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提分微课(二)反比例函数与一次函数、几何图形的结合反比例函数在近几年中考中都是结合一次函数和几何图形考查的,涉及的知识点有:待定系数法求解析式、一次函数与反比例函数图象的交点、相似三角形的面积比与反比例函数中k值的几何意义,数形结合思想的应用,对学生的综合能力要求较高.类型一反比例函数与一次函数结合求解此类问题时,注意关注:(1)函数图象上点的坐标特征;(2)反比例函数系数k的几何意义和图象对称性的应用.1.[2019·海口模拟]如图T2-1,直线l与x轴、y轴分别交于A,B两点,与反比例函数y=𝒌𝒙的图象在第一象限相交于点C.若AB=BC,△AOB的面积为3,则k的值为()A.6B.9C.12D.18图T2-1[答案]C[解析]作CD⊥x轴于D,设OB=a(a0),∵△AOB的面积为3,∴𝟏𝟐OA·OB=3,∴OA=𝟔𝒂.∵CD∥OB,AB=BC,∴OD=OA=𝟔𝒂,CD=2OB=2a,∴C𝟔𝒂,2a,∵反比例函数y=𝒌𝒙的图象经过点C,∴k=𝟔𝒂×2a=12.[答案]C[解析]设A(m,-2m),∵AC=AO,∴△ACO是等腰三角形,∴CO=-2m,∴S△ACO=𝟏𝟐×(-2m)×(-2m)=6,∴m2=3.∵k=-2m2,∴k=-6.2.如图T2-2,正比例函数y1=-2x的图象与反比例函数y2=𝒌𝒙的图象交于A,B两点,点C在x轴负半轴上,AC=AO,△ACO的面积为6,则k的值为()A.3B.-3C.-6D.6图T2-23.如图T2-3,在平面直角坐标系xOy中,直线y=k1x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,与反比例函数y=𝒌𝟐𝒙在第一象限内的图象交于点B,连接BO,若S△OBC=1,tan∠BOC=𝟏𝟑,则k2的值是()A.-3B.1C.2D.3图T2-3[答案]D[解析]∵直线y=k1x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,∴点C的坐标为(0,2),∴OC=2.过B作BD⊥y轴于D,∵S△OBC=1,∴BD=1,∵tan∠BOC=𝟏𝟑,∴𝑩𝑫𝑶𝑫=𝟏𝟑,∴OD=3,∴点B的坐标为(1,3),∵反比例函数y=𝒌𝟐𝒙在第一象限内的图象过点B,∴k2=1×3=3.4.[2017·包头]如图T2-4,一次函数y=x-1的图象与反比例函数y=𝟐𝒙的图象在第一象限相交于点A,与x轴相交于点B,点C在y轴上,若AC=BC,则点C的坐标为()A.(0,1)B.(0,2)C.0,𝟓𝟐D.(0,3)图T2-4[答案]B[解析]由𝒚=𝒙-𝟏,𝒚=𝟐𝒙,解得𝒙=𝟐,𝒚=𝟏或𝒙=-𝟏,𝒚=-𝟐,∴A(2,1),易知B(1,0),设C(0,m),∵CA=CB,∴m2+12=22+(m-1)2,∴m=2,∴C(0,2).5.[2019·温州模拟]如图T2-5,点A是射线y=𝟓𝟒x(x≥0)上一点,过点A作AB⊥x轴于点B,以AB为边在其右侧作正方形ABCD,过点A的双曲线y=𝒌𝒙交CD边于点E,则𝑫𝑬𝑬𝑪的值为()A.𝟓𝟒B.𝟗𝟓C.𝟐𝟓𝟑𝟔D.1图T2-5[答案]A[解析]设点A的横坐标为m(m0),则点B的坐标为(m,0),把x=m代入y=𝟓𝟒x得y=𝟓𝟒m,则点A的坐标为m,𝟓𝟒m,线段AB的长度为𝟓𝟒m,点D的纵坐标为𝟓𝟒m,∵点A在反比例函数y=𝒌𝒙的图象上,∴k=𝟓𝟒m2,即反比例函数的解析式为y=𝟓𝒎𝟐𝟒𝒙.