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第11课时一次函数1.一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.2.一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数.当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.考点一一次函数的概念考点聚焦考点二一次函数的图象与性质k0k0图象经过的象限b0b=0b0b0b=0b0一、二、三一、三①②③二、三、四一、二、四一、三、四二、四增减性y随x的增大而④y随x的增大而⑤总结(1)直线y=kx+b(k≠0)均可由直线y=kx(k≠0)平移得到;(2)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,k决定函数的增减性,b决定了直线与y轴交点的纵坐标;(3)直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行⇔k1=k2且b1≠b2(续表)增大减小【温馨提示】一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0,⑥)和(⑦,0)的一条直线,所以直线y=kx+b(k≠0,b≠0)与坐标轴围成的三角形的面积为S=12-𝑏𝑘·|b|.b-𝒃𝒌考点三一次函数的解析式的确定1.方法:待定系数法2.步骤:(1)设:设一般式y=kx+b(k≠0);(2)列:找出直线上两点的坐标,分别代入y=kx+b,得到关于k,b的方程组;(3)解:解方程组,求得k,b的值;(4)依据k,b的值,写出一次函数的解析式.考点四一次函数与一次方程(组)、一元一次不等式的关系1.一次函数与一次方程(组)的关系(1)一次函数的解析式本身就是一个二元一次方程.(2)方程kx+b=0的解⇔函数y=kx+b(k≠0)的图象与⑧轴交点的横坐标⇔函数y=kx+b(k≠0)中,y=⑨时x的值.x0(3)如图11-1,已知两个一次函数y=k1x+b1,y=k2x+b2,则:二元一次方程组𝑦=𝑘1𝑥+𝑏1,𝑦=𝑘2𝑥+𝑏2的解𝑥=𝑚,𝑦=𝑛⇔两个一次函数图象的交点B的坐标,即B(m,n).图11-12.一次函数与不等式的关系(1)不等式kx+b0(kx+b0)的解集⇔函数y=kx+b(k≠0)的图象在x轴上方(下方)的部分对应的x的取值范围⇔函数y=kx+b(k≠0)中,y⑩0(y0)时x的取值;(2)如图11-1,不等式k1x+b1k2x+b2的解集是xm;不等式k1x+b1≤k2x+b2的解集是.图11-1x≤m考点五一次函数的应用1.建立函数模型解决实际问题的步骤:(1)审题,明确变量x和y;(2)根据等量关系,建立函数解析式;(3)确定x的取值范围;(4)在x的取值范围内解决实际问题.2.利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤:(1)观察图象,获取有效信息;(2)对获取的信息进行加工、处理,理清各数量之间的关系;(3)选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等),通过建模解决问题.【温馨提示】注意根据实际情况确定变量的取值范围.题组一必会题对点演练1.已知正比例函数y=3x的图象经过点(1,m),则m的值为()A.13B.3C.-13D.-3B2.一次函数y=-x+2的图象不经过的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限C3.已知一次函数y=(a-1)x+b的图象如图11-2所示,那么a的取值范围是()图11-2A.a1B.a1C.a0D.a0A4.一次函数y=kx+2的图象经过点(1,4),则k的值是.[答案]2[解析]一次函数y=kx+2的图象经过点(1,4),则当x=1时y=4,代入y=kx+2即可求出k的值.[答案]y=-2x(答案不唯一)[解析]一次函数的一次项系数小于0,则y随x的增大而减小;一次项系数大于0,则y随x的增大而增大.5.