搜索
第3讲机械能守恒定律及其应用一重力势能二弹性势能三机械能守恒定律知识梳理考点一弹性势能和弹簧弹力做功考点二机械能守恒条件的判断方法考点三单一物体的机械能守恒问题深化拓展考点四系统机械能守恒知识梳理一、重力势能1.定义:物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积。2.公式:Ep=mgh。3.矢标性:重力势能是标量,但有正、负,其意义是表示物体的重力势能比它在①零势能面上的重力势能大还是小,这与功的正、负的物理意义不同。4.特点(1)系统性:重力势能是②地球和③物体共有的。(2)相对性:重力势能的大小与④零势能面的选取有关。重力势能的变化是绝对的,与参考平面的选取无关。5.重力做功与重力势能变化的关系重力做正功时,重力势能减小;重力做负功时,重力势能增加;重力做多少正(负)功,重力势能就减小(增加)多少,即WG=⑤-ΔEp。二、弹性势能1.定义:物体由于发生①弹性形变而具有的能。2.大小:弹性势能的大小与②形变量及③劲度系数有关,弹簧的形变量越大,劲度系数④越大,弹簧的弹性势能⑤越大。3.弹力做功与弹性势能变化的关系弹力做正功,弹性势能减小;弹力做负功,弹性势能增加,即弹簧恢复原长过程中弹力做正功,弹性势能减小,形变量变大的过程中弹力做负功,弹性势能增加。三、机械能守恒定律1.内容:在只有①重力或弹力做功的物体系统内,②动能和③势能可以相互转化,而机械能的总量④保持不变。2.守恒表达式观点表达式守恒观点E1=E2,Ek1+Ep1=⑤Ek2+Ep2转化观点ΔEk=⑥-ΔEp转移观点ΔEA=⑦-ΔEB1.将质量为100kg的物体从地面提升到10m高处,在这个过程中,下列说法中正确的是(取g=10m/s2) (C)A.重力做正功,重力势能增加1.0×104JB.重力做正功,重力势能减少1.0×104JC.重力做负功,重力势能增加1.0×104JD.重力做负功,重力势能减少1.0×104J解析提升物体过程中,重力做多少负功,重力势能就增加多少。2.如图所示,在光滑水平面上有一物体,它的左端连接着一轻弹簧,弹簧的另一端固定在墙上,在力F作用下物体处于静止状态,当撤去力F后,物体将向右运动,在物体向右运动的过程中,下列说法正确的是 (D) A.弹簧的弹性势能逐渐减少B.物体的机械能不变C.弹簧的弹性势能先增加后减少D.弹簧的弹性势能先减少后增加解析撤去力F后,物体向右先加速运动,后减速运动,在弹簧恢复原长之前,弹性势能减少,之后弹簧被拉长,弹性势能变大。3.从高为h处以速度v0竖直向上抛出一个质量为m的小球,如图所示。若取抛出点小球的重力势能为0,不计空气阻力,则小球着地时的机械能为 (C)A.mghB.mgh+ m C. m D. m -mgh1220v1220v1220v解析若取抛出点小球的重力势能为0,不计空气阻力,则小球刚抛出时的机械能为 m ,因小球运动过程中只有重力做功,小球机械能守恒,则小球着地时的机械能为 m 。1220v1220v深化拓展考点一弹性势能和弹簧弹力做功一、弹性势能1.定义:物体发生弹性形变时所具有的能量叫弹性势能2.表达式:E弹= kx2123.说明(1)弹性势能是相对系统而言。发生形变的物体上所有质点因相对位置改变而具有的能量。(2)弹性势能也是相对的,对弹簧,一般规定零势能点在原长位置。二、弹簧弹力做功与弹性势能的变化1.弹簧弹力做正功,弹性势能减少弹簧弹力做负功,弹性势能增加2.表达式W弹=-ΔEp= k - k W弹=EP1-EP2 1221x1222x1-1(2015北京理综,23)如图所示,弹簧的一端固定,另一端连接一个物块,弹簧质量不计。物块(可视为质点)的质量为m,在水平桌面上沿x轴运动,与桌面间的动摩擦因数为μ。以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O,当弹簧的伸长量为x时,物块所受弹簧弹力大小为F=kx,k为常量。(1)请画出F随x变化的示意图;并根据F-x图像求物块沿x轴从O点运动到位置x的过程中弹力所做的功。(2)物块由x1向右运动到x3,然后由x3返回到x2,在这个过程中,a.