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第7课时分式方程1.分式方程:分母中含有①的方程.2.分式方程的解法(1)基本思想:把分式方程转化为整式方程.(2)一般步骤:3.增根:使分式方程的最简公分母为③的根.考点一分式方程的概念及解法考点聚焦未知数图7-1最简公分母0【温馨提示】(1)产生增根的原因:分式方程本身隐含着分母不为0的条件,将其转化为整式方程后没有此条件限制了.(2)分式方程的增根与无解的区别:分式方程无解,可能是解为增根,也可能是去分母后的整式方程无解.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根,也是使分式方程的分母为0的根.考点二分式方程的应用1.一般步骤2.双检验:(1)检验求出的解是否为原分式方程的解;(2)检验是否符合变量的实际意义.图7-23.常见类型及关系式行程问题:路程速度=时间工程问题:工作总量工作效率=工作完成时间销售问题:总价单价=数量,总价数量=单价D题组一必会题对点演练1.方程2𝑥+1𝑥-1=3的解是()A.x=-45B.x=45C.x=-4D.x=4D2.若x=5是分式方程𝑎𝑥-2-15𝑥=0的根,则()A.a=-5B.a=5C.a=-9D.a=9D4.[2018·海淀期中]写出一个解为1的分式方程:.1𝑥=1(答案不唯一)3.解分式方程2𝑥-1+𝑥+21-𝑥=3时,去分母后变形正确的为()A.2+(x+2)=3(x-1)B.2-x+2=3(x-1)C.2-(x+2)=3D.2-(x+2)=3(x-1)5.[2018·师达中学月考]关于x的分式方程2𝑥+𝑎𝑥-1=1的解是正数,则a的取值范围是.a-1且a≠-2【失分点】解分式方程,去分母时漏乘常数项,忽略符号变化;忘记检验根的合理性;混淆增根和无解.题组二易错题6.分式方程𝑥𝑥-1-1=3(𝑥-1)(𝑥+2)的解为()A.x=1B.x=2C.x=-1D.无解DB7.若关于x的方程𝑥+2𝑥+3=𝑚𝑥+3无解,则m的值为()A.1B.-1C.2D.-28.当m=时,解分式方程𝑥-5𝑥-3=𝑚3-𝑥会出现增根.29.小明在解分式方程𝑥2𝑥-1=1𝑥-1时过程如下:解:去分母得x2=1,所以x=±1.他的解法存在的错误是,方程正确的解是.没有验证,经检验:x=1不是原方程的解,要舍去x=-1考向一解分式方程例1(1)若关于x的分式方程2𝑥+3𝑥-𝑎=0的解为x=4,则常数a的值为()A.1B.2C.4D.10(2)[2019·丰台二模]解分式方程:𝑥𝑥-2-2𝑥2-4=1.[答案](1)D(2)解:去分母,得x(x+2)-2=x2-4,去括号,得x2+2x-2=x2-4,解得x=-1.经检验:x=-1是原方程的解.∴原分式方程的解是x=-1.【方法点析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解,经检验即可得到分式方程的解.注意解分式方程要验根,方法是代入最简公分母中看分母是否为0,若为0,则它是原方程的增根,必须舍去.|考向精练|1.[2019·朝阳一模]解分式方程:3𝑥-2-𝑥2𝑥-4=12.解:去分母,得6-x=x-2.整理,得2x=8.解得x=4.经检验,x=4是原方程的解.所以原方程的解是x=4.2.[2019·西城二模]解方程:𝑥𝑥+1=1+1𝑥.解:两边同乘x(x+1),得x2=x(x+1)+x+1.整理得2x=-1.解得x=-12.经检验,x=-12是原方程的解.考向二分式方程的应用例2[2018·海淀二模]2017年全球超级计算机500强名单公布,中国超级计算机“神威·太湖之光”和“天河二号”携手夺得前两名.已知“神威·太湖之光”的浮点运算速度是“天河二号”的2.74倍.这两种超级计算机分别进行100亿亿次浮点运算,“神威·太湖之光”的运算时间比“天河二号”少18.75秒,求这两种超级计算机的浮点运算速度.设“天河二号”的浮点运算速度为x亿亿次/秒,依题意,可列方程为.100𝑥−1002.74𝑥=18.75【方法点析列方程解应用题的关键:①通过设未知数,用含未知数的代数式表示出相关数量,再由相等关系列出方程.