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第10课时一次函数的图象、性质及其应用【考情分析】考点2015中考相关题2016中考相关题2017中考相关题2018中考相关题2019中考相关题2020中考预测两条直线的位置关系★★两条直线的交点坐标及一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积★★(续表)考点2015中考相关题2016中考相关题2017中考相关题2018中考相关题2019中考相关题2020中考预测求一次函数解析式19题(1),2分★★★★一次函数与一次方程(组)、一次不等式(组)★★一次函数(正比例函数)的应用23题,9分22题,3分19题,8分22题(2),3分★★★★课本涉及内容:人教版八下第十九章P86-P109.考点一一次函数的概念考点聚焦1.一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.2.一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数.当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.考点二一次函数的图象与性质k0k0图象经过的象限b0b=0b0b0b=0b0一、二、三一、三①②③二、三、四一、三、四一、二、四二、四(续表)k0k0增减性y随x的增大而④y随x的增大而⑤总结(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,k决定函数的增减性,b决定了直线与y轴交点的纵坐标;(2)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0,⑥)和(⑦,0)的一条直线,所以直线y=kx+b(k≠0,b≠0)与坐标轴围成的三角形的面积为(3)直线y=kx+b(k≠0)均可由直线y=kx(k≠0)平移得到;(4)直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行⇔k1=k2且b1≠b2减小增大S=12-bk·|b|;b-𝒃𝒌考点三一次函数的解析式的确定1.方法:待定系数法2.步骤:(1)设:设一般式y=kx+b(k≠0);(2)列:找出直线上两点的坐标,分别代入y=kx+b,得到关于k,b的方程组;(3)解:解方程组,求得k,b的值;(4)依据k,b的值,写出一次函数的解析式.考点四一次函数与一次方程(组)、一元一次不等式的关系1.一次函数与一次方程(组)的关系(1)一次函数的解析式本身就是一个二元一次方程.(2)方程kx+b=0的解⇔函数y=kx+b(k≠0)的图象与⑧轴交点的横坐标⇔函数y=kx+b(k≠0)中,y=⑨时x的值;(3)如图10-1,已知两个一次函数y=k1x+b1,y=k2x+b2,则:二元一次方程组𝑦=𝑘1𝑥+𝑏1,𝑦=𝑘2𝑥+𝑏2的解𝑥=𝑚,𝑦=𝑛⇔两个一次函数图象的交点B的坐标,即B(m,n).图10-1x02.一次函数与不等式的关系(1)不等式kx+b0(kx+b0)的解集⇔函数y=kx+b(k≠0)的图象在x轴上方(下方)的部分对应的x的取值范围⇔函数y=kx+b(k≠0)中,y⑩0(y⑪0)时x的取值;(2)如图10-1,不等式k1x+b1k2x+b2的解集是xm;不等式k1x+b1≤k2x+b2的解集是⑫.图10-1x≤m考点五一次函数的应用1.建立函数模型解决实际问题的步骤:(1)审题,明确变量x和y;(2)根据等量关系,建立函数解析式;(3)确定x的取值范围;(4)在x的取值范围内解决实际问题.2.利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤:(1)观察图象,获取有效信息;(2)对获取的信息进行加工、处理,理清各数量之间的关系;(3)选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等),通过建模解决问题.【温馨提示】注意根据实际情况确定变量的取值范围.