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第3课时分式【考情分析】考点2015中考相关题2016中考相关题2017中考相关题2018中考相关题2019中考相关题2020中考预测分式的概念★★分式的性质★★分式的运算17题(2),5分17题(2),4分17题(1),4分17题(1),4分17题(1),4分★★★★★课本涉及内容:人教版八上第15章P126-P148.定义一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子①叫做分式有意义的条件分母不为②(B≠0)值为0的条件分子为0,且分母不为0(A=0且B≠0)考点一分式的相关概念0𝑨𝑩考点二分式的基本性质分式的基本性质约分根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分通分根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式③的同分母的分式,叫做分式的通分最简分式分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式最简公分母一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母,叫做最简公分母变号法则AB=A·MB·M,AB=A÷MB÷M(其中A,B,M是整式,B≠0,M≠0)AB=--AB=-A-B=-A-B相等考点三分式的运算分式的加减分式的乘除(1)同分母分式相加减:分母不变,把分子相加减,即ac±bc=④.(2)异分母分式相加减:先通分,变为同分母的分式,再加减,即ab±cd=⑤±⑥=ad±bcbd(1)乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母,即ab·cd=⑦.(2)除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘,即ab÷cd=⑧·⑨=adbc𝒂±𝒃𝒄𝒂𝒅𝒃𝒅𝒃𝒄𝒃𝒅𝒂𝒄𝒃𝒅𝒅𝒄𝒂𝒃(续表)分式的乘方分式的混合运算(1)法则:在分式的混合运算中,应先算乘方,再将除法化为乘法,进行约分化简,最后进行加减运算,如果有括号,先算括号里面的.(2)特别说明:a.实数的各种运算律也适用于分式的运算;b.分式运算的结果要化成最简分式或整式分式的乘方把分子、分母分别乘方,即abn=⑩(n为整数)𝒂𝒏𝒃𝒏考向一分式的有关概念1.[2019·衡阳]如果分式1𝑥+1在实数范围内有意义,则x的取值范围是()A.x≠-1B.x-1C.全体实数D.x=-1A2.如果分式2𝑥2+1在实数范围内有意义,则x的取值范围是()A.x≠-1B.x-1C.全体实数D.x=-1C3.[2018·葫芦岛]若分式𝑥2-1𝑥+1的值为0,则x的值为()A.0B.1C.-1D.±1B4.[2019·聊城]如果分式𝑥-1𝑥+1的值为0,那么x的值为()A.-1B.1C.-1或1D.1或0B5.如果分式2𝑥2-1在实数范围内有意义,则x的取值范围是.x≠±16.[2019·北京]若分式𝑥-1𝑥的值为0,则x的值为.1【方法点析】谨防分式问题陷阱(1)分式有意义的条件是分母不为0.分母为0时分式无意义.(2)分式的值为0的条件是分式的分子为0,分母不为0.(3)分式的值为正的条件是分子与分母同号;分式的值为负的条件是分子与分母异号.分式值的正、负经常与不等式(组)结合考查.考向二分式基本性质的运用7.[2019·扬州]分式13-𝑥可变形为()A.13+𝑥B.-13+𝑥C.1𝑥-3D.-1𝑥-3D8.[2018·莱芜]若x,y的值均扩大为原来的3倍,则下列分式的值保持不变的是()A.2+𝑥𝑥-𝑦B.2𝑦𝑥2C.2𝑦33𝑥2D.2𝑦2(𝑥-𝑦)2[答案]D[解析]由题意可知,2×(3𝑦)2(3𝑥-3𝑦)2=18𝑦29(𝑥-𝑦)2=2𝑦2(𝑥-𝑦)2.故选D.9.判断正误:(1)𝑎2-0.2𝑎𝑎2-0.3𝑎3=𝑎2-2𝑎𝑎2-3𝑎3;()(2)-𝑥+1𝑥-𝑦=𝑥-1𝑥-𝑦;()(3)𝑏2-𝑎2𝑎+𝑏=a-b;()(4)𝑥2-11-2𝑥+𝑥2=𝑥-1𝑥+1.