请写出一个y随x的增大而减小的一次函数解析式.y=x+26.[2018·东城一模]将直线y=x沿y轴向上平移2个单位长度后,所得直线的函数表达式为,这两条直线间的距离为.2【失分点】忽视函数定义中的限制条件;忽略坐标系中表示线段的长时要取点的横坐标或纵坐标的绝对值;忽视分类讨论或分类讨论不全.题组二易错题27.已知函数y=(n+2)x|n|-1+5是关于x的一次函数,则n=.±𝟏𝟐8.已知一次函数y=kx+4的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为16,则k=.9.已知一次函数y=kx+b,且当-3≤x≤1时,1≤y≤9,则k+b的值为.1或9考向一一次函数的图象与性质D例1[2018·西城期末]如图11-3,已知正比例函数y1=ax与一次函数y2=12x+b的图象交于点P.下面有四个结论:①a0;②b0;③当x0时,y10;④当x-2时,y1y2.其中正确的是()A.①②B.②③C.①③D.①④图11-3|考向精练|1.已知:将直线y=x-1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b,则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是()A.经过第一、二、四象限B.与x轴交于(1,0)C.与y轴交于(0,1)D.y随x的增大而减小C[答案]D[解析]∵一次函数y=-2x+4中k=-20,∴函数值y随x的增大而减小,故A正确;∵一次函数y=-2x+4中k=-20,b=40,∴此函数的图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限,故B正确;由“上加下减”的原则可知,函数的图象向下平移4个单位长度得y=-2x的图象,故C正确;∵令y=0,则x=2,∴函数的图象与x轴的交点坐标是(2,0),故D错误.故选D.2.对于一次函数y=-2x+4,下列结论错误的是()A.函数值随自变量的增大而减小B.函数的图象不经过第三象限C.函数的图象向下平移4个单位长度得y=-2x的图象D.函数的图象与x轴的交点坐标是(0,4)考向二利用待定系数法求一次函数解析式例2如图11-4,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线l分别交x轴,y轴于A,B两点,OAOB,且OA,OB的长分别是一元二次方程x2-7x+12=0的两根.求直线AB的函数解析式.图11-4解:∵x2-7x+12=0,∴(x-3)(x-4)=0,∴x1=3,x2=4.∵OAOB,∴点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(0,4).设直线AB的函数解析式为y=kx+b(k≠0),∴0=3𝑘+𝑏,4=𝑏,∴𝑘=-43,𝑏=4,∴直线AB的函数解析式为y=-43x+4.【方法点析】求一次函数y=kx+b的解析式时,只要代入两个点的坐标解方程组即可求出k和b;特别地,正比例函数y=kx只含有一个参数,代入一个非原点坐标即可.|考向精练|1.[2019·东城一模]弹簧原长(不挂重物)15cm,弹簧总长L(cm)与重物质量x(kg)的关系如下表所示:当重物质量为5kg(在弹性限度内)时,弹簧总长L(cm)是()A.22.5B.25C.27.5D.30弹簧总长L(cm)1617181920重物质量x(kg)0.51.01.52.02.5[答案]B[解析]设弹簧总长L(cm)与重物质量x(kg)的关系式为L=kx+b,将(0.5,16),(1.0,17)代入,得0.5𝑘+𝑏=16,𝑘+𝑏=17,解得𝑘=2,𝑏=15,∴L与x之间的函数关系式为L=2x+15.当x=5时,L=2×5+15=25(cm).故重物质量为5kg时弹簧总长L是25cm.故选B.2.[2019·西城二模]已知y是x的函数,其函数图象经过点(1,2),并且当x0时,y随x的增大而减小.请写出一个满足上述条件的函数表达式:.答案不唯一,如y=-x+33.[2019·平谷期末]请写出一个过点(-1,1),且函数值y随自变量x的增大而增大的函数表达式:.