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第5课时一次方程(组)𝑏𝑑等式的性质字母表示性质1若a=b,则a±c=①性质2若a=b,则ac=②,ad=③(④)b±cbcd≠0考点一等式的性质考点聚焦等式1.方程:含有未知数的⑤.2.方程的解:使方程中等号左右两边相等的未知数的值.3.一元一次方程的一般形式:⑥.4.二元一次方程的一般形式:⑦.5.二元一次方程组的一般形式:𝑎1𝑥+𝑏1𝑦=0,𝑎2𝑥+𝑏2𝑦=0,其解一般写成𝑥=𝑚,𝑦=𝑛的形式.ax+b=0(a,b为常数,且a≠0)ax+by=0(a,b为常数,且a≠0,b≠0)考点二方程的有关概念6.二元一次方程组的解:二元一次方程组的两个方程的公共解.1.解一元一次方程的一般步骤:顺序一般步骤依据注意点1去分母等式的性质2不要漏乘常数项2去括号去括号法则括号前是“-”的要变号3移项等式的性质1移项要变号4合并同类项合并同类项法则找准同类项5系数化为1等式的性质2除以系数或乘其倒数考点三一次方程(组)的解法2.二元一次方程组的解法:(1)思想:二元一次方程组一元一次方程.(2)方法:方法说明代入法适用于有一个方程中某个未知数的系数为1或-1的情况加减法在方程两边同乘以一个数,将两个方程中同一个未知数的系数变为相同的数(或互为相反数),再将方程两边分别相减(或相加)图5-1考点四一次方程(组)的应用1.若关于x的方程mxm-2-m+3=0是一元一次方程,则这个方程的解是()A.x=0B.x=3C.x=-3D.x=2A2.已知x=-2是方程x+4a=10的解,则a的值是()A.3B.12C.2D.-3A题组一必会题对点演练3.[2018·海淀期末]下列等式变形正确的是()A.若-3x=5,则x=-35B.若𝑥3+𝑥-12=1,则2x+3(x-1)=1C.若5x-6=2x+8,则5x+2x=8+6D.若3(x+1)-2x=1,则3x+3-2x=1D[答案]-5[解析]去分母,得3(x-1)+12=2(2+x).去括号,得3x-3+12=4+2x.移项,得3x-2x=4-12+3.所以x=-5.4.[2018·朝阳期末改编]解方程:𝑥-14+1=2+𝑥6,得x=.5.[2019·丰台一模改编]方程组𝑥-𝑦=2,2𝑥-3𝑦=7的解为.[答案]𝑥=-1,𝑦=-3[解析]𝑥-𝑦=2,①2𝑥-3𝑦=7,②由①×3-②得:x=-1,把x=-1代入①,解得:y=-3,故原方程组的解为𝑥=-1,𝑦=-3.6.将一元一次方程2(x-4)+4(1-x)=0去括号后得到的方程为.2x-8+4-4x=0【失分点】去括号时若括号前有系数,容易因为漏乘系数而出错;移项时容易忘记变号.7.将一元一次方程2x-5=3-x化成ax-b=0(a,b为常数,且a≠0)的形式,结果为.3x-8=0题组二易错题考向一一次方程(组)的解法例1[2019·西城一模]方程组2𝑥-𝑦=0,5𝑥+2𝑦=9的解为()A.𝑥=-1,𝑦=7B.𝑥=3,𝑦=6C.𝑥=1,𝑦=2D.𝑥=-1,𝑦=2[答案]C[解析]2𝑥-𝑦=0,①5𝑥+2𝑦=9,②①×2+②得:9x=9,即x=1,把x=1代入①得:y=2,则方程组的解为𝑥=1,𝑦=2.故选C.【方法点析】若方程的系数比较简单,尤其当一个未知数系数的绝对值是1时,可选用代入消元法;若两个方程中同一个未知数的系数相同或相反时,可选用加减消元法.D|考向精练|1.[2018·北京3题]方程组𝑥-𝑦=3,3𝑥-8𝑦=14的解为()A.𝑥=-1,𝑦=2B.𝑥=1,𝑦=-2C.𝑥=-2,𝑦=1D.𝑥=2,𝑦=-1[答案]D2.若二元一次方程组𝑥+𝑦=3,3𝑥-5𝑦=4的解为𝑥=𝑎,𝑦=𝑏,则a-b=()A.1B.3C.-14D.74[解析]将二元一次方程组的解𝑥=𝑎,𝑦=𝑏代入方程组𝑥+𝑦=3,3𝑥-5𝑦=4得𝑎+𝑏=3,3𝑎-5𝑏=4.再把所得方程组中方程的两边分别相加得4a-4b=7,解得a-b=74.[答案]13.已知𝑥=2,𝑦=-3是方程组𝑎𝑥+𝑏𝑦=2,𝑏𝑥+𝑎𝑦=3的解,则a2-b2=.[解析]∵𝑥=2,𝑦=-3是方程组𝑎𝑥+𝑏𝑦=2,𝑏𝑥+𝑎𝑦=3的解,∴2𝑎-3𝑏=2,2𝑏-3𝑎=3,把两个方程的两边分别相加、减,整理得:a+b=-5,a-b=-15,∴a2-b2=(a+b)(a-b)=(-5)×-15=1,故答案为1.[答案]11(答案不唯一)[答案]-24.