∵四边形ABCD为正方形,∴四边形ABCD的边长为𝟓𝟒m,点C,点D和点E的横坐标都为m+𝟓𝟒m=𝟗𝟒m,把x=𝟗𝟒m代入y=𝟓𝒎𝟐𝟒𝒙得:y=𝟓𝟗m,即点E的纵坐标为𝟓𝟗m,则EC=𝟓𝟗m,DE=𝟓𝟒m-𝟓𝟗m=𝟐𝟓𝟑𝟔m,∴𝑫𝑬𝑬𝑪=𝟓𝟒.6.如图T2-6,直线y1=2x-3与双曲线y2=𝒌𝒙在第一象限交于点A,与x轴交于点B,过点A作AC⊥x轴,垂足为C,已知∠BAC=∠AOC.(1)求A,B两点的坐标及k的值;(2)请直接写出当y2y10时,x的取值范围.图T2-6解:(1)由2x-3=0,解得x=𝟑𝟐,∴B𝟑𝟐,0,OB=𝟑𝟐.设点A的横坐标为m(m0),则纵坐标为2m-3,BC=m-𝟑𝟐,AC=2m-3,∵AC⊥x轴,∴tan∠BAC=𝑩𝑪𝑨𝑪=𝒎-𝟑𝟐𝟐𝒎-𝟑=𝟏𝟐.∵∠BAC=∠AOC,∴tan∠AOC=𝑨𝑪𝑶𝑪=𝟐𝒎-𝟑𝒎=𝟏𝟐,解得m=2,∴2m-3=1,即A(2,1).把A(2,1)代入y2=𝒌𝒙,得1=𝒌𝟐,解得k=2.6.如图T2-6,直线y1=2x-3与双曲线y2=𝒌𝒙在第一象限交于点A,与x轴交于点B,过点A作AC⊥x轴,垂足为C,已知∠BAC=∠AOC.(2)请直接写出当y2y10时,x的取值范围.图T2-6(2)∵A(2,1),B𝟑𝟐,0,∴当y2y10时,x的取值范围为𝟑𝟐x2.类型二反比例函数与几何图形结合反比例函数与几何图形结合问题常涉及三角形或四边形的面积,求解时,要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长.7.如图T2-7,在平面直角坐标系中,Rt△ABO的顶点O与原点重合,顶点B在x轴上,∠ABO=90°,OA与反比例函数y=𝒌𝒙的图象交于点D,且OD=2AD,过点D作x轴的垂线交x轴于点C.若S四边形ABCD=10,则k的值为()A.-16B.16C.-15D.15图T2-7[答案]A[解析]∵OD=2AD,∴𝑶𝑫𝑶𝑨=𝟐𝟑,∵∠ABO=90°,DC⊥OB,∴AB∥DC,∴△DCO∽△ABO,∴𝑫𝑪𝑨𝑩=𝑶𝑪𝑶𝑩=𝑶𝑫𝑶𝑨=𝟐𝟑,∴𝑺△𝑶𝑫𝑪𝑺△𝑶𝑨𝑩=𝟐𝟑2=𝟒𝟗,∵S四边形ABCD=10,∴S△ODC=8,∴𝟏𝟐OC×CD=8,OC×CD=16,∴k=-16,故选A.8.如图T2-8,已知点A,B分别在反比例函数y=𝟐𝒙(x0),y=-𝟖𝒙(x0)的图象上,且OA⊥OB,则tan∠OBA的值为()A.𝟐𝟐B.𝟏𝟐C.𝟑𝟑D.𝟏𝟑图T2-8[答案]B[解析]过点A作AM⊥y轴于点M,过点B作BN⊥y轴于点N,则∠AMO=∠BNO=90°,∴∠AOM+∠OAM=90°,∵OA⊥OB,∴∠AOM+∠BON=90°,∴∠OAM=∠BON,∴△AOM∽△OBN,∵点A,B分别在反比例函数y=𝟐𝒙(x0),y=-𝟖𝒙(x0)的图象上,∴S△AOM∶S△BON=1∶4,∴AO∶BO=1∶2,∴tan∠OBA=𝟏𝟐.9.如图T2-9,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A在x轴上,顶点B在第一象限,函数y=𝟐𝒙(x0)的图象经过对角线OB上的一点D.若DB=2OD,则矩形OABC的面积为()A.6B.8C.9D.18图T2-9[答案]D[解析]如图,作DE⊥x轴,垂足为E,∴S△EOD=𝟏𝟐×2=1,∵DE∥AB,∴△ODE∽△OBA,∴𝑺△𝑶𝑫𝑬𝑺△𝑶𝑩𝑨=𝑶𝑫𝑶𝑩2=𝟏𝟑2=𝟏𝟗,∴S△OBA=9S△ODE=9,∴S矩形OABC=2S△OBA=18.10.