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第1课时实数及其运算考点一实数及其分类1.按定义分实数有理数整数分数:①小数或无限②小数无理数正无理数负无理数无限③小数有限循环不循环2.按大小分实数可分为正实数、0和负实数,0既不是正数,也不是负数.【温馨提示】常见的4种无理数类型(1)根号型:2,53等开方开不尽的数;(2)三角函数型:如sin60°,tan30°等;(3)构造型:如0.1010010001…(每相邻两个1之间依次多一个0)等;(4)与π有关的数:如𝜋3,π-1等.判断一个数是不是无理数,不要只看形式,要看化简结果是不是无限不循环小数.考点二实数的有关概念1.数轴:规定了原点、④和⑤的直线.数轴上的点与实数一一对应.2.相反数:a的相反数是⑥,0的相反数是0.3.倒数:乘积是⑦的两个数互为倒数.0没有倒数,倒数等于本身的数是±1.图1-1正方向单位长度-a14.绝对值:数轴上表示数a的点与原点的距离,记作|a|,离原点越远的数的绝对值越大.|a|=𝑎(𝑎0),0(𝑎=0),⑧(𝑎0).-a5.平方根、算术平方根和立方根平方根算术平方根立方根表示方法±𝑎𝑎𝑎3被开方数的取值范围a≥0⑨a为任意实数a≥0考点三科学记数法1.定义:把一个数写成a×10n的形式(其中,1≤|a|10,n为整数).2.n值的确定:设这个数为m:(1)当|m|≥10时,n等于原数的整数位数减1;(2)当|m|1时,|n|等于原数最左边非零数字前所有零的个数(包括小数点前面的那个零).【温馨提示】遇到带单位的数,注意单位的换算:1亿=108,1万=104,1mm=10-3m等.3.科学记数法的还原(1)绝对值大于10的数的还原:将数a的小数点向右移动n位;(2)绝对值大于0且小于1的数的还原:将数a的小数点向左移动|n|位.考点四实数的运算运算律交换律a+b=,ab=结合律(a+b)+c=,(ab)c=分配律a(b+c)=b+abaa+(b+c)a(bc)ab+ac几种常见的运算乘方an=a·a·····a(n个a相乘)零次幂任何非零实数的零次幂都为1,即a0=(a≠0)负整数次幂规定a-n=𝟏𝒂𝒏(a≠0,n为正整数),特别地,a-1=(a≠0)-1的整数次幂(-1)n=⑰,𝑛为奇数;⑱,𝑛为偶数运算顺序先算乘方,再算乘除,最后算加减;同级运算,从左到右进行;如有括号,先进行运算,一般按小括号、中括号、大括号依次进行(续表)1𝟏𝒂-11括号内的【温馨提示】在进行负整数指数幂的运算时,防止出现以下错误:(1)3-2=-𝟏𝟗;(2)2a-2=𝟏𝟐𝒂𝟐.考点五实数的大小比较1.性质比较法:(1)正数0负数;(2)两个正数,绝对值大的较大;两个负数,绝对值大的反而;(3)若一组数据中有正数,0,负数,求最大的数时在正数中找,求最小的数时在负数中找.2.数轴比较法:数轴上的两个点表示的数,右边的数总比左边的数.3.差值比较法:对于任意实数a,b:a-b0⇔;a-b=0⇔;a-b0⇔.小大aba=bab4.平方比较法:a2b⇔a𝑏(a0,b≥0),𝑎𝑏⇔ab≥0(主要用于含有二次根式的无理数的大小比较或无理数的估算).5.求商比较法:当b0时,𝑎𝑏1⇔ab,𝑎𝑏1⇔ab;当b≠0时,𝑎𝑏=1⇔a=b.考向一实数的分类1.下列实数中,是无理数的是()A.𝟐𝟐𝟕B.-0.3C.𝛑𝟑D.-8𝟑2.在𝟏𝟎𝟑,0.3,1.𝟐·,3.1415926,π,𝛑𝟓+1,-𝟐𝟕𝟑,1.2020020002…(相邻两个2之间依次多一个0),0,cos30°中,无理数有()A.3个B.4个C.5个D.6个CB3.