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第4课时分式及其运算考点一分式的相关概念定义一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,且B≠0,那么式子①叫做分式有意义的条件分母不为②(B≠0)值为0的条件分子为0,且分母不为0(A=0且B≠0)𝑨𝑩0考点二分式的基本性质分式的基本性质𝑎𝑏=𝑎·𝑚𝑏·𝑚,𝑎𝑏=𝑎÷𝑚𝑏÷𝑚(其中a,b,m是整式,b≠0,m≠0)约分把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分通分根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式③的同分母的分式,叫做分式的通分最简分式分子与分母没有公因式的分式最简公分母几个分式中,各分母的所有因式的最高次幂的积变号法则𝐴𝐵=--𝐴𝐵=-𝐴-𝐵=-𝐴-𝐵相等考点三分式的运算分式的加减(1)同分母分式相加减𝑎𝑐±𝑏𝑐=④(c≠0)(2)异分母分式相加减𝑎𝑏±𝑐𝑑=⑤±⑥=𝑎𝑑±𝑏𝑐𝑏𝑑(bd≠0)分式的乘除(1)乘法法则𝑎𝑏·𝑐𝑑=⑦(bd≠0)(2)除法法则𝑎𝑏÷𝑐𝑑=⑧·⑨=𝑎𝑑𝑏𝑐(bcd≠0)𝒂±𝒃𝒄𝒂𝒅𝒃𝒅𝒃𝒄𝒃𝒅𝒂𝒄𝒃𝒅𝒂𝒃𝒅𝒄(续表)𝑎𝑏𝑛=⑩(n为整数,b≠0)(1)法则在分式的混合运算中,应先算乘方,再将除法化为乘法,进行约分化简,最后进行加减运算,如果有括号,先算括号里面的.(2)特别说明a.实数的各种运算律也适用于分式的运算;b.分式运算的结果要化成最简分式或整式𝒂𝒏𝒃𝒏考向一分式的有关概念与性质1.[2019·衡阳]如果分式𝟏𝒙+𝟏在实数范围内有意义,则x的取值范围是()A.x≠-1B.x-1C.全体实数D.x=-12.[2019·黄石]若式子𝒙-𝟏𝒙-𝟐在实数范围内有意义,则x的取值范围是()A.x≥1且x≠2B.x≤1C.x1且x≠2D.x1AA3.[2019·扬州]分式𝟏𝟑-𝒙可变形为()A.𝟏𝟑+𝒙B.-𝟏𝟑+𝒙C.𝟏𝒙-𝟑D.-𝟏𝒙-𝟑4.下列计算错误的是()A.𝟎.𝟐𝒂+𝒃𝟎.𝟕𝒂-𝒃=𝟐𝒂+𝒃𝟕𝒂-𝒃B.𝒙𝟑𝒚𝟐𝒙𝟐𝒚𝟑=𝒙𝒚C.𝒂-𝒃𝒃-𝒂=-1D.𝟏𝒄+𝟐𝒄=𝟑𝒄5.[2019·北京]若分式𝒙-𝟏𝒙的值为0,则x的值为.DA16.[2018·滨州]若分式𝒙𝟐-𝟗𝒙-𝟑的值为0,则x的值为.[答案]-3[解析]因为分式值为0,所以x2-9=0且x-3≠0,所以x=-3.考向二分式化简求值7.[2019·包头]化简:1-𝒂-𝟏𝒂+𝟐÷𝒂𝟐-𝟏𝒂𝟐+𝟒𝒂+𝟒=.[答案]-1𝑎+1[解析]1−𝑎-1𝑎+2÷𝑎2-1𝑎2+4𝑎+4=1−𝑎-1𝑎+2·(𝑎+2)2(𝑎+1)(𝑎-1)=1−𝑎+2𝑎+1=𝑎+1𝑎+1−𝑎+2𝑎+1=−1𝑎+1.8.[2017·包头]化简:𝒂𝟐-𝟏𝒂𝟐÷𝟏𝒂-1·a=.-a-19.[2018·包头]化简:𝒙𝟐-𝟒𝒙+𝟒𝒙𝟐+𝟐𝒙÷𝟒𝒙+𝟐-1=.[答案]2-𝑥𝑥[解析]𝑥2-4𝑥+4𝑥2+2𝑥÷4𝑥+2-1=(𝑥-2)2𝑥(𝑥+2)·𝑥+22-𝑥=2-𝑥𝑥.10.[2019·东河区二模]化简:𝒂-𝟐𝒂𝟐-𝟏÷a-1-𝟐𝒂-𝟏𝒂+𝟏=.𝟏𝒂𝟐-𝒂11.[2019·青岛]化简:𝒎-𝒏𝒎÷𝒎𝟐+𝒏𝟐𝒎-2n.解:原式=𝑚-𝑛𝑚·𝑚(𝑚-𝑛)2=1𝑚-𝑛.12.[2019·烟台]先化简:x+3-𝟕𝒙-𝟑÷𝟐𝒙𝟐-𝟖𝒙𝒙-𝟑,再从0≤x≤4中选一个适合的整数代入求值.解:x+3-7𝑥-3÷2𝑥2-8𝑥𝑥-3=(𝑥+3)(𝑥-3)𝑥-3−7𝑥-3·𝑥-32𝑥2-8𝑥=(𝑥+4)(𝑥-4)𝑥-3·𝑥-32𝑥(𝑥-4)=𝑥+42𝑥.因为𝑥-3≠0,2𝑥2-8𝑥≠0,所以x不能取0,3,4,考虑到从0≤x≤4中选一个整数,故x只能取1或2.①x=1时,原式=1+42×1=52;②x=2时,原式=2+42×2=32.(注意:①与②只写一种即可)【方法点析】分式化简求值时需注意的问题(1)化简求值,一般是先化简为最简分式或整式,再代入求值;(2)化简时,不要随意去掉分母;(3)当未知数的值没有明确给出时,所选取的未知数的值必须使原式及化简过程中的分式都有意义.