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第4课时分式分式的概念定义一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子①叫做分式有意义的条件分母不为0,即B≠0值为0的条件分子为0,且分母不为0,即A=0且B≠0最简分式分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式最简公分母一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母,叫做最简公分母考点一分式的相关概念𝐴𝐵考点二分式的基本性质公因式分式的基本性质AB=A·MB·M,AB=A÷MB÷M(M是不为零的整式)约分根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的②约去,叫做分式的约分,即AB=A÷MB÷M(M≠0)通分根据分式的基本性质,把几个异分母的分式化成与原本的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分考点三分式的运算运算类型字母表示或法则说明分式的加减同分母:ac±bc=③异分母:先通分,转化为④,然后加减分式的乘法ab·cd=⑤分式的除法ab÷cd=⑥=⑦分式的乘方abn=⑧(b≠0,n为正整数)分式的混合运算同实数的运算顺序及运算律,注意结果应化为最简形式𝒂±𝒃𝒄𝑎𝑐𝑏𝑑𝑎𝑏·𝑑𝑐𝑎𝑑𝑏𝑐𝑎𝑛𝑏𝑛同分母分式【温馨提示】分式化简中常见的几个易错点(1)通分时错误:分式通分时,分母与分子同时乘以最简公分母;(2)去括号时符号错误:括号前是“-”号时,去括号后,括号内各项要变号;(3)不要把分式的化简与解分式方程相混淆,不要随意将分母去掉.1.[2017·北京2题]若代数式𝑥𝑥-4有意义,则实数x的取值范围是()A.x=0B.x=4C.x≠0D.x≠4考向一分式有意义及值为0的条件2.[2019·北京9题]若分式𝑥-1𝑥的值为0,则x的值为.3.[2016·北京11题]如果分式2𝑥-1有意义,那么x的取值范围是.4.[2019·石景山二模]若代数式𝑥-2𝑥+1有意义,则x的取值范围是.5.[2019·怀柔二模]若代数式𝑥-1𝑥+1的值为0,则实数x的值为.D1x≠1x≠-11【方法点析】主要考查了分式的值为0的条件.分式的值为0需同时具备两个条件:(1)分子为0;(2)分母不为0.考向二分式的运算、求值6.[2018·延庆期中]计算:𝑎+𝑎+…+𝑎𝑏·𝑏·𝑏·…·𝑏9个7个=()A.9𝑎7𝑏B.𝑎97𝑏C.9𝑎𝑏7D.𝑎9𝑏7C7.老师设计了接力游戏,用合作的方式完成分式化简.规则是:每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后完成化简.过程如图4-1所示:接力中,自己负责的一步出现错误的是()A.只有乙B.甲和丁C.乙和丙D.乙和丁[答案]D[解析]乙在化简过程中将1-x写成了x-1后没有补上负号,所以错误.丁约分后的分母应该是x而不是2,错误.故选D.图4-1[答案]D8.[2019·北京6题]如果m+n=1,那么代数式2𝑚+𝑛𝑚2-𝑚𝑛+1𝑚·(m2-n2)的值为()A.-3B.-1C.1D.3[解析]2𝑚+𝑛𝑚2-𝑚𝑛+1𝑚·(m2-n2)=2𝑚+𝑛𝑚(𝑚-𝑛)+𝑚-𝑛𝑚(𝑚-𝑛)·(m+n)(m-n)=3𝑚𝑚(𝑚-𝑛)·(m+n)(m-n)=3(m+n),∵m+n=1,∴原式=3,故选D.[答案]A9.[2018·北京6题]如果a-b=23,那么代数式𝑎2+𝑏22𝑎-b·𝑎𝑎-𝑏的值为()A.3B.23C.33D.43[解析]原式=(𝑎-𝑏)22𝑎·𝑎𝑎-𝑏=𝑎-𝑏2,把a-b=23代入,原式=232=3,故选A.10.