[2019·滨州]下列各数中,负数是()A.-(-2)B.-|-2|C.(-2)2D.(-2)0[答案]B[解析]∵-(-2)=2,-|-2|=-2,(-2)2=4,(-2)0=1,∴负数是-|-2|.故选B.考向二实数的有关概念4.[2019·潍坊]2019的倒数的相反数是()A.-2019B.-𝟏𝟐𝟎𝟏𝟗C.𝟏𝟐𝟎𝟏𝟗D.20195.已知|a|=1,b是3的相反数,则a+b的值为()A.-4B.-2C.-2或-4D.0或-46.|3-π|=.BCπ-37.(1)𝟒的值等于,2的平方根为;(2)𝟏𝟔的算术平方根是,(-𝟗)𝟐的平方根是;(3)[2019·连云港]64的立方根为.2±𝟐2±348.已知a与b互为倒数,m与n互为相反数,x的绝对值等于1,则2018(m+n)-2015x2+2017ab的值为.[答案]2[解析]∵a与b互为倒数,m与n互为相反数,x的绝对值等于1,∴ab=1,m+n=0,|x|=1,∴x2=1,∴2018(m+n)-2015x2+2017ab=2018×0-2015×1+2017×1=0-2015+2017=2.考向三科学记数法9.[2019·嘉兴]2019年1月3日10时26分,“嫦娥四号”探测器飞行约380000千米,实现人类探测器首次在月球背面软着陆.数据380000用科学记数法表示为()A.38×104B.3.8×104C.3.8×105D.0.38×10610.[2019·河南]成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克.数据“0.0000046”用科学记数法表示为()A.46×10-7B.4.6×10-7C.4.6×10-6D.0.46×10-5CC11.[2019·包头样题二]截至2018年5月末,中国人民银行公布的数据显示,我国外汇的储备规模约为3.11×104亿美元,则3.11×104亿表示的原数是()A.311000亿B.31100亿C.3110亿D.311亿12.[2018·玉林]一条数学学习方法的微博被转发了300000次,这个数字用科学记数法表示为3×10n,则n的值是()A.3B.4C.5D.613.[2019·包头]2018年我国国内生产总值(GDP)是900309亿元,首次突破90万亿元大关,90万亿用科学记数法表示为.BC9×1013考向四实数的大小比较14.[2019·青山区二模]在实数-3,-2,0,-π中,最小的数是()A.-3B.-2C.0D.-π15.[2019·泰安]在实数|-3.14|,-3,-𝟑,π中,最小的数是()A.-𝟑B.-3C.|-3.14|D.πDB16.[2019·攀枝花]在0,-1,2,-3这四个数中,绝对值最小的数是()A.0B.-1C.2D.-317.[2019·包头]实数a,b在数轴上的对应点的位置如图1-2所示,下列结论正确的是()A.abB.a-bC.-abD.-ab图1-2AC18.[2019·广东]实数a,b在数轴上的对应点的位置如图1-3所示,下列式子成立的是()A.abB.|a||b|C.a+b0D.𝑎𝑏0图1-3D考向五实数的运算19.[2019·包头]计算|-𝟗|+𝟏𝟑-1的结果是()A.0B.𝟖𝟑C.𝟏𝟎𝟑D.620.(1)计算:(-1)2012-𝟏𝟐-1×𝟖𝟑=;(2)计算:(-2019)0-𝟏𝟑-1+𝟗=.D-3121.计算:(1)-𝟏𝟐+(-1)2019+2-1-(π-3)0;(2)[2019·山西]𝟐𝟕+-𝟏𝟐-2-3tan60°+(π-𝟐)0.解:(1)原式=12-1+12-1=-1.(2)原式=33+4-33+1=5.