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第4讲圆周运动中的临界问题考点一水平圆周运动中的临界问题考点二竖直面圆周运动中的临界问题深化拓展知识梳理1.有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,通常表明题述的过程中存在着临界点。2.若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,通常表明题述的过程中存在着“起止点”,而这些起止点往往就是临界点。3.若题目有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,通常表明题述的过程中存在着极值,这些极值点也往往是临界点。 1.(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图,某公路急转弯处是一圆弧,当汽车行驶的速率为vc时,汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势。则在该弯道处 (AC) A.路面外侧高内侧低B.车速只要低于vc,车辆便会向内侧滑动C.车速虽然高于vc,但只要不超出某一最高限度,车辆便不会向外侧滑动D.当路面结冰时,与未结冰时相比,vc的值变小解析汽车在公路转弯处做圆周运动,需要外力提供向心力,当汽车行驶的速率为vc时,汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势,即没有指向公路两侧的摩擦力,此时的向心力由地面的支持力和重力的合力提供,故路面外侧高内侧低,选项A正确;当车速低于vc时,车所需向心力 减小,车可能只是具有向内侧滑动的趋势,不一定能够滑动,选项B错误;同理,当车速高于vc,且不超出某一最高限度,车辆可能只是有向外侧滑动的趋势,不一定能够滑动,当超过最大静摩擦力时,才会向外侧滑动,故选项C正确;当路面结冰时,只是最大静摩擦力变小,vc值不变,D错误。2mvr2.如图所示,已知mA=2mB=3mC,它们距转轴距离的关系是rA=rC= rB,三物体与转盘表面的动摩擦因数相同,当转盘的转速逐渐增大时 (B) 12A.物体A先滑动B.物体B先滑动C.物体C先滑动D.B与C同时开始滑动解析A、B、C三个物体做圆周运动的角速度ω相同,静摩擦力提供向心力,由牛顿第二定律可得μmg=mω2r,当角速度ω增大时,半径r越大,越易滑动。3.(多选)如图所示,用细绳拴着质量为m的小球,在竖直面内做圆周运动,圆周半径为R,则下列说法正确的是 (AC) A.小球过最高点时,绳子张力可以为零B.小球过最高点时的最小速度为零C.小球刚好过最高点时的速度是 D.小球过最高点时,绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反Rg解析小球过最高点时的临界速度满足mg=m ,得v= ,此时绳中张力为零,小球过最高点时绳子对小球的作用力不可能与球所受重力方向相反,故答案为A、C。2vrgR深化拓展考点一水平圆周运动中的临界问题1.做圆周运动的物体,当合外力消失时,它就以这一时刻的线速度沿切线方向飞出去;2.当合外力突然减小为某一个值时,物体将会在切线方向与圆周之间做离心运动。 【情景素材·教师备用】 1-1(多选)如图,两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上,a与转轴OO'的距离为l,b与转轴的距离为2l。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍,重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,用ω表示圆盘转动的角速度,下列说法正确的是 () A.b一定比a先开始滑动B.a、b所受的摩擦力始终相等C.ω= 是b开始滑动的临界角速度D.当ω= 时,a所受摩擦力的大小为kmg2kgl23kgl答案AC设木块滑动的临界角速度为ω,则有kmg=mω2r,所以ω= ,又ra=l,rb=2l,所以ωaωb,A、C项正确;摩擦力充当向心力,在角速度相等时,b受的摩擦力大,B项错误;ω= 时,a受的摩擦力fa=mω2r=m l= kmg,D项错误。kgr23kgl223kgl231-2如图所示,细绳一端系着质量m'=0.6kg的物体,静止在水平面上,另一端通过光滑的小孔吊着质量m=0.3kg的物体,m'的重心与圆孔的距离为0.2m,并知m'和水平面间的最大静摩擦力为2N。现使此平面绕中心轴线转动,问角速度ω在什么范围,m会处于静止状态。(取g=10m/s2) 答案2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s解析要使m静止,m'也应与平面相对静止,而m'与平面相对静止时有两个临界状态当ω为所求范围最小值时,m'有向着圆心运动的趋势,水平面对m'的静摩擦力的方向背离圆心,大小等于最大静摩擦力2N此时,对m'运用牛顿第二定律有T-fmax=m' r,且T=mg解得ω1=2.9rad/s21ω当ω为所求范围最大值时,m'有背离圆心运动的趋势,水平面对m'的静摩擦力的方向指向圆心,大小还等于最大静摩擦力2N再对m'运用牛顿第二定律,有T+fmax=m' r,且T=mg解得ω2=6.5rad/s所以,题中所求ω的范围是2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s。22ω1-3如图所示,在光滑的圆锥体顶端用长为l的绳悬挂一质量为m的小球。圆锥体固定在水平面上不动,其轴线沿竖直方向,母线与轴线之间的夹角为30°。小球以速率v绕圆锥体轴线做水平匀速圆周运动。(1)当v1= 时,求绳对小球的拉力;(2)当v2= 时,求绳对小球的拉力。 /6gl3/2gl答案(1)1.03mg(2)2mg解析如图所示,小球在锥面上运动,若支持力FN=0,小球只受重力mg和绳的拉力FT作用,合力沿水平面指向轴线。根据牛顿第二定律有 mgtanθ=m =m 解得v0= 20vr20sinvlθ3/6gl(1)因为v1v0,所以小球与锥面接触并产生弹力FN,此时小球受力如图甲所示根据牛顿第二定律有FTsinθ-FNcosθ= FTcosθ+FNsinθ-mg=0解得FT=1.03mg21sinmvlθ 甲乙(2)因为v2v0,所以小球与锥面脱离,设绳与竖直方向的夹角为α,此时小球受力如图乙所示。根据牛顿第二定律有:FTsinα= FTcosα-mg=0解得FT=2mg22sinmvlα考点二竖直面圆周运动中的临界问题竖直圆周运动中的“绳”“杆”模型2-1如图所示,质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环轨道上做圆周运动。圆环半径为R,小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环,则其通过最高点时 (C) A.小球对圆环的压力大小等于mgB.小球受到的向心力等于0C.小球的线速度大小等于 D.小球的向心加速度大小等于2ggR解析小球在最高点时刚好不脱离圆环,则圆环刚好对小球没有作用力,小球只受重力,重力(竖直向下)提供向心力,根据牛顿第二定律得小球的向心加速度大小为a= =g,再根据圆周运动规律知a= ,解得v= 。mgm2vRgR2-2如图所示,小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动,内侧壁半径为R,小球半径为r,则下列说法正确的是 (B) A.小球通过最高点时的最小速度vmin= B.小球通过最高点时的最小速度vmin=0C.小球在水平线ab以下的管道中运动时,内侧管壁对小球可能有作用力D.小球在水平线ab以上的管道中运动时,外侧管壁对小球一定有作用力()gRr解析小球沿管道上升到最高点时的速度可以为零,故A错误,B正确;小球在水平线ab以下的管道中运动时,由外侧管壁对小球的作用力FN与小球的重力在背离圆心方向的分力Fmg的合力提供向心力,即FN-Fmg=m ,因此,外侧管壁一定对球有作用力,而内侧管壁无作用力,C错误;小球在水平线ab以上的管道中运动时,小球受管壁的作用力与小球速度大小有关,当经过最高点的速度大于 ,外侧管壁对球有作用力,当经过最高点的速度小于等于 时,外侧管壁对球无作用力,D错误。2vRrgRgR