求弹力所做的功,并据此求弹性势能的变化量;b.求滑动摩擦力所做的功;并与弹力做功比较,说明为什么不存在与摩擦力对应的“摩擦力势能”的概念。 答案(1)F-x图像如图- kx2 (2)a. k - k k - k b.见解析121221x1222x1222x1221x解析(1)F-x图像答案见图。物块沿x轴从O点运动到位置x的过程中,弹力做负功;F-x图线下的面积等于弹力做功大小。弹力做功WT=- ·kx·x=- kx2(2)a.物块由x1向右运动到x3的过程中,弹力做功WT1=- ·(kx1+kx3)·(x3-x1)= k - k 物块由x3向左运动到x2的过程中,弹力做功1212121221x1223xWT2= ·(kx2+kx3)·(x3-x2)= k - k 整个过程中,弹力做功WT=WT1+WT2= k - k 弹性势能的变化量ΔEp=-WT= k - k b.整个过程中,摩擦力做功Wf=-μmg·(2x3-x1-x2)121223x1222x1221x1222x1222x1221x与弹力做功比较:弹力做功与x3无关,即与实际路径无关,只与始末位置有关,所以,我们可以定义一个由物体之间的相互作用力(弹力)和相对位置决定的能量——弹性势能。而摩擦力做功与x3有关,即与实际路径有关,所以,不可以定义与摩擦力对应的“摩擦力势能”。1-2如图甲所示,在劲度系数为k的轻弹簧下挂一个质量为m的物体,将物体从弹簧原长处无初速释放;图乙所示的物体和弹簧与图甲中完全相同,用手托着物体从弹簧原长处缓缓下落,直至手离开物体后,物体处于静止状态。(不考虑空气阻力) (1)简要说明图甲中的物体被释放后做什么运动;(2)作出图乙中手对物体的支持力F随物体下降位移x变化的示意图,借助F-x图像求支持力F做的功的大小;(3)利用弹力做功只和始末位置有关的特点,求图甲中物体运动的最大速度。答案见解析解析(1)图甲所示物体被释放后做简谐运动。(2)图乙中物体受重力mg、弹簧弹力f和支持力F,因为缓缓下落,所以对任意位置满足F=mg-kx当下降位移x=0时,支持力F=mg当mg=kx,即下降位移x= 时,支持力F=0F-x图像如图所示,图线与横轴所围的面积表示支持力F做的功mgk W= mg· = (3)图甲所示物体运动过程中只受到重力和弹簧的弹力,在受力满足mg=kx',即下降位移x'= 时,有最大速度v12mgk222mgkmgk对物体从释放到有最大速度的过程应用动能定理,有mgx'-W弹= mv2因为图甲与图乙所示弹簧完全相同且弹簧弹力做的功只与始末位置有关,故上式中的W弹与图乙所示物体运动过程中弹簧弹力做的功相等对图乙所示物体的运动过程应用动能定理,有mgx-W弹'-W=0得到W弹=W弹'= 12222mgk解得:图甲中物体运动的最大速度v=g mk考点二机械能守恒条件的判断方法1.利用机械能的定义判断:分析动能与势能的和是否变化。如:匀速下落的物体动能不变,重力势能减少,物体的机械能必减少。2.用做功判断:若物体只有重力或系统只有重力(或系统内弹力)做功,或有其他力做功,但其他力做功的代数和为零,机械能守恒。3.用能量转化来判断:若系统中只有动能和势能的相互转化,而无机械能与其他形式的能的转化,则系统的机械能守恒。4.对一些绳子突然绷紧、物体间非弹性碰撞等问题机械能一般不守恒,除非题中有特别说明或暗示。【情景素材·教师备用】下列各种情况中的物体机械能是否守恒?2-1在如图所示的物理过程示意图中,甲图为一端固定有小球的轻杆,从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动;乙图为末端固定有小球的轻质直角架,释放后绕通过直角顶点的固定轴O无摩擦转动;丙图为置于光滑水平面上的A、B两小车,B静止,A获得一向右的初速度后向右运动,某时刻连接两车的细绳绷紧,然后带动B车运动;丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车,把用细绳悬挂的小球从图示位置释放,小球开始摆动。