题组一必会题对点演练[答案]C1.已知一次函数y=kx+b的图象经过点(1,1),(2,-4),则k,b的值分别为()A.3,-2B.-3,4C.-5,6D.6,-5[解析]把(1,1),(2,-4)代入一次函数y=kx+b,得𝑘+𝑏=1,2𝑘+𝑏=-4,解得𝑘=-5,𝑏=6.故选C.2.[2019·天津]直线y=2x-1与x轴的交点坐标为.3.若函数y=(m-1)x|m|是正比例函数,则该函数的图象经过第象限.二、四𝟏𝟐,0[答案]1k34.[2019·潍坊]当直线y=(2-2k)x+k-3经过第二、三、四象限时,k的取值范围是.图10-2[解析]∵直线经过第二、三、四象限,∴2-2𝑘0,𝑘-30,解得:1k3.5.如图10-2,直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P(3,5).(1)关于x的方程x+b=kx+6的解是;(2)方程组𝑦=𝑥+𝑏,𝑦=𝑘𝑥+6的解为;(3)关于x的不等式x+bkx+6的解集是;(4)关于x的不等式x+bkx+6的解集是.6.已知一次函数y=kx+b,且当-3≤x≤1时,1≤y≤9,则k+b的值为.x=3x3x39或1𝒙=𝟑,𝒚=𝟓7.若等腰三角形的周长是20cm,则能反映这个等腰三角形的腰长ycm与底边长xcm的函数关系的图象是()题组二易错题【失分点】忽略平移方向与系数关系;忽略实际问题中自变量的取值范围;忽视分类讨论或分类讨论不全而致错.图10-3[解析]根据题意得2y+x=20.∴y=10-12x,由y+yx,即20-xx,得x10.又x0,∴0x10,∴y关于x的函数关系式为y=10-12x(0x10).故选B.[答案]B8.将一次函数y=-2x-2的图象先向左平移3个单位,再向下平移2个单位,得到的函数图象的表达式为()A.y=-2x+7B.y=-2x-7C.y=-2x-10D.y=-2x+10C9.已知一次函数的图象经过点A(0,2)且与坐标轴围成的直角三角形的面积为4,则这个一次函数的解析式为.[解析]设一次函数的解析式为y=kx+b.因为函数的图象经过点A(0,2),所以b=2,所以函数的解析式为y=kx+2.要求这个函数图象与x轴的交点,令kx+2=0,得x=-2𝑘,则图象与x轴的交点坐标为-2𝑘,0.由三角形的面积公式,得12×-2𝑘×2=4,解得k=±12,所以这个一次函数的解析式为y=12x+2或y=-12x+2.[答案]y=12x+2或y=-12x+210.已知直线y=x+5与y轴交于点A,直线上有一点P,△POA的面积为10,则点P的坐标是.(4,9)或(-4,1)考向一一次函数的图象与性质例1[2019·临沂]下列关于一次函数y=kx+b(k0,b0)的说法,错误的是()A.图象经过第一、二、四象限B.y随x的增大而减小C.图象与y轴交于点(0,b)D.当x-𝑏𝑘时,y0[解析]∵y=kx+b(k0,b0),∴图象经过第一、二、四象限,A正确;∵k0,∴y随x的增大而减小,B正确;x=0时,y=b,∴图象与y轴的交点为(0,b),∴C正确;y=0时,x=-𝑏𝑘,当x-𝑏𝑘时,y0,D不正确,故选D.[答案]D1.两个一次函数y=ax+b和y=bx+a在同一直角坐标系中的图象可能是()|考向精练|图10-4[答案]B[解析]对于每个选项,先确定一个解析式所对应的图象,根据一次函数图象与系数的关系确定a,b的符号,再根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确.据此可知,选项B符合题意.故选B.2.已知一次函数y=kx+b-x的图象与x轴的负半轴相交,且函数值y随自变量x的增大而增大,则k,b的取值范围为()A.k1,b0B.k1,b0C.k0,b0D.k0,b0[答案]B[解析]一次函数y=kx+b-x即为y=(k-1)x+b,∵函数值y随x的增大而增大,∴k-10,解得k1.∵图象与x轴的负半轴相交,∴b0.故选B.考向二一次函数解析式的确定例2根据下列条件,确定一次函数的解析式.