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第5讲动态平衡问题和平衡中的临界、极值问题知识梳理一、动态平衡问题“动态平衡”是指物体所受的力一部分是变力,是动态力,力的大小或方向要发生变化,但变化过程中的每一时刻的状态均可视为平衡状态,所以叫动态平衡,这是力平衡问题中的一类难题。解动态平衡问题两种常用的方法是①解析法和②图解法。二、平衡中的临界、极值问题1.临界状态:是从一种物理现象转变为另一种物理现象,或从一个物理过程转入另一个物理过程的转折状态。临界状态也可理解为“恰好出现”和“恰好不出现”某种现象的状态。常见的临界状态有:(1)两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0(主要体现为两物体间的弹力为0);(2)绳子断与不断的临界条件为作用力达到最大值;(3)存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大。2.解答临界问题的关键是找到临界条件。 1.如图所示,将所受重力为G的光滑小球用轻质细绳拴在竖直墙壁上,当把绳的长度增长,则下列判断正确的是 (A)A.绳对球的拉力T和墙对球的弹力N均减小B.绳对球的拉力T增大,墙对球的弹力N减小C.绳对球的拉力T减小,墙对球的弹力N增大D.绳对球的拉力T和墙对球的弹力N均增大解析小球受力情况如图甲所示,设绳与墙夹角为θ。因小球处于平衡状态,所以任意两个力的合力均与第三个力大小相等、方向相反。如图乙所示,根据平行四边形定则将力G与N合成,可知N=Gtanθ,T=F= ,故当绳变长时,θ减小,N、T均减小,A正确。 cosGθ甲乙2.如图所示,轻绳OA、OB一端分别固定于天花板上的A、B两点,轻绳OC一端悬挂一重物。已知OA、OB、OC能承受的最大拉力分别为150N、100N、200N。问悬挂的重物的重力不得超过多少? 答案173.2N解析设重物重力G较小,三绳所受拉力均没有超过其所能承受的最大拉力。分析结点O受力情况如图所示。根据共点力平衡可得:FC=GFA= GFB= G考虑到FC≤200N,FA≤150N,FB≤100N解得G1≤200N,G2≤173.2N,G3≤200N所以应有G≤173.2N。3212考点一动态平衡问题深化拓展所谓动态平衡问题,是指通过控制某些物理量,使物体的状态发生缓慢变化,而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态。解决此类问题的常用方法有解析法和图解法。 1-1如图所示,用轻细绳AO和BO将质量为m的重物悬吊起来,静止时AO是水平的,BO与竖直方向的夹角为θ。已知重力加速度为g。设AO绳的拉力为F1,BO绳的拉力为F2。 (1)如果保持节点O的位置不变,将B点向左缓慢移动(同时增加绳长),则 ()A.F2变小,F1变大B.F2变大,F1变小C.F1和F2的合力不变D.F1和F2的合力变小(2)如果保持节点O的位置不变,将A点向上缓慢移动(同时增加绳长),F1和F2分别怎样变化?答案见解析解析(1)方法1:在B点缓慢左移的过程中,θ缓慢增大,而O点始终保持受力平衡状态,F1和F2均发生变化,但它们的合力一定不变,F'=mg,方向竖直向上;因F1=mgtanθ,F2= ,所以θ增大,tanθ增大、cosθ减小。所以F2逐渐增大,F1逐渐增大。方法2:F1和F2的合力大小、方向不变,F1的方向不变。作矢量图如图甲所示,可以看出当角θ逐渐增大的过程中,F2和F1对应的边长逐渐增大。cosmgθ (2)因为在缓慢移动A点的过程中,F1、F2和f'构成的三角形不再是直角三角形。作矢量图如图乙所示,可以看出F1先减小后增大,F2逐渐减小。OA绳上的拉力有最小值F1=mgsinθ。1-2如图将质量为m的小球a用轻质细线悬挂于O点,用力F拉小球a,使整个装置处于静止状态,且悬线与竖直方向的夹角θ=30°,重力加速度为g,则F的最小值为 (B) A. mgB. mgC. mgD. mg3312322解析整个装置处于静止状态,小球受力平衡,设线的拉力为T,根据平衡条件知:F与T的合力与小球的重力mg总是大小相等、方向相反,由力的合成图可知,当F与线垂直时,F有最小值,如图所示。F的最小值为Fmin=mgsinθ= mg,选项B正确。 12考点二平衡中的极值问题一种物理现象变化为另一种物理现象的转折状态叫做临界状态。平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要被破坏而尚未被破坏的状态。解决平衡物体的临界问题的关键是找到临界条件。 2-1三段不可伸长的轻质细绳OA、OB、OC能承受的最大拉力相同,它们共同悬挂一物体,如图所示,其中OB是水平的,A端、B端固定。若逐渐增加C端所挂物体的质量,则最先断的绳 (A)A.必定是OAB.必定是OBC.必定是OCD.可能是OB,也可能是OC解析以结点O为研究对象,在绳子均不被拉断时受力图如图,则知:FOAFOB,FOAFOC,即OA绳的拉力最大,而细绳OA、OB、OC能承受的最大拉力相同,则当物体质量逐渐增加时,OA绳最先被拉断,故选A。 2-2如图所示,质量为m的物体放在水平地面上,物体与地面间的动摩擦因数为μ。现施以与水平方向成α角且斜向上的拉力F,为使物体能沿水平面做匀速运动,当α取何值时,力F最小?此最小值为多大? 答案见解析解析物体受力如图所示。将力F分解为水平分力F1和竖直分力F2,则有 F1=fF2+N=G即Fcosα=μN'=μN(N'为物体对地面的正压力)Fsinα+N=G所以F= 为使F最小,可令sinβ= ,则上式可化为F= 当α+β=90°,即α=90°-β,当α满足tanα=μ时,F有最小值,此最小值为 。cossinμmgαμα211μ21sin()μmgμαβ21μmgμ