如图T2-10,在平面直角坐标系中,△OAC的顶点A在反比例函数y=𝒌𝒙(k0)的图象上,点C在x轴上,边AC交反比例函数图象于点B,若S△AOC=5,且AB=3BC,则k的值为()A.3B.2C.2.5D.4图T2-10[答案]B[解析]如图,作AD⊥OC于点D,作BE⊥OC于点E,设点Bt,𝒌𝒕,∵AD∥BE,∴△ACD∽△BCE.则𝑨𝑫𝑩𝑬=𝑨𝑪𝑩𝑪=4,∴AD=4BE=𝟒𝒌𝒕,当y=𝟒𝒌𝒕时,x=𝒕𝟒,即点A𝒕𝟒,𝟒𝒌𝒕,∵S梯形ABED=S△AOB+S△BOE-S△AOD=S△AOB=𝟑𝟒S△AOC=𝟏𝟓𝟒,∴𝟏𝟐𝒌𝒕+𝟒𝒌𝒕t-𝒕𝟒=𝟏𝟓𝟒.解得k=2,故选B.11.如图T2-11,等腰三角形OAB的底边OB恰好在x轴上,反比例函数y=𝒌𝒙的图象经过AB的中点M,若等腰三角形OAB的面积为24,则k=()A.24B.18C.12D.9图T2-11[答案]B[解析]如图,连接OM,过A作AC⊥x轴于点C,过M作MD⊥x轴于点D,则MD∥AC,∴△BDM∽△BCA,∴𝑺△𝑩𝑴𝑫𝑺△𝑩𝑨𝑪=𝑩𝑴𝑩𝑨2=𝟏𝟒,∵OA=AB,AC⊥OB,∴OC=CB,∴S△BAC=𝟏𝟐S△BAO=𝟏𝟐×24=12,∴S△BMD=𝟏𝟒S△BAC=3.∵M点是AB的中点,∴S△OMB=𝟏𝟐S△BAO=12,∴S△OMD=S△OMB-S△BMD=12-3=9,∵反比例函数y=𝒌𝒙的图象经过点M,∴S△OMD=𝟏𝟐k=9,∴k=18.故选B.12.[2019·无锡二模]如图T2-12,矩形ABCD的边BC在x轴的负半轴上,顶点D(a,b)在反比例函数y=𝒌𝒙的图象上,直线AC交y轴于点E,且S△BCE=6,则k的值为()A.-12B.-6C.-2D.-3图T2-12[答案]A[解析]由D(a,b),得CO=-a,CD=AB=b,∵矩形ABCD的顶点D(a,b)在反比例函数y=𝒌𝒙的图象上,∴k=ab,∵S△BCE=6,∴𝟏𝟐×BC×OE=6,即BC×OE=12,∵AB∥OE,∴𝑩𝑪𝑶𝑪=𝑨𝑩𝑬𝑶,即BC·EO=AB·CO,∴12=b×(-a),即ab=-12,∴k=-12.13.如图T2-13,点A在双曲线y=𝟐𝒙上,且OA=4,过A作AC⊥x轴,垂足为C,OA的垂直平分线交OC于M,则△AMC的周长为()A.4𝟓B.3C.2𝟓D.𝟐𝟏图T2-13[答案]C[解析]设AC=a,OC=b,故点A的坐标为(b,a),由点A在双曲线y=𝟐𝒙上得:ab=2,根据勾股定理得:a2+b2=16,则(a+b)2=a2+2ab+b2=16+4=20,∴a+b=2𝟓,即OC+AC=2𝟓,又∵OA的垂直平分线交OC于M,∴OM=AM,∴△AMC的周长=AM+MC+AC=OM+MC+AC=OC+AC=2𝟓.14.如图T2-14,双曲线y=𝟐𝒙(x0)与矩形OABC的边CB,BA分别交于点E,F,且AF=BF,连接EF,OE,OF,则△OEF的面积为.图T2-14[答案][解析]设点B的坐标为(a,b),则点F的坐标为a,𝒃𝟐.∵点F在双曲线y=𝟐𝒙上,∴a×𝒃𝟐=2,解得ab=4,又点E在双曲线上,且纵坐标为b,∴点E的坐标为𝟐𝒃,b,则S△OEF=S梯形OFBC-S△OEC-S△FBE=𝟏𝟐𝒃𝟐+ba-𝟏𝟐×b×𝟐𝒃−𝟏𝟐×𝒃𝟐×a-𝟐𝒃=𝟏𝟐(ab+1-2)=𝟑𝟐.32