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第3课时整式与因式分解考点一整式的概念内容单项式多项式定义数或字母的①组成的式子叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式几个单项式的②叫做多项式次数一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数多项式中,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数系数单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数项多项式中,每个单项式叫做多项式的项积和考点二同类项、合并同类项1.同类项:所含字母③,并且相同字母的指数也④的项叫做同类项.几个常数项也是同类项.2.合并同类项:合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母连同它的指数不变.相同相同【温馨提示】(1)同类项与系数无关,与字母的排列顺序无关,如-7xy与yx是同类项.(2)只有同类项才能合并,如x2与x3不能合并.考点三整式的运算类别法则整式的加减整式的加减实质就是⑤.一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项幂的运算同底数幂相乘am·an=⑥(m,n都是整数)幂的乘方(am)n=⑦(m,n都是整数)积的乘方(ab)n=⑧(n为整数)同底数幂相除am÷an=⑨(a≠0,m,n都为整数)合并同类项am+namnanbnam-n(续表)类别法则整式的乘法单项式与单项式相乘:把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式单项式乘多项式:m(a+b+c)=⑩多项式乘多项式:(m+n)(a+b)=ma+mb+mcma+mb+na+nb类别法则整式的除法单项式除以单项式:单项式除以单项式,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式:(am+bm)÷m=a+b乘法公式平方差公式:(a+b)(a-b)=完全平方公式:(a±b)2=常用恒等变形(1)a2+b2==;(2)(a-b)2=-4aba2-b2a2±2ab+b2(a+b)2-2ab(a-b)2+2ab(a+b)2(续表)考点四因式分解1.定义:把一个多项式化成几个整式的的形式,这样的变形叫做这个多项式的因式分解.2.方法(1)提公因式法用字母表示:𝑚𝑎+𝑚𝑏+𝑚𝑐=𝑚(𝑎+𝑏+𝑐)公因式的确定:取各项系数的最大公约数,取各项相同的因式及其最低次幂积(2)公式法(3)十字相乘法x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)(4)分组分解法先分组,再提公因式或运用公式3.一般步骤一提(提公因式);二套(套公式);三验(检验是否分解彻底).考向一同类项1.下列各组中的两项是同类项的有.(只填序号)①a3与b3,②-2与3,③a3b与ba3,④-a2b2与0.2a2b2.2.[2019·包头一模]下列单项式中,与a2b3是同类项的是()A.2ab3B.2a2b3C.3a2bD.5ab②③④B3.[2019·东河区二模]若单项式am-1b与𝟏𝟐a2bn的和仍是单项式,则mn的值是()A.1B.3C.6D.9B考向二整式的运算及化简求值4.[2019·威海]下列运算正确的是()A.(a2)3=a5B.3a2+a=3a3C.a5÷a2=a3(a≠0)D.a(a+1)=a2+15.[2019·德州]下列运算正确的是()A.(-2a)2=-4a2B.(a+b)2=a2+b2C.(a5)2=a7D.(-a+2)(-a-2)=a2-46.[2019·泰州]若2a-3b=-1,则代数式4a2-6ab+3b的值为()A.-1B.1C.2D.3CDB7.[2019·凉山州]先化简,再求值:(a+3)2-(a+1)(a-1)-2(2a+4),其中a=-𝟏𝟐.解:原式=a2+6a+9-a2+1-4a-8=2a+2,当a=-12时,原式=2×-12+2=-1+2=1.考向三因式分解8.[2019·广元]分解因式:a3-4a=.9.[2019·青山区二模]把多项式ax2-2ax+a分解因式的结果是.11.[2019·大庆]分解因式:a2b+ab2-a-b=.10.[2019·威海]分解因式:2x2-2x+𝟏𝟐=.a(a+2)(a-2)a(x-1)22x-𝟏𝟐2(a+b)(ab-1)12.将下列多项式分解因式,结果中不含有因式a+1的是()A.a2-1B.a2+aC.a2+a-2D.(a+2)2-2(a+2)+1[答案]C[解析]A.原式=(a+1)(a-1),不符合题意;B.原式=a(a+1),不符合题意;C.原式=(a+2)(a-1),符合题意;D.原式=(a+1)2,不符合题意.故选C.13.[2019·株洲]下列各选项中因式分解正确的是()A.x2-1=(x-1)2B.a3-2a2+a=a2(a-2)C.-2y2+4y=-2y(y+2)D.m2n-2mn+n=n(m-1)2D14.多项式mx2-m与多项式x2-2x+1的公因式是()A.x-1B.x+1C.x2-1D.(x-1)2[答案]A[解析]因为mx2-m=m(x2-1)=m(x-1)(x+1),x2-2x+1=(x-1)2,所以它们的公因式为x-1.故选A.考向四探索规律15.[2019·台湾]公园内有一矩形步道,其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成.如图3-1表示此步道的地砖排列方式,其中正方形地砖连续排列且总共有40个.求步道上总共使用多少个三角形地砖?()A.84B.86C.160D.162图3-1A16.按照一定规律排列的n个数:-2,4,-8,16,-32,64,…,若最后三个数的和为768,则n为()A.9B.10C.11D.12[答案]B[解析]由题意,得第n个数为(-2)n,那么(-2)n-2+(-2)n-1+(-2)n=768,当n为偶数时,整理得出:3×2n-2=768,解得n=10;当n为奇数时,整理得出:-3×2n-2=768,无解.故选B.17.[2019·常德]观察下列等式:70=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,…,根据其中的规律可得70+71+…+72019的结果的个位数字是()A.0B.1C.7D.8[答案]A[解析]根据70=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,可知个位数字的变化周期为4,且每一个周期,四个数的和的个位数字为0.因为(2019+1)÷4=505,所以70+71+…+72019的结果的个位数字为0,故选A.18.一组数据0,2,2𝟐,2𝟑,4,…,则第10个数是.6