②对于列分式方程解应用题,一定要注意检验,检验要考虑两方面:一是检验解是否是原方程的解,二是检验解是否符合题意.|考向精练|1.[2019·顺义二模]为迎接六一儿童节,某儿童品牌玩具专卖店购进了甲、乙两类玩具,其中甲类玩具的进价比乙类玩具的进价每个多5元,经调查:用1000元购进甲类玩具的数量与用750元购进乙类玩具的数量相同.设甲类玩具的进价为x元/个,根据题意可列方程为()A.1000𝑥=750𝑥-5B.1000𝑥-5=750𝑥C.1000𝑥=750𝑥+5D.1000𝑥+5=750𝑥[答案]A[解析]甲类玩具的进价为x元/个,则乙类玩具的进价为(x-5)元/个,由题意得1000𝑥=750𝑥-5,故选:A.2.[2015·北京21题]为解决“最后一公里”的交通接驳问题,北京市投放了大量公租自行车供市民使用.到2013年底,全市已有公租自行车25000辆,租赁点600个,预计到2015年底,全市将有公租自行车50000辆,并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍.预计到2015年底,全市将有租赁点多少个?解:设2015年底全市租赁点有x个,由题意得:50000𝑥=1.2×25000600,解得:x=1000,经检验:x=1000是原方程的解,且符合实际情况.答:预计到2015年底,全市将有租赁点1000个.3.[2014·北京18题]列方程或方程组解应用题小马自驾私家车从A地到B地,驾驶原来的燃油汽车所需油费108元,驾驶新购买的纯电动汽车所需电费27元,已知每行驶1千米,原来的燃油汽车所需要的油费比新购买的电动汽车所需要的电费多0.54元,求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需要的电费.解:设新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需电费为x元,由题意可得:108𝑥+0.54=27𝑥,解得:x=0.18,经检验x=0.18为原方程的解且符合实际问题的意义.答:新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需电费为0.18元.4.[2018·怀柔期末]列方程解应用题:为宣传社会主义核心价值观,某社区居委会计划制作1200个大小相同的宣传栏.现有甲、乙两个广告公司都具备制作能力,居委会派出相关人员分别到这两个广告公司了解情况,获得如下信息:信息一:甲公司单独制作完成这批宣传栏比乙公司单独制作完成这批宣传栏多用10天;信息二:乙公司每天制作的数量是甲公司每天制作数量的1.2倍.根据以上信息,求甲、乙两个广告公司每天分别能制作多少个宣传栏?解:设甲广告公司每天能制作x个宣传栏,则乙广告公司每天能制作1.2x个宣传栏,根据题意得:1200𝑥−12001.2𝑥=10,解得:x=20.经检验x=20是原方程的解且符合实际问题的意义.∴1.2x=1.2×20=24.答:甲广告公司每天能制作20个宣传栏,乙广告公司每天能制作24个宣传栏.5.[2018·延庆期末]为保障北京2022年冬季奥运会赛场间的交通服务,北京将建设连接北京城区-延庆区-崇礼县三地的高速铁路和高速公路.在高速公路方面,目前主要的交通方式是通过京藏高速公路(G6),其路程为220千米.为将崇礼县纳入北京一小时交通圈,有望新建一条高速公路,将北京城区到崇礼的道路长度缩短到100千米.如果每小时行驶的平均速度比原来快22千米,那么从新建高速行驶全程所需时间与从原高速行驶全程所需时间比为4∶11.求从新建高速公路行驶全程需要多少小时?图7-3解:方法一:设走原高速公路时的速度为x千米/时,则走新建高速公路的速度为(x+22)千米/时.依题意得:100𝑥+22∶220𝑥=4∶11,解得:x=88.经检验,x=88是原方程的解且符合实际意义,∴100𝑥+22=100110=1011.答:从新建高速公路行驶全程需要1011小时.方法二:设从新建高速公路行驶全程所需的时间为4x小时.由题意得:1004𝑥−22011𝑥=22.解得:x=522.经检验x=522是原方程的解,且符合题意.∴4x=1011.答:从新建高速公路行驶所需时间为1011小时.