[2019·密云一模]已知𝑥=2,𝑦=1是方程ax+by=3的一组解(a≠0,b≠0),任写出一组符合题意的a,b的值,则a=,b=.[解析]把𝑥=2,𝑦=1代入方程ax+by=3可得:2a+b=3,∴当a=1时,b=1.5.[2019·顺义一模]已知|x-y+3|+2𝑥+𝑦=0,则x·y的值为.[解析]根据题意得:𝑥-𝑦+3=0,2𝑥+𝑦=0,方程组可整理得:𝑥-𝑦=-3,①2𝑥+𝑦=0,②①+②得:3x=-3,解得:x=-1.把x=-1代入①得:-1-y=-3,解得:y=2.所以原方程组的解为:𝑥=-1,𝑦=2.所以x·y=(-1)×2=-2.故答案为:-2.6.[2018·西城期末]解方程组𝑥+2𝑦=5,3𝑥-𝑦=1.解:𝑥+2𝑦=5,①3𝑥-𝑦=1,②由①得x=5-2y.③把③代入②,得3(5-2y)-y=1.解这个方程,得y=2.把y=2代入③,得x=1.所以这个方程组的解为𝑥=1,𝑦=2.考向二列一次方程(组)例2[2018·西城二模]某校“百变魔方”社团为组织同学们参加学校科技节的“最强大脑”大赛,准备购买A,B两款魔方.社长发现若购买2个A款魔方和6个B款魔方共需170元,购买3个A款魔方和购买8个B款魔方所需费用相同.求每款魔方的单价.设A款魔方的单价为x元,B款魔方的单价为y元,依题意可列方程组为.2𝑥+6𝑦=170,3𝑥=8𝑦【方法点析】(1)读题把关键的信息找出来;(2)列表将信息清晰有条理地展现出来;(3)找到等量关系列式.|考向精练|1.[2017·北京12题]某活动小组购买了4个篮球和5个足球,一共花费了435元,其中篮球的单价比足球的单价多3元,求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x元,足球的单价为y元,依题意,可列方程组为.2.[2015·北京13题改编]《九章算术》中记载:“今有牛五、羊二,直金十两;牛二、羊五,直金八两.问牛、羊各直金几何?”译文:“假设有5头牛、2只羊,值金10两;2头牛、5只羊,值金8两.问每头牛、每只羊各值金多少两?”设每头牛值金x两,每只羊值金y两,可列方程组为.4𝑥+5𝑦=435,𝑥-𝑦=35𝑥+2𝑦=10,2𝑥+5𝑦=83.[2019·丰台一模]京张高铁是2022年北京冬奥会的重要交通保障设施.京张高铁设计时速为350千米,建成后,乘高铁从北京到张家口的时间将缩短至1小时.如图5-2,京张高铁起自北京北站,途经昌平、八达岭长城、怀来等站,终点站为河北张家口南,全长174千米.如果按此设计时速运行,设每站(不计起始站和终点站)停靠的平均时间是x分钟,那么依题意,可列方程为.图5-28×𝑥60+174350=14.数学文化[2019·石景山一模]我国古代数学著作《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题,其大意为:现有一根竿和一条绳索,用绳索去量竿,绳索比竿长5尺;如果将绳索对折后再去量竿,就比竿短5尺.求绳索和竿的长度.设绳索长x尺,竿长y尺,可列方程组为.𝑥=𝑦+5,𝑥2=𝑦-55.数学文化[2019·海淀二模改编]在浦东陆家嘴明代陆深古墓中挖掘出一块宝玉——明白玉幻方.其背面有方框四行十六格,为四阶幻方(从1到16,一共十六个数目,它们的纵列、横行与两条对角线上4个数相加之和均为34).小明探究后发现,这个四阶幻方中的数满足下面规律:在四阶幻方中,当数a,b,c,d有如图5-3①的位置关系时,均有a+b=c+d=17.如图②,已知此幻方中的一些数,则x的值为.图5-316.[2018·交大附中期末]列方程解应用题:北京地铁1号线是中国最早的地铁线路,2000年实现了23个车站的贯通运营,该线西起苹果园站,东至四惠东站,全长约31千米.下表是北京地铁1号线首、末车时刻表,开往四惠东方向和苹果园方向的首车的平均速度均为每小时60千米,求由苹果园站和四惠东站开出的首车第一次相遇的时间.北京地铁1号线首、末车时刻表车站名称往四惠东方向往苹果园方向首车时间末车时间首车时间末车时间苹果园5:1022:55……………四惠东5:0523:15解:设由苹果园站开出的首车x小时后和四惠东站开出的首车第一次相遇,根据题意列方程,得60x+60x+560=31,解得:x=1360.1360小时为13分钟,5:10经过13分钟后为5:23.答:由苹果园站和四惠东站开出的首车第一次相遇的时间为5:23.