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第1课时实数的有关概念1.按定义分实数有理数整数分数:①小数或无限②小数无理数正无理数负无理数无限③小数考点一实数及其分类有限循环不循环2.按大小分(1)实数可分为正实数、0和负实数,0既不是正数,也不是负数.(2)正负数的意义:一般地,对于具有相反意义的量,我们可以把其中一种意义的量规定为正的,并在表示这个量的前面放上“+”;把与它意义相反的量规定为负的,并在表示这个量的前面放上“-”.如规定向东为“+”,则向西为“-”;规定零上为“+”,则零下为“-”.【温馨提示】1.常见的4种无理数类型:(1)根号型:,等开方开不尽的数;(2)三角函数型:如sin60°,tan30°等;(3)构造型:如0.1010010001…(每相邻两个1之间依次多一个0)等;(4)与π有关的数:如,π-1等.判断一个数是不是无理数,不要只看形式,要看化简结果是不是无限不循环小数.2.判断实数的正负,一定要先化简,再根据定义判断,如-(-2)=2是正数;注意-a不一定是负数,要对a进行分类讨论.1.数轴:规定了原点、④和⑤的直线.数轴上的点与实数一一对应.图1-1考点二实数的有关概念正方向单位长度-a12.相反数:a的相反数是⑥,0的相反数是0.3.倒数:乘积是⑦的两个数互为倒数.0没有倒数,倒数等于本身的数是±1.4.绝对值:𝑎=⑧(𝑎0),⑨(𝑎=0),⑩(𝑎0).几何意义:数轴上表示这个数的点到原点的距离,离原点越远的点对应的数的绝对值越大.a0-a1.定义:把一个数写成a×10n的形式,其中,1≤|a|10,n为整数.2.n的确定(1)对于绝对值大于10的数,n为正数,n等于原数的整数位数减1;(2)对于绝对值大于0且小于1的数,n为负数,n的绝对值等于原数左起第一个非零数前所有零的个数(包括小数点前的零).3.常考的计数单位和计量单位:1亿=,1万=;1mm=1×10-3m,1nm=1×10-9m等.考点三科学记数法与近似数1×1081×1044.科学记数法的还原(1)绝对值大于10的数的还原:将数a的小数点向移动n位;(2)绝对值大于0且小于1的数的还原:将数a的小数点向移动|n|位.5.近似数的精确度:一个近似数四舍五入到哪一位,它就精确到哪一位.例如:近似数12.30精确到位,近似数12.30亿精确到位.右左百分百万考点四平方根、算术平方根与立方根类型a的平方根a的算术平方根a的立方根表示方法±aaa3a0有个值,它们互为有个值,是平方根中的有个值,结果为正数a=0结果为结果为结果为a0结果不存在结果不存在结果为负数两相反数1正值1000考点五二次根式的意义与性质双重非负性a≥0,且≥0两个重要性质(a)2=(),a2==㉙(a≥0),㉚(a0)aaa≥0|a|a-a考点六非负数非负数的概念正数和零叫做非负数常见的非负数|a|,a2,a(a≥0),其中a可代表一个数或一个式子非负数的性质若几个非负数的和等于0,则这几个数都为0.如:a2+|b|+c=0,则有a2=0,|b|=0,c=0,即a=b=c=01.[2013·北京2题]-34的倒数是()A.43B.34C.-34D.-43考向一实数的有关概念及分类DB2.[2014·北京1题]2的相反数是()A.2B.-2C.-12D.123.[2018·顺义期末]在实数227,-3,3π2,93,3.14中,无理数有()A.2个B.3个C.4个D.5个4.[2018·怀柔期末]3的算术平方根是()A.±3B.3C.-3D.95.[2019·海淀二模]-27的立方根是()A.-3B.3C.±3D.-33BBA6.[2015·北京3题]实数a,b,c,d在数轴上的对应点的位置如图1-2所示,这四个数中,绝对值最大的是()图1-2A.aB.bC.cD.dA7.[2018·顺义期末]实数a,b在数轴上的位置如图1-3所示,以下说法正确的是()图1-3A.a+b0B.ab0C.abD.|a||b|D8.[2019·房山二模]实数a,b,c,d在数轴上的对应点的位置如图1-4所示,则正确的结论是()图1-4A.bc0B.a+d0C.|a||c|D.b-2B9.[2019·丰台二模]如图1-5,将一把刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是1cm),刻度尺上的“0cm”和“6cm”分别对应数轴上表示-2和实数x的两点,那么x的值为()图1-5A.3B.4C.5D.6B10.[2019·朝阳一模]实数m,n在数轴上对应的点的位置如图1-6所示,若mn0,且|m||n|,则原点可能是()图1-6A.点AB.点BC.点CD.点DB11.[2019·北京4题]在数轴上,点A,B在原点O的两侧,分别表示数a,2,将点A向右平移1个单位长度,得到点C.若CO=BO,则a的值为()A.-3B.-2C.-1D.112.[2017·北京11题]写出一个比3大且比4小的无理数:.Aπ(答案不唯一)【方法点析】(1)数轴上的点与实数是一一对应的,数轴上的点越向右,对应的数值越大;(2)数轴上,原点代表的数值是0,原点右侧是正数,原点左侧是负数;(3)数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值;(4)数轴上绝对值的体现:离原点越远,数值的绝对值越大,反之越小.考向二科学记数法13.