答案不唯一,如y=x+2考向三一次函数与方程、不等式的关系图11-5例3[2019·东城二模]如图11-5,在平面直角坐标系xOy中,若直线y1=-x+a与直线y2=bx-4相交于点P(1,-3),则关于x的不等式-x+abx-4的解集是.x1|考向精练|1.[2017·昌平二模]如图11-6,两个一次函数图象的交点坐标为(2,4),则关于x,y的方程组𝑦=𝑘1𝑥+𝑏1,𝑦=𝑘2𝑥+𝑏2的解为()A.𝑥=2,𝑦=4B.𝑥=4,𝑦=2C.𝑥=-4,𝑦=0D.𝑥=3,𝑦=0图11-6A2.[2016·北京21题]如图11-7,在平面直角坐标系xOy中,过点A(-6,0)的直线l1与直线l2:y=2x相交于点B(m,4).(1)求直线l1的解析式;(2)过动点P(n,0)且垂直于x轴的直线与l1,l2的交点分别为C,D,当点C位于点D上方时,写出n的取值范围.解:(1)∵点B在直线l2上,∴4=2m,∴m=2.设直线l1的表达式为y=kx+b,由A,B两点均在直线l1上,得4=2𝑘+𝑏,0=-6𝑘+𝑏,解得𝑘=12,𝑏=3,则直线l1的解析式为y=12x+3.(2)n2.图11-73.[2017·海淀一模]在平面直角坐标系xOy中,直线l1:y=k1x+b过A(0,-3),B(5,2)两点,直线l2:y=k2x+2.(1)求直线l1的表达式;(2)当x≥4时,不等式k1x+bk2x+2恒成立,请写出一个满足题意的k2的值.解:(1)∵直线l1:y=k1x+b过A(0,-3),B(5,2)两点,∴𝑏=-3,5𝑘1+𝑏=2.∴𝑘1=1,𝑏=-3.∴直线l1的表达式为y=x-3.(2)答案不唯一,满足k2-14即可.图11-8考向四一次函数的实际应用图11-9例4[2019·昌平二模]小明和小华是同班同学,也是邻居,某日早晨,小明7:40先出发去学校,走了一段后,在途中停下吃了早餐,后来发现上学时间快到了,就跑步到学校;小华离家后直接乘公共汽车到了学校.如图11-9是他们从家到学校已走的路程s(米)和所用时间t(分钟)的关系图.则下列说法中正确的是()①小明家和学校距离1200米;②小华乘坐公共汽车的速度是240米/分;③小华乘坐公共汽车后7:50与小明相遇;④小华的出发时间不变,当小华由乘公共汽车变为跑步,且跑步的速度是100米/分时,他们可以同时到达学校.A.①③④B.①②③C.①②④D.①②③④[答案]D[解析]由图象可得,小明家和学校距离为1200米,故①正确;小华乘坐公共汽车的速度是1200÷(13-8)=240(米/分),故②正确;480÷240=2(分),8+2=10(分),则小华乘坐公共汽车后7:50与小明相遇,故③正确;小华的出发时间不变,当小华由乘公共汽车变为跑步,且跑步的速度是100米/分时,小华从家到学校所用的时间为:1200÷100=12(分),则小华到校时间为8:00,小明到校时间为8:00,故④正确.故选:D.【方法点析】在读一次函数图象时,关键读以下几点:(1)自变量和因变量分别是什么,代表的实际意义是什么;(2)图象的起始点、终止点与转折点分别在哪,坐标是什么,代表的实际意义是什么;(3)图象每一段的变化趋势,以及变化趋势的缓急程度;(4)两个图象的交点坐标,以及代表的实际意义.|考向精练|图11-101.[2018·燕山一模]小带和小路两个人开车从A城出发匀速行驶至B城.在整个行驶过程中,小带和小路两人的车离开A城的距离y(千米)与行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图11-10所示.有下列结论:①A,B两城相距300千米;②小路的车比小带的车晚出发1小时,却早到1小时;③小路的车出发2.5小时后追上小带的车;④当小带和小路的车相距50千米时,t=54或t=154.其中正确的结论有()A.①②③④B.①②④C.①②D.②③④B2.[2017·石景山二模]如图11-11,l1反映了某公司的销售收入(单位:元)与销售量(单位:吨)的关系,l2反映了该公司的销售成本(单位:元)与销售量(单位:吨)的关系,当该公司盈利(收入大于成本)时,销售量应()A.大于4吨B.小于5吨C.等于5吨D.大于5吨图11-11D3.[2019·昌平二模]“五一黄金周”期间李师傅一家开车去旅游,出发前查看了油箱里有50升油,下面的两幅图分别