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第14课时二次函数的应用抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数判别式b2-4ac的正负方程ax2+bx+c=0的实数根个数2个b2-4ac0两个①的实数根1个b2-4ac=0两个②的实数根没有b2-4ac0③实数根1.二次函数与一元二次方程的关系考点一二次函数与一元二次方程、不等式的关系考点聚焦不相等相等没有2.二次函数与不等式的关系(1)ax2+bx+c0的解集函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方的部分对应的点的横坐标的取值范围.(2)ax2+bx+c0的解集函数y=ax2+bx+c的图象位于④的部分对应的点的横坐标的取值范围.x轴下方考点二建立二次函数模型解决问题常见类型关键步骤抛物线形问题建立方便求解析式的平面直角坐标系,找到图象上三点的坐标,用待定系数法求二次函数的解析式销售利润问题理清各个量之间的关系,找出等量关系求得解析式,根据要求确定函数的最值或建立方程求解图形面积问题利用几何知识用变量x表示出图形的面积y,根据要求确定函数的最值或建立方程求解【温馨提示】(1)求二次函数的最值时,要注意实际问题中自变量的取值限制对最值的影响.若对称轴对应的取值不在自变量的取值范围内,则最值在函数自变量取值对应的图象的端点处取得.(2)建立平面直角坐标系的标准是易于求二次函数的解析式.题组一必会题对点演练1.抛物线y=2x2-22x+1与坐标轴的交点个数是()A.0B.1C.2D.32.已知二次函数y=x2+bx+c的部分图象如图14-1所示,若y0,则x的取值范围是()A.-1x4B.-1x3C.x-1或x4D.x-1或x3CB图14-13.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图14-2所示,则下列结论中正确的是()A.a0B.c0C.3是方程ax2+bx+c=0的一个根D.当x1时,y随x的增大而减小C图14-24.抛物线y=x2-2x+m与x轴有两个交点,则m的取值范围为()A.m1B.m=1C.m1D.m4C(5,0),(-2,0)5.二次函数y=x2-3x-10的图象与x轴的交点坐标是;与y轴的交点坐标是.(0,-10)【失分点】当自变量取值为任意实数时,二次函数图象顶点在x轴上、二次函数图象与x轴只有一个交点、二次函数的最小(大)值为0三者等价;求函数的取值范围需注意对应的图象是否经过了顶点,注意端点取值等问题.题组二易错题6.二次函数y=x2-ax+1的最小值为0,则a的值是.±27.二次函数y=x2-2x-3,当-1x4时,y的取值范围是.-4≤y5考向一二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系例1[2019·西城期末]如图14-3,抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(-3,-6),B(1,-2),则关于x的方程ax2+bx=mx+n的解为;不等式ax2+bxmx+n的解集为.[答案]x1=-3,x2=1;-3x1[解析]∵抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(-3,-6),B(1,-2),∴关于x的方程ax2+bx=mx+n的解为x1=-3,x2=1.由图象可得不等式的解集为-3x1.|考向精练|1.[2019·朝阳期中]已知抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:①抛物线y=ax2+bx+c的开口向下;②抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1;③方程ax2+bx+c=0的实数根为0和2;④当y0时,x的取值范围是x0或x2.以上结论中正确的是()A.①④B.②④C.②③D.③④x…-10123…y…30-103…[答案]D[解析]从表格可以看出,函数图象的对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,-1),函数有最小值,函数图象与x轴的交点坐标分别为(0,0),(2,0),抛物线y=ax2+bx+c的开口向上,故①错误;抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1,故②错误;方程ax2+bx+c=0的实数根为0和2,③正确;当y0时,x的取值范围是x0或x2,④正确.故正确的是③④.2.[2019·平谷期末]如图14-4是二次函数y=-x2+4x的图象,若关于x的一元二次方程-x2+4x-t=0(t为实数)在1x5的取值范围内有解,则t的取值范围是.[答案]-5t≤4[解析]y=-x2+4x=-(x-2)2+4,当x=2时,y有最大值4,当x=5时,y=-x2+4x=-5.关于x的一元二次方程-x2+4x-t=0(t为实数)在1x5的取值范围内有解可看作抛物线y=-x2+4x与直线y=t在1x5内有公共点,所以t的取值范围为-5t≤4.图14-4考向二二次函数的实际应用例2[2019·石景山二模]如图14-5,在喷水池的中心A处竖直安装一根水管AB,水管的顶端安有一个喷水头,喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C,高度为3m,水柱落地点D离池中心A处3m,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,当选取点A为坐标原点时,抛物线的表达式为y=-(x-1)2+3(0≤x≤3),则选取点D为坐标原点时的抛物线表达式为,水管AB的长为m.图14-5[答案]y=-34(x+2)2+3(-3≤x≤0);94[解析]当以A为坐标原点时,抛物线的表达式为y=-34(x-1)2+3(0≤x≤3),当以D为坐标原点时,相当于将以A为坐标原点的抛物线向左平移3个单位,此时抛物线的表达式为y=-34(x+2)2+3(-3≤x≤0).这时A(-3,0),AB=yB=-34×(-3+2)2+3=94.|考向精练|1.[2019·房山二模]如图14-6,以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系h=20t-5t2.下列叙述正确的是()A.小球的飞行高度不能达到15mB.小球的飞行高度可以达到25mC.