[2019·北京1题]4月24日是中国航天日,1970年的这一天,我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射,标志着中国从此进入了太空时代,它的运行轨道距地球最近点439000米.将439000用科学记数法表示应为()A.0.439×106B.4.39×106C.4.39×105D.439×103C14.[2019·海淀二模]科学家在海底下约4.8千米深处的沙岩中,发现了一种世界上最小的神秘生物,它们的最小身长只有0.00000002米,甚至比已知的最小细菌还要小.将0.00000002用科学记数法表示为()A.2×10-7B.2×10-8C.2×10-9D.2×10-1015.[2018·北京4题]被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积.已知一个标准足球场的面积为7140m2,则FAST的反射面总面积约为()A.7.14×103m2B.7.14×104m2C.2.5×105m2D.2.5×106m2BC16.[2016·石景山二模]据有关部门数据统计,2015年中国新能源汽车销量超过33万辆,创历史新高.数据“33万”用科学记数法表示为()A.33×104B.3.3×104C.3.3×105D.0.33×10617.[2019·丰台二模]2019年4月10日,天文学家召开全球新闻发布会,发布首次直接拍摄到的黑洞照片,这颗黑洞位于代号为M87的星系当中,距离地球5500万光年,质量相当于65亿颗太阳,太阳质量大约是2.0×1030千克,那么这颗黑洞的质量约是()A.130×1030千克B.1.3×1038千克C.1.3×1040千克D.1.3×1041千克CC18.[2019·延庆一模]北京市将在2019年北京世界园艺博览会、北京新机场、2022年冬奥会场馆等地,率先开展5G网络的商用示范,目前,北京市已经在怀柔区试验场对5G进行相应的实验工作,现在4G网络在理想状态下,峰值速率约是100Mbps,未来5G网络峰值速率是4G网络的204.8倍,那么未来5G网络峰值速率约为()A.1×102MbpsB.2.048×102MbpsC.2.048×103MbpsD.2.048×104MbpsD19.[2019·朝阳一模]电影《流浪地球》中,人类计划带着地球一起逃到距地球4光年的半人马星座比邻星.已知光年是天文学中的距离单位,1光年大约是95000亿千米,则4光年约为()A.9.5×104亿千米B.95×104亿千米C.3.8×105亿千米D.3.8×104亿千米20.一个整数815550…0用科学记数法表示为8.1555×1010,则原数中0的个数为()A.4B.6C.7D.10CB【方法点析】科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数的绝对值10时,n是正数;当原数的绝对值大于0小于1时,n是负数.对于含计数单位并需转换单位的数,可以利用1亿=1×108,1万=1×104来表示,可以提高解题效率.考向三非负数和为021.[2019·海淀期末]已知|a-2|+(b+3)2=0,则ba=.922.[2015·通州二模]小明在做九年级复习归纳时发现初中阶段学习了三类非负数,分别是①a2;②(a≥0);③|a|(a是任意实数).于是他结合所学习的三类非负数的知识,自己编了一道题:已知(x+2)2+|x+y-1|=0,求xy的值.请你利用三类非负数的知识解这个问题.解:∵(x+2)2+|x+y-1|=0,且(x+2)2≥0,|x+y-1|≥0,∴𝑥+2=0,𝑥+𝑦-1=0,∴𝑥=-2,𝑦=3,∴xy=(-2)3=-8.【方法点析】(1)中学常见的三个非负数形式为:|a|≥0;≥0(a≥0);a2≥0.(2)若几个非负数的和为0,则这几个非负数都为0.考向四二次根式DA23.[2019·大兴期末]下列二次根式中,最简二次根式是()A.8B.3𝑚2C.12D.624.[2019·海淀一模]若𝑥-1在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是()A.x≥1B.x≤1C.x1D.x≠125.[2019·怀柔期末]下列代数式能作为二次根式被开方数的是()A.3-πB.aC.a2+1D.2x+426.[2019·顺义期末]25的平方根是.27.[2018·北京10题]若𝑥在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是.28.若y=𝑥-12+12-𝑥-6,则xy=.C±5x≥0-329.[2019·台州]计算:12+|1-3|-(-1).30.[2019·泰州]计算:8-12×6.解:原式=22-22×6=322×6=33.31.[2019·荆州]已知:a=(3-1)(3+1)+|1-2|,b=8-2sin45°+12-1,求b-a的算术平方根.解:∵a=(3-1)(3+1)+|1-2|=3-1+2-1=1+2,b=8-2sin45°+12-1=22-2+2=2+2,∴b-a=2+2-1-2=1.∴𝑏-𝑎=1=1.解:原式=23+3-1+1=33.32.[2017·怀柔二模]下面是某位同学进行实数运算的全过程,其中有几处错误,请在题中圈出来,并直接写出正确答案.计算:9-83+|-2|-(3-2)0.解:原式=9-2+2-0=9-0=9.解:原式=-+2-=-0=.正解:原式=3-2+2-1=2.