[2017·北京7题]如果a2+2a-1=0,那么代数式a-4𝑎·𝑎2𝑎-2的值是()A.-3B.-1C.1D.3C[答案]A11.[2016·北京6题]如果a+b=2,那么代数式a-𝑏2𝑎·𝑎𝑎-𝑏的值是()A.2B.-2C.12D.-12[解析]a-𝑏2𝑎·𝑎𝑎-𝑏=𝑎2-𝑏2𝑎·𝑎𝑎-𝑏=(𝑎-𝑏)(𝑎+𝑏)𝑎·𝑎𝑎-𝑏=a+b=2.B12.[2019·海淀一模]如果a2-ab-1=0,那么代数式𝑎2𝑎-𝑏·a+𝑏2-2𝑎𝑏𝑎的值是()A.-1B.1C.-3D.313.[2019·大兴一模]若a=5+2,b=5-2,则代数式1𝑎+𝑏+𝑏𝑎2-𝑏2÷𝑎𝑎+𝑏的值为()A.4B.14C.2D.1214.[2019·怀柔一模]化简代数式x+1+1𝑥-1÷𝑥2𝑥-2,正确的结果为.15.[2018·大兴检测]若𝑥𝑦=32,则5𝑦2𝑥-2𝑦-x-2y÷𝑥2-6𝑥𝑦+9𝑦2𝑥-2𝑦的值是.16.[2019·延庆一模]如果a2-a-3=0,那么代数式1-2𝑎-1𝑎2÷𝑎-1𝑎3的值是.B2x3317.[2018·朝阳一模]先化简,再求值:2-𝑎𝑎2-1÷1𝑎-1+𝑎-1𝑎+1,其中a=4.解:2-𝑎𝑎2-1÷1𝑎-1+𝑎-1𝑎+1=2-𝑎(𝑎+1)(𝑎-1)·(a-1)+𝑎-1𝑎+1=1𝑎+1.当a=4时,原式=15.18.[2019·顺义一模]已知x2+3x-3=0,求代数式1-3𝑥÷𝑥-3𝑥+3-𝑥+6𝑥+3的值.解:∵x2+3x-3=0,∴x2+3x=3.1-3𝑥÷𝑥-3𝑥+3-𝑥+6𝑥+3=𝑥-3𝑥·𝑥+3𝑥-3-𝑥+6𝑥+3=𝑥+3𝑥-𝑥+6𝑥+3=𝑥2+6𝑥+9-𝑥2-6𝑥𝑥(𝑥+3)=9𝑥2+3𝑥=3.19.[2019·房山一模改编]已知m2+m-3=0,求m+2𝑚+1𝑚÷𝑚+1𝑚2的值.解:原式=𝑚2+2𝑚+1𝑚÷𝑚+1𝑚2=(𝑚+1)2𝑚·𝑚2𝑚+1=m(m+1)=m2+m,当m2+m-3=0,即m2+m=3时,原式=3.20.[2019·娄底]先化简,再求值:𝑎2-2𝑎𝑏+𝑏2𝑎-𝑏+1𝑏-1𝑎,其中a=2-1,b=2+1.解:原式=(𝑎-𝑏)2𝑎-𝑏+𝑎-𝑏𝑎𝑏=a-b+𝑎-𝑏𝑎𝑏.∵a=2-1,b=2+1,∴a-b=(2-1)-(2+1)=-2,ab=(2-1)(2+1)=1,∴原式=-2+-21=-4.21.先化简,再求值:1+3𝑥-1𝑥+1÷𝑥𝑥2-1,其中x是不等式组1-𝑥-1-𝑥2,𝑥-10的整数解.解:解不等式1-x-1-𝑥2,得x3,解不等式x-10得x1,所以不等式组的解集为1x3,它的整数解为2,1+3𝑥-1𝑥+1÷𝑥𝑥2-1=4𝑥𝑥+1÷𝑥𝑥2-1=4𝑥𝑥+1·(𝑥+1)(𝑥-1)𝑥=4x-4,当x=2时,原式=4×2-4=4.22.[2018·门头沟期末]阅读材料,并回答问题.小明在学习分式运算过程中,计算1𝑥+2-1𝑥-2的解答过程如下:解:1𝑥+2-1𝑥-2=𝑥-2(𝑥+2)(𝑥-2)-𝑥+2(𝑥-2)(𝑥+2)①=(x-2)-(x+2)②=x-2-x-2③=-4.④问题:(1)上述计算过程中,从第步开始出现了错误(填序号);(2)发生错误的原因是:;(3)在下面的空白处,写出正确的解答过程.解:(1)②(2)丢掉了分母(3)1𝑥+2-1𝑥-2=𝑥-2(𝑥+2)(𝑥-2)-𝑥+2(𝑥-2)(𝑥+2)=(𝑥-2)-(𝑥+2)(𝑥+2)(𝑥-2)=-4(𝑥+2)(𝑥-2)=-4𝑥2-4.【方法点析】在分式通分时最简公分母的确定方法如下:(1)取各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.(2)取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.(3)若分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.