则关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计),下列判断中正确的是 () A.甲图中小球机械能守恒B.乙图中小球A的机械能守恒C.丙图中两车组成的系统机械能守恒D.丁图中小球的机械能守恒答案A甲图过程中轻杆对小球不做功,小球的机械能守恒;乙图过程中A、B两球通过杆相互影响(例如开始时A球带动B球转动),每个小球的机械能不守恒,但把两个小球作为一个系统时机械能守恒;丙图中绳子绷紧的过程虽然只有弹力作为内力做功,但弹力突变时有热量产生,机械能不守恒;丁图过程中细绳也会拉动小车运动,取地面为参考系,小球的轨迹不是圆弧,细绳会对小球做功,小球的机械能不守恒,把小球和小车当做一个系统,机械能才守恒。2-2(多选)如图所示,细绳跨过定滑轮悬挂两物体M和m,且M的质量大于m的质量,不计摩擦,系统由静止开始运动的过程中 (BD)A.M、m各自的机械能分别守恒B.M减少的机械能等于m增加的机械能C.M减少的重力势能等于m增加的重力势能D.M和m组成的系统机械能守恒解析M下落过程中,绳的拉力对M做负功,M的机械能减少;m上升过程中,绳的拉力对m做正功,m的机械能增加,A错误。对M、m组成的系统,机械能守恒,易得B、D正确。M减少的重力势能并没有全部用于m重力势能的增加,还有一部分转化成M和m的动能,所以C错误。考点三单一物体的机械能守恒问题解单一物体的机械能守恒问题的一般步骤(1)选取研究对象;(2)分析运动过程,分析受力和做功情况,判断机械能是否守恒;(3)选取参考平面,确定初、末状态的机械能,并正确表达;(4)建立守恒方程,进行求解,并对结果作必要的分析讨论。【情景素材·教师备用】常见的单个物体的机械能守恒问题的情境: 3-1如图所示,质量为m的物体,以速度v离开高为H的水平桌面,当它落到距地面高为h的A点时,在不计空气阻力的情况下,下列判断错误的是 () A.若取地面为零势能面,物体在A点具有的机械能是 mv2+mgHB.若取桌面为零势能面,物体在A点具有的机械能是 mv2C.物体在A点具有的动能是 mv2+mg(H-h)D.物体在A点具有的动能与重力势能的零参考面的选取有关,因此是不确定的121212答案D运动过程中,小球只受重力作用,机械能是守恒的,所以若取地面为零势能面,物体在A点具有的机械能为 mv2+mgH,A正确;若取桌面为零势能面,物体在A点具有的机械能是 mv2,B正确;重力势能的减小量转化为动能的增加量,所以物体在A点具有的动能是 mv2+mg(H-h),C正确,D错误。1212123-2如图,在竖直平面内有由 圆弧AB和 圆弧BC组成的光滑固定轨道,两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R,BC弧的半径为 。一小球在A点正上方与A相距 处由静止开始自由下落,经A点沿圆弧轨道运动。(1)求小球在B、A两点的动能之比;(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。14122R4R答案见解析解析(1)设小球的质量为m,小球在A点的动能为EkA,由机械能守恒得EkA=mg 设小球在B点的动能为EkB,同理有EkB=mg 得 =5(2)若小球能沿轨道运动到C点,小球在C点所受轨道的正压力N应满足N≥0设小球在C点的速度大小为vC,由牛顿运动定律和向心加速度公式有N+4R54RkkBAEEmg=m 得vC应满足mg≤m 由机械能守恒有mg = m 可知小球恰好可以沿轨道运动到C点。22CvR22CvR4R122Cv考点四系统机械能守恒对系统应用机械能守恒定律要注意以下两点:(1)合理选取系统,判断是哪个系统的机械能守恒;(2)分析清楚系统内各部分机械能(动能、势能)的变化情况。 【情景素材·教师备用】4-1轻杆AB长2L,A端连在固定轴上,B端固定一个质量为2m的小球,中点C固定一个质量为m的小球。AB杆可以绕A端在竖直平面内自由转动。现将杆置于水平位置,如图所示,然后由静止释放,不计各处摩擦力与空气阻力,试求:(1)AB杆转到竖直位置的瞬时角速度ω;(2)AB杆转到竖直位置的过程中,B