()××××考向三分式的化简与求值10.[2019·陇南]下面的计算过程中,从哪一步开始出现错误()A.①B.②C.③D.④图3-1B11.[2018·内江]已知1𝑎−1𝑏=13,则𝑎𝑏𝑏-𝑎的值是()A.13B.-13C.3D.-3[答案]C[解析]∵1𝑎−1𝑏=𝑏-𝑎𝑎𝑏=13,∴𝑎𝑏𝑏-𝑎=3.故选C.12.[2019·鄂尔多斯17(1)题]先化简:𝑥2-4𝑥2-4𝑥+4+𝑥𝑥2-𝑥÷𝑥-2𝑥-1,再从-1≤x≤3的整数中选取一个你喜欢的x的值代入求值.解:𝑥2-4𝑥2-4𝑥+4+𝑥𝑥2-𝑥÷𝑥-2𝑥-1=(𝑥+2)(𝑥-2)(𝑥-2)2+𝑥𝑥(𝑥-1)·𝑥-1𝑥-2=𝑥+2𝑥-2+1𝑥-2=𝑥+3𝑥-2.当x=3时,原式=3+33-2=6.答案不唯一,还可以选择x=-1,此时原式=-1+3-1-2=-2313.[2018·鄂尔多斯17(1)题]化简求值:2𝑥𝑥+1+4-2𝑥𝑥2-1÷𝑥-2𝑥2-2𝑥+1,其中x=-22+2sin45°+-3.解:原式=2𝑥𝑥+1+-2(𝑥-2)(𝑥+1)(𝑥-1)·(𝑥-1)2𝑥-2=2𝑥𝑥+1−2(𝑥-1)𝑥+1=2𝑥+1.∵x=-4+2×22+3=2-1,∴原式=22-1+1=2.14.[2017·鄂尔多斯17(1)题]化简求值:2𝑥+1+𝑥2+4𝑥+4𝑥2-1÷𝑥+21-𝑥,其中x是一元二次方程x(x-1)=2x-2的解.解:原式=2𝑥+1+(𝑥+2)2(𝑥+1)(𝑥-1)·1-𝑥𝑥+2=2𝑥+1−𝑥+2𝑥+1=-𝑥𝑥+1.由x(x-1)=2x-2,得x1=2,x2=1(舍去).当x=2时,原式=-23.15.[2016·鄂尔多斯17(2)题]先化简,再求值:𝑚2-𝑛2𝑚2-2𝑚𝑛+𝑛2+𝑚𝑛-𝑚÷𝑛2𝑚2-𝑚𝑛,其中m,n满足(m-3)2+|n+3|=0.解:原式=(𝑚-𝑛)(𝑚+𝑛)(𝑚-𝑛)2+𝑚𝑛-𝑚÷𝑛2𝑚(𝑚-𝑛)=𝑚+𝑛𝑚-𝑛-𝑚𝑚-𝑛·𝑚(𝑚-𝑛)𝑛2=𝑛𝑚-𝑛·𝑚(𝑚-𝑛)𝑛2=𝑚𝑛.∵(m-3)2+|n+3|=0,∴m=3,n=-3.∴原式=-33=-3.【方法点析】分式的化简求值题满分攻略(1)利用因式分解、通分、约分等相关知识对复杂的分式进行化简;(2)选择合适的字母时,要注意字母的取值一定要使原分式有意义,而不是只看化简后的式子;(3)要注意与解分式方程的区别,不能“去分母”.考向四分式的创新应用16.[2019·安徽]观察以下等式:第1个等式:21=11+11,第2个等式:23=12+16,第3个等式:25=13+115,第4个等式:27=14+128,第5个等式:29=15+145,……按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第6个等式:;(2)写出你猜想的第n个等式:(用含n的等式表示),并证明.𝟐𝟏𝟏=𝟏𝟔+𝟏𝟔𝟔16.[2019·安徽]观察以下等式:第1个等式:21=11+11,第2个等式:23=12+16,第3个等式:25=13+115,第4个等式:27=14+128,第5个等式:29=15+145,……按照以上规律,解决下列问题:(2)写出你猜想的第n个等式:(用含n的等式表示),并证明.解:(2)22𝑛-1=1𝑛+1(2𝑛-1)𝑛.证明:右边=1𝑛+1(2𝑛-1)𝑛=2𝑛-1(2𝑛-1)𝑛+1(2𝑛-1)𝑛=2𝑛(2𝑛-1)𝑛=22𝑛-1=左边.所以猜想正确.17.观察下列各组式子:①1+23=53=6×1-11×3;②13+25=1115=6×2-13×5;③15+27=1735=6×3-15×7.(1)请根据上面的规律写出第4个式子:.(2)请写出第n个式子并证明.𝟏𝟕+𝟐𝟗=𝟐𝟑𝟔𝟑=𝟔×𝟒-𝟏𝟕×𝟗17.观察下列各组式子:①1+23=53=6×1-11×3;②13+25=1115=6×2-13×5;③15+27=1735=6×3-15×7.(2)请写出第n个式子并证明.解:(2)12𝑛-1+22𝑛+1=6𝑛-1(2𝑛-1)(2𝑛+1).证明:左边=12𝑛-1+22𝑛+1=2𝑛+1(2𝑛-1)(2𝑛+1)+2(2𝑛-1)(2𝑛-1)(2𝑛+1)=2𝑛+1+2(2𝑛-1)(2𝑛-1)(2𝑛+1)=6𝑛-1(2𝑛-1)(2𝑛+1)=右边.