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第1课时实数及其运算【考情分析】考点2015中考相关题2016中考相关题2017中考相关题2018中考相关题2019中考相关题2020中考预测实数的定义及分类1题,3分1题,3分★★实数的有关概念1题,3分9题,3分17题(2),1分1题,3分1题,3分★★★★★科学记数法11题,3分2题,3分2题,3分11题,3分3题,3分★★★★★实数的运算17题(1),3分12题,3分12题,3分11题,3分★★★★★课本涉及内容:人教版七上第一章P1-P52,七下第六章P39-P62.考点一实数及其分类1.按定义分实数有理数整数分数:①小数或无限②小数无理数正无理数负无理数无限③小数循环有限不循环2.按大小分(1)实数可分为正实数、0和负实数,0既不是正数,也不是负数.(2)正负数的意义:一般地,对于具有相反意义的量,我们可以把其中一种意义的量规定为正的,并在表示这个量的前面放上“+”;把与它意义相反的量规定为负的,并在表示这个量的前面放上“-”.如规定向东为“+”,则向西为“-”;规定零上为“+”,则零下为“-”.2.判断实数的正负,一定要先化简,再根据定义判断,如-(-2)=2是正数;注意-a不一定是负数,要对a进行分类讨论.【温馨提示】1.常见的4种无理数类型:(1)根号型:2,53等开方开不尽的数;(2)三角函数型:如sin60°,tan30°等;(3)构造型:如0.1010010001…(每相邻两个1之间依次多一个0)等;(4)与π有关的数:如𝜋3,π-1等.判断一个数是不是无理数,不要只看形式,要看化简结果是不是无限不循环小数.考点二实数的有关概念1.数轴:规定了原点、④和⑤的直线.数轴上的点与实数一一对应.图1-12.相反数:a的相反数是⑥,0的相反数是0.3.倒数:乘积是⑦的两个数互为倒数.0没有倒数,倒数等于本身的数是±1.正方向1单位长度-a4.绝对值:一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离,叫做数a的绝对值,记作|a|,离原点越远的数的绝对值越大.|a|=𝑎(𝑎0),0(𝑎=0),⑧(𝑎0).-a5.近似数:一个近似数四舍五入到哪一位,那么就说这个近似数精确到哪一位.有计数单位的近似数,由近似数的数位和后面的单位共同确定.如3.618万,数字8实际上是十位上的数字,即精确到十位.考点三科学记数法1.定义:把一个数写成a×10n的形式,其中,1≤|a|10,n为整数.2.n的确定(1)对于绝对值大于10的数,n为正数,n等于原数的整数位数减1;(2)对于绝对值大于0且小于1的数,n为负数,n的绝对值等于原数左起第一个非零数前所有零的个数(包括小数点前的零).3.常考的计数单位和计量单位:1亿=⑨,1万=⑩;1mm=10-3m,1nm=10-9m等.1081044.科学记数法的还原(1)绝对值大于10的数的还原:将数a的小数点向⑪移动n位;(2)绝对值大于0且小于1的数的还原:将数a的小数点向⑫移动|n|位.右左考点四实数的大小比较数轴比较法数轴上的两个点表示的数,右边的数总比左边的数⑬性质比较法(1)正数0负数;(2)两个正数,绝对值大的较大;两个负数,绝对值大的反而⑭;(3)若一组数据中有正数,0,负数,求最大的数时在正数中找,求最小的数时在负数中找差值比较法对于任意实数a,b:a-b0⇔⑮;a-b=0⇔;a-b0⇔⑰大小aba=bab(续表)平方比较法a2b⇔ab(a0,b≥0),ab⇔ab≥0(主要用于含有二次根式的无理数的大小比较或无理数的估算)求商比较法当b0时,ab1⇔ab,ab1⇔ab;当b≠0时,ab=1⇔a=b考点五实数的运算运算律交换律a+b=⑱,ab=⑲结合律(a+b)+c=⑳,(ab)c=㉑分配律a(b+c)=㉒几种常见的运算乘方an=a·a·…·a(n个a相乘)零次幂任何非零实数的零次幂都为1,即a0=㉓(a≠0)b+abaa+(b+c)a(bc)ab+ac1(续表)几种常见的运算负整数次幂规定a-n=1an(a≠0,n为正整数),特别地,a-1=㉔(a≠0)-1的整数次幂(-1)n=㉕,n为奇数;㉖,n为偶数运算顺序先算乘方,再算乘除,最后算加减;同级运算,从左到右进行;如有括号,先进行㉗运算,一般按小括号、中括号、大括号依次进行𝟏𝒂-11括号内的【温馨提示】在进行负整数指数幂的运算时,防止出现以下错误:(1)3-2=-19;(2)2a-2=12𝑎2.考向一实数的相关概念及分类1.