小球从飞出到落地要用时4sD.小球飞出1s时的飞行高度为10m图14-6[答案]C[解析]因为h=20t-5t2=-5(t2-4t)=-5(t-2)2+20,所以可得A,B,D都不对,当h=0时,t=0或4,C是正确的.故选C.2.[2019·房山一模]加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图14-7记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为()A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟图14-7[答案]B[解析]根据题意,将(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)代入p=at2+bt+c,得9𝑎+3𝑏+𝑐=0.7,16𝑎+4𝑏+𝑐=0.8,25𝑎+5𝑏+𝑐=0.5,解得𝑎=-0.2,𝑏=1.5,𝑐=-2,即p=-0.2t2+1.5t-2,当t=-1.5-0.2×2=3.75时,p取得最大值.考向三二次函数的综合问题例3[2019·北京26题]在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx-1𝑎与y轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B在抛物线上.(1)求点B的坐标(用含a的式子表示);(2)求抛物线的对称轴;(3)已知点P12,-1𝑎,Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.解:(1)∵抛物线与y轴交于点A,∴令x=0,得y=-1𝑎,∴点A的坐标为0,-1𝑎.∵点A向右平移2个单位长度,得到点B,∴点B的坐标为2,-1𝑎.例3[2019·北京26题]在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx-1𝑎与y轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B在抛物线上.(2)求抛物线的对称轴;(2)∵抛物线过点A0,-1𝑎和点B2,-1𝑎,由对称性可得,抛物线对称轴为直线x=0+22=1.例3[2019·北京26题]在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx-1𝑎与y轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B在抛物线上.(3)已知点P12,-1𝑎,Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.(3)根据题意可知,抛物线y=ax2+bx-1𝑎经过点A0,-1𝑎,B2,-1𝑎.①当a0时,则-1𝑎0,分析图象可得:点P12,-1𝑎在对称轴左侧,抛物线上方,点Q(2,2)在对称轴右侧,抛物线上方,此时线段PQ与抛物线没有交点.②当a0时,则-1𝑎0.分析图象可得:当点Q在点B上方或与点B重合时,抛物线与线段PQ恰有一个公共点,此时-1𝑎≤2,即a≤-12.综上所述,当a≤-12时,抛物线与线段PQ恰有一个公共点.1.[2019·西城一模]在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2-mx+n.(1)当m=2时,①求抛物线的对称轴,并用含n的式子表示顶点的纵坐标;②若点A(-2,y1),B(x2,y2)都在抛物线上,且y2y1,则x2的取值范围是;(2)已知点P(-1,2),将点P向右平移4个单位长度,得到点Q.当n=3时,若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求m的取值范围.|考向精练|解:(1)①∵m=2,∴抛物线为y=x2-2x+n.∵x=--22=1,∴抛物线的对称轴为直线x=1.∵当x=1时,y=1-2+n=n-1,∴顶点的纵坐标为n-1.②x2-2或x24.1.[2019·西城一模]在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2-mx+n.(2)已知点P(-1,2),将点P向右平移4个单位长度,得到点Q.当n=3时,若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求m的取值范围.(2)∵点P(-1,2)向右平移4个单位长度得到点Q,∴点Q的坐标为(3,2).∵n=3,∴抛物线为y=x2-mx+3.当抛物线经过点Q(3,2)时,2=32-3m+3,解得m=103.当抛物线经过点P(-1,2)时,2=(-1)2+m+3,解得m=-2.当抛物线的顶点在线段PQ上时,12-𝑚24=2,解得m=±2.结合图象可知,m的取值范围是m≤-2或m=2或m103.2.[2019·海淀二模]在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y=ax2-2ax+3与直线l:y=kx+b交于A,B两点,且点A在y轴上,点B在x轴的正半轴上.(1)求点A的坐标;(2)若a=-1,求直线l的解析式;(3)若-3k-1,求a的取值范围.图14-8解:(1)∵抛物线C:y=ax2-2ax+3与y轴交于点A,∴点A的坐标为(0,3).2.[2019·海淀二模]在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y=ax2-2ax+3与直线l:y=kx+b交于A,B两点,且点A在y轴上,点B在x轴的正半轴上.(2)若a=-1,求直线l的解析式;图14-8(2)当a=-1时,抛物线C为y=-x2+2x+3.∵抛物线C与x轴交于点B,且点B在x轴的正半轴上,∴点B的坐标为(3,0).∵直线l:y=kx+b过A,B两点,∴𝑏=3,3𝑘+𝑏=0.解得𝑘=-1,𝑏=3.∴直线l的解析式为y=-x+3.2.[2019·海淀二模]在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y=ax2-2ax+3与直线l:y=kx+b交于A,B两点,且点A在y轴上,点B在x轴的正半轴上.(3)若-3k-1,求a的取值范围.图14-8(3)由题知抛物线对称轴为直线x=1,如图.当k=-3时,抛物线C过点B(1,0),此时a=3.结合函数图象可得a3.当k=-1时,抛物线C过点B(3,0),此时a=-1.结合函数图象可得a-1.综上所述,a的取值范围是a-1或a3.