𝑚,𝑦=𝑛的形式.6.二元一次方程组的解:二元一次方程组的两个方程的公共解.基础知识巩固高频考向探究考点二一次方程(组)的解法1.等式的基本性质:性质1:如果a=b,那么a±c④b±c;性质2:(1)如果a=b,那么ac=⑤;(2)如果a=b,c≠0,那么⑥=𝑏𝑐.=bc𝒂𝒄基础知识巩固高频考向探究2.解一元一次方程的一般步骤(解方程过程中常会用到等式的性质):基础知识巩固高频考向探究3.二元一次方程组的解法:(1)思想:二元一次方程组一元一次方程.(2)方法:方法说明代入法适用于有一个方程中某个未知数的系数为1或-1的情况加减法在方程两边同乘以一个数,将两个方程中同一个未知数的系数变为相同的数(或互为相反数),再将方程两边分别相减(或相加)基础知识巩固高频考向探究考点三一次方程(组)的实际应用图5-1【温馨提示】设未知数列方程是关键,求解时注意两点:(1)设适当的未知数;(2)题中各个量的单位.基础知识巩固高频考向探究题组一必会题对点演练1.一元一次方程3x-3=0的解是()A.x=1B.x=-1C.x=13D.x=0A基础知识巩固高频考向探究3.既是方程2x-y=3的解,又是方程3x+4y=10的解的是()A.𝑥=1,𝑦=2B.𝑥=2,𝑦=1C.𝑥=4,𝑦=3D.𝑥=-4,𝑦=-3BB2.已知x=3是关于x的方程2x-a=1的解,则a的值为()A.-5B.5C.7D.-7基础知识巩固高频考向探究4.方程组𝑥-𝑦=4,2𝑥+𝑦=-1的解是.𝒙=𝟏,𝒚=-𝟑5.已知a,b满足方程组2𝑎-𝑏=2,𝑎+2𝑏=6,则3a+b的值为.8基础知识巩固高频考向探究题组二易错题6.方程2-2𝑥-43=-𝑥-76去分母得()A.2-2(2x-4)=-(x-7)B.12-2(2x-4)=-x-7C.12-2(2x-4)=-(x-7)D.12-(2x-4)=-(x-7)【失分点】运用等式的性质,将等式两边乘同一个数时,忘记乘常数项;利用加减法解二元一次方程组时,两个方程相减时,出现符号错误.C基础知识巩固高频考向探究7.用加减消元法解方程组9𝑥-5𝑦=16,①2𝑥-𝑦=3②时,第一步:②×5,得10x-5y=15③;第二步:③-①,得x=1;第三步:把x=1代入②,得y=-1.则上述步骤中开始出现错误的是()A.第一步B.第二步C.第三步D.无法确定B基础知识巩固高频考向探究考向一等式的概念及性质[答案](1)×(2)√(3)×(4)×[解析](1)利用等式性质1,两边都加c,得到a+c=b+c,所以错误;(2)利用等式性质2,两边都乘c,得到a=b,所以正确;(3)因为c不能为0,所以错误;(4)因为a2=9,3a2=27,所以a2≠3a2,所以错误.例1判断正误:(1)如果a=b,那么a+c=b-c;()(2)如果𝑎𝑐=𝑏𝑐,那么a=b;()(3)如果a=b,那么𝑎𝑐=𝑏𝑐;()(4)如果a=3,那么a2=3a2.()基础知识巩固高频考向探究1.[2017·杭州]设x,y,c是实数,()A.若x=y,则x+c=y-cB.若x=y,则xc=ycC.若x=y,则𝑥𝑐=𝑦𝑐D.若𝑥2𝑐=𝑦3𝑐,则2x=3y|考向精练|B基础知识巩固高频考向探究[答案]a[解析]当两个天平都平衡时,2a=3b,2b=3c.由等式的性质,得4a=6b,6b=9c,即4a=6b=9c,则质量最大的物体是a.2.如图5-2,天平中的物体a,b,c使天平处于平衡状态,则质量最大的物体是.图5-2基础知识巩固高频考向探究考向二一元一次方程的解法例2解方程:(1)7x-4=3(x+2);(2)2𝑥+53-4=𝑥-32.解:(1)去括号,得7x-4=3x+6,移项、合并同类项,得4x=10,系数化为1,得x=2.5.(2)去分母,得2(2x+5)-24=3(x-3),去括号,得4x+10-24=3x-9,移项、合并同类项,得x=5.基础知识巩固高频考向探究【方法点析】去分母时,要注意两点:(1)不要漏乘不含分母的项;(2)当分子是多项式时,要对分子添括号.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.解方程𝑥-13+x=3𝑥+12时,方程两边同时乘6,去分母后,正确的是()A.2x-1+6x=3(3x+1)B.2(x-1)+6x=3(3x+1)C.2(x-1)+x=3(3x+1)D.(x-1)+x=3(x+1)2B基础知识巩固高频考向探究解:去分母,得2x-3(30-x)=60,去括号,得2x-90+3x=60,移项,得2x+3x=60+90,合并同类项,得5x=150,系数化为1,得x=30.2.解方程:𝑥6−30-𝑥4=5.基础知识巩固高频考向探究考向三二元一次方程组的解法例3分别用代入法和加减法解方程组:𝑥-2𝑦=-4,3𝑥+4𝑦=18.解:(1)代入法:𝑥-2𝑦=-4,①3𝑥+4𝑦=18.②由①,得x=2y-4,③把③代入②,得3(2y-4)+4y=18,解得y=3.把y=3代入③,得x=2.