[2019·鄂尔多斯1题]有理数-13的相反数为()A.-3B.-13C.13D.3C2.[2014·鄂尔多斯1题]-15的绝对值等于()A.5B.-5C.-15D.153.[2019·河北]规定:(→2)表示向右移动2,记作+2,则(←3)表示向左移动3,记作()A.+3B.-3C.-13D.+13BD4.[2018·鄂尔多斯1题]在227,-2018,4,π这四个数中,无理数是()A.227B.-2018C.4D.πD5.-5的相反数的倒数为.-𝟏𝟓考向二科学记数法6.[2019·鄂尔多斯3题]禽流感病毒的半径大约是0.00000045米,它的直径用科学记数法表示为()A.0.9×10-7米B.9×10-7米C.9×10-6米D.9×107米B7.[2017·鄂尔多斯2题]空气中有一种有害粉尘颗粒,其直径大约为0.000000017m,该直径用科学记数法表示为()A.0.17×10-7mB.1.7×107mC.1.7×10-8mD.1.7×108mC8.[2016·鄂尔多斯2题]小明同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦、我的梦”,搜索到与之相关的结果条数约为60.8万,这个数用科学记数法表示为()A.60.8×104B.6.08×105C.0.608×106D.6.08×107B9.[2018·鄂尔多斯11题]鄂尔多斯境内煤炭资源丰富,探明储量为2100亿吨.数据2100亿用科学记数法表示为.2.1×1011考向三实数的运算10.[2019·鄂尔多斯11题](π+1)0+|3-2|-12-2=.11.[2017·鄂尔多斯12题]计算:(π-3.14)0-23×sin60°--12-1=.0-1-𝟑[答案]-10[解析]原式=-4×1-4-2=-10.12.[2016·鄂尔多斯12题]计算:-22×(2016-π)0-12-2-|-2|=.解:原式=9+(-2)-5+1=3.解:原式=1-112+3-2×32=1-2=-1.13.[2015·鄂尔多斯17题]计算:13-2+-83-|5|+(3-2)0.14.[2019·娄底]计算:2019-10−12-1+|-3|-2sin60°.解:原式=6×32-23+1+2018-3=33-23−3+1+2018=2019.15.[2019·济宁]计算:6sin60°-12+120+|3-2018|.考向四实数的大小比较16.[2016·鄂尔多斯1题]在-4,2,-1,3这四个数中,比-2小的数是()A.-4B.2C.-1D.3A17.[2019·泰安]在实数|-3.14|,-3,-3,π中,最小的数是()A.-3B.-3C.|-3.14|D.πB考向五实数与数轴18.若|a|=-a,则实数a在数轴上的对应点一定在()A.原点左侧B.原点右侧C.原点左侧或原点D.原点右侧或原点C19.[2017·鄂尔多斯1题]在数轴上表示数a的点如图1-2,则a的绝对值是()A.2B.-12C.12D.-2A图1-220.[2019·福建]如图1-3,数轴上A,B两点所表示的数分别是-4和2,C是线段AB的中点,则点C所表示的数是.-1图1-3考向六创新题型21.观察下列等式:在上述数字宝塔中,从上往下数,2019在第层.[答案]44[解析]观察题中的各等式可知,第一层:第一个数为12=1,最后一个数为22-1=3,第二层:第一个数为22=4,最后一个数为32-1=8,第三层:第一个数为32=9,最后一个数为42-1=15.∵442=1936,452=2025,∴4422019452,∴在上述数字宝塔中,从上往下数,2019在第44层.22.如图1-4,A点的初始位置位于数轴上表示1的点,现对A点做如下移动:第1次向左移动3个单位长度至B点,第2次从B点向右移动6个单位长度至C点,第3次从C点向左移动9个单位长度至D点,第4次从D点向右移动12个单位长度至E点,…,依此类推,这样第次移动到的点与原点的距离为2020.图1-4[解析]第1次从点A向左移动3个单位长度至点B,则B表示的数为1-3=-2;第2次从点B向右移动6个单位长度至点C,则C表示的数为-2+6=4;第3次从点C向左移动9个单位长度至点D,则D表示的数为4-9=-5;…;由以上数据可知,当移动次数为奇数时,点在数轴上所表示的数满足:-12(3n+1),当移动次数为偶数时,点在数轴上所表示的数满足:3𝑛+22,当移动次数为奇数时,-12(3n+1)=-2020,n=40393(舍去),当移动次数为偶数时,3𝑛+22=2020,n=1346.故答案为:1346.[答案]1346