(1)图象平行于直线y=2x-1,且过点(1,3);(2)图象经过点(2,-1)且与直线y=-12x+3相交于y轴上的同一点;(3)直线y=2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积是4.解:(1)∵图象平行于直线y=2x-1,∴设函数解析式为y=2x+b.将(1,3)代入,得3=2×1+b.∴b=1.∴y=2x+1.例2根据下列条件,确定一次函数的解析式.(2)图象经过点(2,-1)且与直线y=-12x+3相交于y轴上的同一点;解:(2)∵图象与直线y=-12x+3相交于y轴上的同一点,∴图象与y轴交于点(0,3).设函数解析式为y=kx+3.将点(2,-1)的坐标代入,得-1=2k+3.∴k=-2.∴y=-2x+3.解:(3)直线y=2x+b与x轴的交点坐标为-𝑏2,0,与y轴的交点坐标为(0,b).由题意,得12𝑏·-𝑏2=4.∴𝑏24=4,∴b2=16.∴b=±4.∴y=2x+4或y=2x-4.例2根据下列条件,确定一次函数的解析式.(3)直线y=2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积是4.|考向精练|如图10-5,过点A(2,0)的两条直线l1,l2分别交y轴于B,C两点,其中点B在原点上方,点C在原点下方,已知AB=13.(1)求点B的坐标;(2)若△ABC的面积为4,求直线l2的解析式.图10-5解:(1)∵点A(2,0),∴OA=2.在Rt△AOB中,OB=𝐴𝐵2-𝑂𝐴2=13-4=3,∴点B的坐标是(0,3).解:(2)∵△ABC的面积为4,∴12BC·OA=4,∴BC=4,∴OC=BC-OB=4-3=1,∴点C的坐标为(0,-1).设直线l2的解析式为y=kx+b.把A(2,0)和C(0,-1)的坐标分别代入y=kx+b,得2𝑘+𝑏=0,𝑏=-1,解得𝑘=12,𝑏=-1.∴直线l2的解析式是y=12x-1.如图10-5,过点A(2,0)的两条直线l1,l2分别交y轴于B,C两点,其中点B在原点上方,点C在原点下方,已知AB=13.(2)若△ABC的面积为4,求直线l2的解析式.图10-5考向三一次函数的实际应用例3一列快车从甲地匀速驶往乙地,一列慢车从乙地匀速驶往甲地.设先发车辆行驶的时间为xh,两车之间的距离为ykm,图10-6中的折线表示y与x之间的函数关系,根据图象解决以下问题:(1)慢车的速度为km/h,快车的速度为km/h;(2)解释图中点C的实际意义,并求出点C的坐标;(3)求当x为多少时,两车之间的距离为500km.图10-6[解析]由图象可知,甲、乙两地相距720km,快车与慢车是同时出发的,快车与慢车相遇时所用时间为3.6h,慢车从乙地行驶到甲地所用时间为9h,所以慢车的速度为7209=80(km/h),快车的速度为7203.6-80=120(km/h).解:(1)80,120例3一列快车从甲地匀速驶往乙地,一列慢车从乙地匀速驶往甲地.设先发车辆行驶的时间为xh,两车之间的距离为ykm,图10-6中的折线表示y与x之间的函数关系,根据图象解决以下问题:(2)解释图中点C的实际意义,并求出点C的坐标;图10-6解:(2)图中点C的实际意义为快车到达乙地.因为快车走完全程所用的时间为720120=6(h),所以点C的横坐标为6,纵坐标为80×6=480,所以点C的坐标为(6,480).例3一列快车从甲地匀速驶往乙地,一列慢车从乙地匀速驶往甲地.设先发车辆行驶的时间为xh,两车之间的距离为ykm,图10-6中的折线表示y与x之间的函数关系,根据图象解决以下问题:(3)求当x为多少时,两车之间的距离为500km.图10-6解:(3)由题意,可知两车行驶的过程中有两次两车之间的距离为500km.相遇前:(80+120)x=720-500,解得x=1.1.相遇后:因为点C(6,480),所以当两车行驶了6h后,快车已到达乙地,慢车再行驶20km,两车相距500km,所以x=6+2080=6.25.所以当x=1.1h或6.25h时,两车之间的距离为500km.|考向精练|1.[2014·鄂尔多斯21题]如图10-7的图象反映的过程是:甲、乙两人同时从A地出发,以各自的速度匀速向B地行驶,甲先到B地,停留半小时后,按原路以另一速度匀速返