∴方程组的解为𝑥=2,𝑦=3.基础知识巩固高频考向探究解:(2)加减法:𝑥-2𝑦=-4,①3𝑥+4𝑦=18.②①×2,得2x-4y=-8③,②+③,得5x=10,解得x=2,把x=2代入①,得2-2y=-4,解得y=3.∴方程组的解为𝑥=2,𝑦=3.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·苏州]若a+2b=8,3a+4b=18,则a+b的值为.[答案]5[解析]∵a+2b=8,∴a=8-2b,代入3a+4b=18中,解得b=3,则a=2,故a+b=5.故答案为5.基础知识巩固高频考向探究2.[2019·衢州]已知实数m,n满足𝑚-𝑛=1,𝑚+𝑛=3,则代数式m2-n2的值为.[答案]3[解析]方法一:解方程组得m=2,n=1,所以m2-n2=22-12=3.方法二:方程组两式两边分别相乘得m2-n2=3.基础知识巩固高频考向探究解:由①,得y=3-2x.③把③代入②得,3x+2(3-2x)=2,解得x=4.把x=4代入③,得y=-5.所以原方程组的解是𝑥=4,𝑦=-5.3.解方程组:2𝑥=3-𝑦,①3𝑥+2𝑦=2.②基础知识巩固高频考向探究考向四利用一次方程(组)解决生活实际问题例4某校食堂的午餐与晚餐的资费标准如下表:小杰同学某星期从周一到周五每天的午餐与晚餐均在学校选用A类或B类中的一份套餐菜与一份米饭,这五天共消费36元.请问:小杰在这五天内,A,B类套餐菜分别选用了多少次?种类单价米饭0.5元/份A类套餐菜3.5元/份B类套餐菜2.5元/份基础知识巩固高频考向探究解:设小杰在这五天内,A类套餐菜选用了x次,B类套餐菜选用了y次.根据题意,得𝑥+𝑦=10,3.5𝑥+2.5𝑦+10×0.5=36.解得𝑥=6,𝑦=4.答:小杰在这五天内,A类套餐菜选用了6次,B类套餐菜选用了4次.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·台州]一道来自课本的习题:从甲地到乙地有一段上坡与一段平路,如果保持上坡每小时走3km,平路每小时走4km,下坡每小时走5km,那么从甲地到乙地需54min,从乙地到甲地需42min,甲地到乙地全程是多少?小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题,设未知数x,y,已经列出一个方程𝑥3+𝑦4=5460,则另一个方程正确的是()A.𝑥4+𝑦3=4260B.𝑥5+𝑦4=4260C.𝑥4+𝑦5=4260D.𝑥3+𝑦4=4260基础知识巩固高频考向探究[解析]从方程𝑥3+𝑦4=5460可以得到上坡的路程为xkm,平路的路程为ykm,且返程时上坡成了下坡,故方程为𝑥5+𝑦4=4260,故选B.[答案]B基础知识巩固高频考向探究[答案]250[解析]设速度快的人走的时间为x,根据题意可得,100x=100+60x,所以x=2.5,所以速度快的人要走100×2.5=250(步)才能追到速度慢的人.2.[2019·株洲]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有善行者行一百步,不善行者行六十步.今不善行者先行一百步,善行者追之,问几何步及之?”其意思为:速度快的人走100步,速度慢的人只走60步,现速度慢的人先走100步,速度快的人去追赶,则速度快的人要走步才能追到速度慢的人.数学文化基础知识巩固高频考向探究3.[2019·烟台]亚洲文明对话大会召开期间,大批的大学生志愿者参与服务工作.某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场,若单独调配36座新能源客车若干辆,则有2人没有座位;若只调配22座新能源客车,则用车数量将增加4辆,并空出2个座位.(1)计划调配36座新能源客车多少辆?该大学共有多少名志愿者?(2)若同时调配36座和22座两种车型,既保证每人有座,又保证每车不空座,则两种车型各需多少辆?解:(1)设计划调配36座新能源客车x辆,该大学共有y名志愿者.由题意,得36𝑥+2=𝑦,22(𝑥+4)-2=𝑦,解得𝑥=6,𝑦=218.∴计划调配36座新能源客车6辆,该大学共有218名志愿者.基础知识巩固高频考向探究3.[2019·烟台]亚洲文明对话大会召开期间,大批的大学生志愿者参与服务工作.某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场,若单独调配36座新能源客车若干辆,则有2人没有座位;若只调配22座新能源客车,则用车数量将增加4辆,并空出2个座位.(2)若同时调配36座和22座两种车型,既保证每人有座,又保证每车不空座,则两种车型各需多少辆?解:(2)设36座和22座两种车型各需m辆,n辆.由题意,得36m+22n=218,且m,n均为非负整数,经检验,只有𝑚=3,𝑛=5符合题意.∴36座和22座两种车型各需3辆,5辆.